探索課和教師的主導(dǎo)作用

第五屆東亞數(shù)學(xué)教育會議(EARCOME5)于2010年8月18至22日在日本東京召開，會議內(nèi)容之一“LessonStudy”，東道主為與會代表展示了幾節(jié)課，其中一節(jié)是初三的探索課——用紙片折成四面體。教師首先出示了一張A4紙，指出這張紙的寬AD如果是1，那么長AB就是。驗證的方法很簡單：先將紙片按圖1中的虛線AE折起，使點D落在AB上的點F處，顯然AE=；然后用另一張同樣的A4紙的長和AE對照，結(jié)果相等，所以A4紙的寬和長的比是1∶。圖1評：這個說明簡潔明了。這里還可以進一步說明，紙片的寬長之比為1∶的優(yōu)越之處在于將紙片對折，再對折，……每次對折時，都可以保證得到的新長方形與原長方形相似（日本初三教材約有7至8章，相似形被安排在后面幾章，從時間上推算估計學(xué)生還未學(xué)過相似形）。老師接著指出，此長方形紙片的面積是?，F(xiàn)在要求將這張紙片折成一個空心的四面體，即這個四面體的表面積是。然后老師在黑板上書寫課題“作一個表面積為的四面體”，沒有任何解釋，就讓學(xué)生去做。大約過了一刻鐘，沒有學(xué)生發(fā)言，老師也一言不發(fā)，有的學(xué)生似乎還是一頭霧水。之后第一排的一位男生A說有結(jié)果了。做法（方法一）是：(1)先對折，折痕為EF；(2)斜折，折痕為FG；并且使點D落在EF上（得DG=DF）；(3)沿EG折起；(4)在右面半張紙上折出類似的折線。這樣得到的△EFG、△EFH，分別構(gòu)成四面體的兩個面；△AGE、△BHE拼合起來構(gòu)成四面體的一個面，△FHC、△FGD拼合起來也構(gòu)成一個面。這四個面圍成的四面體即為所求（圖2）。圖2在該生展示折法后，教師還問：線段GF和EH是什么關(guān)系？學(xué)生回答說，應(yīng)該是平行的。注：其實這里還可以進一步探究，譬如為什么平行？△GEF、△HEF的面積都是，可以知道△AGE與△DGF面積和也應(yīng)該是。但最終是由△AGE和△EBH拼成四面體的一個面，因此應(yīng)該說明△AGE和△EBH的面積和也是，進一步推理可得出GF∥EH。該教師又進一步：這樣構(gòu)成的四面體的某兩個面是不是互相垂直？評：筆者覺得沒有必要提問這個問題，原因一是該問題涉及立體幾何里的面面垂直，一般這個概念到高中才出現(xiàn)，對初三的學(xué)生來說太難了；第二是因為這個問題和本課的主題聯(lián)系不緊密。不一會兒又有學(xué)生B想出了方法二（如下頁圖3）。老師要求學(xué)生在筆記本上寫下方法一與方法二的異同點。后來，學(xué)生A（這個學(xué)生看來是很優(yōu)秀的）進一步提出，方法一里的G點不一定要通過第2步斜折得到，G點可以是AD上的任意一點（方法三，見圖4）。折一下，果然是對的。學(xué)生A用算式簡單地進行了證明。圖3圖4該教師選擇這個課題是很恰當(dāng)?shù)?，難度適中，學(xué)生比較容易上手，但又有探索、思考的空間。這節(jié)課的效果是比較好的，從課堂上的情況看，人人都在折，人人都在動腦筋，雖然有些學(xué)生直到課結(jié)束都沒有獨立折出一個四面體，但這并不妨礙學(xué)生對此課題的興趣。課后我們詢問學(xué)生對這堂課的感受，學(xué)生說很有勁，回家后會對方法一、二和三作仔細(xì)的研究，繼續(xù)折，看看是否還有其他方法……據(jù)這位老師說，這種探索性的課，他一兩個星期就會上一次。但這樣的做法，是這位教師的獨特做法，還是日本教師的普遍做法？我們不清楚。至于這樣做對基礎(chǔ)知識和基本技能的落實有沒有影響，由于我們只聽了一節(jié)課，對這樣比較宏觀的問題，不敢妄加評論。但這樣做肯定有它的好處，同時也給我們有很大的啟示。應(yīng)該承認(rèn)，創(chuàng)造性是我國學(xué)生的弱項，我們的基礎(chǔ)教育，如何在加強雙基的同時，開展好探索活動，是我們面臨的重大課題。我們國家近年來也上探索課，但通常和這節(jié)課的教法不一樣。這位老師基本上不啟發(fā)學(xué)生，以致課開始后，大概有15分鐘學(xué)生沒有反應(yīng)，老師似乎也不著急，這讓我們感到很詫異。到后來，學(xué)生A找到了一種方法，對其他學(xué)生有所啟發(fā)，課堂才活躍起來。這位老師這么沉得住氣，對學(xué)生這么有信心實在是難得，這份自信也許就像他說的來源于自己經(jīng)常開展這樣形式的課所積累的經(jīng)驗。如果換作我國的教師，一般會讓學(xué)生先思考，在學(xué)生思維受阻的情況下，肯定就會引導(dǎo)、啟發(fā)了，不會讓“僵局”長時間的延續(xù)。譬如，這節(jié)課在僵局狀態(tài)時，可以讓學(xué)生想一想：先假定這個四面體的四個面面積都相等，那么每個面的面積是多少呢？（紙張的面積是，那么每個面的面積是）然后可以再問：怎么折出面積為的三角形呢？（首先可以對折，得到面積是的長方形，再設(shè)法把小長方形分割）……另外，這位老師的提問是完全“原生態(tài)”的。在課后的討論中這位教師說，他事先估計方法二比較簡單，學(xué)生應(yīng)該會先想出來，但是第一個學(xué)生回答的卻是較難的方法一，出乎他的意料。換了我國的老師，通常在巡視中發(fā)現(xiàn)簡單的解法（方法二），然后循序漸進地引出方法一，再對方法一進行推廣（方法三），這樣思路顯得很順暢。這位老師的教法有它的好處。遇到困難，讓學(xué)生自己突破，盡管迂回曲折，但經(jīng)過互相啟發(fā)，學(xué)生自己教育自己。這樣教，因為還原了“原生態(tài)”的思考過程，學(xué)生如果真弄懂的話，將來的能力肯定比較強。但問題是，基礎(chǔ)教育畢竟不同于研究生培養(yǎng)，它必須要在短時間里將大量的知識、技能教給學(xué)生，而且既要讓優(yōu)秀學(xué)生的才能得到展示，又要讓中等學(xué)生，甚至是學(xué)困生都得到應(yīng)有的發(fā)展機會。所以我們認(rèn)為，必要的啟發(fā)還是要的，當(dāng)然，啟發(fā)要適當(dāng)、適度，而不應(yīng)該是嚼細(xì)、嚼爛了喂給學(xué)生，這樣就完全和探索的要求背道而馳了。課上雖然討論了G點的位置，但實際上，這里面還有許多應(yīng)該討論的。（譬如，G點的位置和“等底等高的三角形等積”這個原理有關(guān)；方法一里，可不可以沿GH折，即將四邊形EGFH分割成△EGH和△FGH？G點可不可以和A點重合？四個面的面積不相等行不行？……事實上這位老師在其他班上這節(jié)課的時候，有學(xué)生想出了一個方案，由于“