§22.2曲線積分和路徑無關(guān)性第1頁第1頁定理若函數(shù)在區(qū)域上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是單連通區(qū)域，那么下列四條互相等價：（i）對任一所有含在內(nèi)閉路，（ii）對任一所有含在內(nèi)曲線，曲線積分與路徑無關(guān)（只依賴曲線端點）；（iii）微分式在內(nèi)是某一個函數(shù)全微分，即；（iv）在內(nèi)處處成立。證實第2頁第2頁當(dāng)曲線積分和路徑無關(guān)時，即滿足上面諸條件，如令點固定而點為區(qū)域內(nèi)任意一點，那么由積分所定義函數(shù)在內(nèi)連續(xù)并且單值。這個函數(shù)為一個原函數(shù)，它和定積分中所述原函數(shù)相仿并有下列性質(zhì)：1’.這由剛剛證實即得。2’利用原函數(shù)來計算曲線積分這里，，和分別為，點坐標(biāo)。是一個第3頁第3頁記號，它等于。剩余來還要闡明如何求原函數(shù)。設(shè)和滿足定理條件。因此必存在原函數(shù)使，同時曲線積分與路徑無關(guān)。在區(qū)域內(nèi)固定一點，對內(nèi)任何點，沿兩條直線和從點到點積分，得其中，同樣不難驗證也是一個原函數(shù)。下列考慮非單連通區(qū)域情形，并引進一個主要概念：循環(huán)常數(shù)，在曲線積分與路徑無關(guān)定理中，它理論是建立在兩個假定之上（i）所考慮區(qū)域是單連通，即沒有“洞”；（ii）函數(shù)，及其偏導(dǎo)數(shù)第4頁第4頁在內(nèi)連續(xù)。假如這兩個條件被破壞了，普通來說，上面那些斷言將不會成立。現(xiàn)在討論區(qū)域內(nèi)有一個奇點情形。這時，假如閉路中包括一奇點，格林公式就不能應(yīng)用。我們考慮兩條閉路，都逆時針繞奇點一圈，可用線段將和聯(lián)結(jié)起來，在及上沿逆時針方向積分，即得因此即圍繞某一奇點任兩條閉路沿同一方向積分相等。因此，對區(qū)域中任何閉路，它或者不繞過奇點，或者繞過周，這時積分值就是第5頁第5頁倍。只圍繞奇點一周閉路上積分值叫做區(qū)域

循環(huán)常數(shù)，記為，于是，對內(nèi)任一閉路，這里為沿閉路按逆時針方向繞圈數(shù)。比如當(dāng)時假如它按逆時針方向繞圈數(shù)為，按順時第6頁第6頁針方向繞圈數(shù)為，那么。假如內(nèi)有個奇點，在周圍作一環(huán)路使它不包括其它奇點，則沿閉路積分就是一個循環(huán)常數(shù)。區(qū)域共有個循環(huán)常數(shù)，若為任意含在內(nèi)閉路，它圍繞點周數(shù)為