第5章

給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算管網(wǎng)水力分析就是求解恒定流方程組，在已知給水管網(wǎng)部分水力參數(shù)條件下，求解管網(wǎng)中的管段流量、流速和節(jié)點(diǎn)水頭等水力分析結(jié)果，用于管網(wǎng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)和運(yùn)行模擬狀態(tài)分析。管網(wǎng)水力分析是解決給水管網(wǎng)工程設(shè)計(jì)、運(yùn)行調(diào)度和維護(hù)管理等各種工程應(yīng)用問題的基礎(chǔ)。5.1給水管網(wǎng)水力分析和計(jì)算5.1.1

管段水力特性管段水力特性是指管段流量與水頭之間的關(guān)系，包括管段上各種具有固定阻力的設(shè)施影響，可以表示為：?

heii

=1,2,3,……,Mhi

=

siqi

qin?1(5.1)式中：hi—管段壓降，mH2O；qi—管段流量，m3/s；si—管段阻力系數(shù)；hei—管段揚(yáng)程，m，如果管段上未設(shè)泵站，則hei

=0；n—指數(shù)；M—管段總數(shù)。管段流量可能為負(fù)值（當(dāng)管段流向與管段設(shè)定方向不一致時）的情況，管段水頭損失的方向應(yīng)與流量方向一致。管段阻力系數(shù)可以用下列綜合公式計(jì)算：i

=1,2,3,……,Msi

=

s

fi

+

smi

+

s

pi(5.2)式中，

sfi,

smi,

spi--管段i的管道摩阻系數(shù)、局部阻力系數(shù)

和泵站內(nèi)部阻力系數(shù)

.5.1.1

管段水力特性（續(xù)）將式（5.1）代入管段能量方程組（式4.15）得：對于不設(shè)泵站且忽略局部阻力的管段，管段能量方程可以簡化為：?

heii

=1,2,3,……,MH

Fi

?

HTi

=

siqi

qin?1(5.3)其中

si、hei、n

必須為已知量，i

=1,2,3,……,MH

Fi

?

HTi

=

s

fiqi

qin?1(5.4)5.1.2

管網(wǎng)恒定流方程組求解條件（1）節(jié)點(diǎn)流量或節(jié)點(diǎn)壓力（水頭）必須有一個為已知

在管網(wǎng)水力分析中，每個節(jié)點(diǎn)方程只能對應(yīng)求解一個節(jié)點(diǎn)上的未知量。若節(jié)點(diǎn)水頭已知，則節(jié)點(diǎn)流量可作為未知量求解，反之，若節(jié)點(diǎn)流量已知，則

節(jié)點(diǎn)水頭可作為未知量求解。若兩者均已知，將導(dǎo)致矛盾方程組；若兩者均

未知，將導(dǎo)致方程組無解。已知節(jié)點(diǎn)水頭而未知節(jié)點(diǎn)流量的節(jié)點(diǎn)稱為定壓節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)流量而未知節(jié)點(diǎn)水頭的節(jié)點(diǎn)稱為定流節(jié)點(diǎn)。若管網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，定壓節(jié)點(diǎn)數(shù)為R，則定流節(jié)點(diǎn)數(shù)為N－R。在給水管網(wǎng)水力分析時，若定壓節(jié)點(diǎn)數(shù)R＞1，稱為多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)水力分析問題，若定壓節(jié)點(diǎn)數(shù)R=1，稱為單定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)水力分析問題。（2）管網(wǎng)中至少有一個定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)中至少有一個定壓節(jié)點(diǎn)，亦稱為管網(wǎng)壓力基準(zhǔn)點(diǎn)。管網(wǎng)中無定壓節(jié)點(diǎn)（R=0）時，整個管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)壓力將沒有參照基準(zhǔn)壓力，管網(wǎng)壓力無確定解。5.1.3

管網(wǎng)恒定流方程組求解方法（1）樹狀管網(wǎng)水力計(jì)算對于樹狀管網(wǎng)，在管網(wǎng)規(guī)劃布置方案、節(jié)點(diǎn)用水量和各管段管徑?jīng)Q定以后，各管

段的流量是唯一確定的，管段水頭損失、管段流速及節(jié)點(diǎn)壓力可以一次計(jì)算完成。（2）環(huán)狀管網(wǎng)水力計(jì)算

在環(huán)狀管網(wǎng)中，各管段流量必須滿足節(jié)點(diǎn)流量方程和環(huán)能量方程條件，所以，環(huán)

狀管網(wǎng)的管段流量、水頭損失、管段流速和節(jié)點(diǎn)壓力需要通過環(huán)狀管網(wǎng)水力計(jì)算

才能得到。

環(huán)狀管網(wǎng)水力計(jì)算方法是將節(jié)點(diǎn)流量方程組和和環(huán)能量方程組轉(zhuǎn)換成節(jié)點(diǎn)壓力方

程組或環(huán)校正流量方程組，通過求解方程組得到環(huán)狀管網(wǎng)的水力參數(shù)。

1）解環(huán)方程組

先進(jìn)行管段流量初始分配，使?jié)M足節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性條件，通過施加環(huán)校正流

量，使各環(huán)的能量方程得到滿足。

解環(huán)方程是以環(huán)校正流量為未知量，解環(huán)能量方程組，未知量和方程的數(shù)目與

環(huán)數(shù)相等。一般規(guī)定，順時針方向的環(huán)校正流量為正，逆時針方向的環(huán)校正流量

為負(fù)。2）解節(jié)點(diǎn)方程組

以節(jié)點(diǎn)水頭為未知量，首先以定壓節(jié)點(diǎn)已知水頭為參照值，擬定各節(jié)點(diǎn)水頭初

值，使?jié)M足環(huán)能量方程條件，但節(jié)點(diǎn)的流量連續(xù)性是不滿足的。解節(jié)點(diǎn)方程組的

方法是給各定流節(jié)點(diǎn)的初始壓力施加一個增量，通過求解節(jié)點(diǎn)壓力增量，使節(jié)點(diǎn)

流量連續(xù)性方程得到滿足。5.2

樹狀管網(wǎng)水力分析給水管網(wǎng)在建設(shè)初期往往采用樹狀管網(wǎng)，以后隨著城市和用水量的發(fā)展，可根據(jù)需要逐步連接成環(huán)狀管網(wǎng)。樹狀管網(wǎng)計(jì)算比較簡化，管段流量可以由節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程組直接解出，不用求解非線性的能量方程組。對于樹狀管網(wǎng)，在管網(wǎng)規(guī)劃布置方案、管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)用水量和各管段管徑?jīng)Q定以后，各管段的流量是唯一確定的，與管段流量對應(yīng)的管段水頭損失、管段流速及節(jié)點(diǎn)壓力可以一次計(jì)算完成。樹狀管網(wǎng)水力分析計(jì)算一般分兩步，第一步用流量連續(xù)性條件計(jì)算管段流量，并計(jì)算出管段壓降；第二步根據(jù)管段能量方程，從定壓節(jié)點(diǎn)出發(fā)推求各節(jié)點(diǎn)水頭。求管段流量一般采用逆推法，就是從離樹根較遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)逐步推向較近的節(jié)點(diǎn)，按此順序用節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程求管段流量時，都只有一個未知量，因而可以直接解出。求節(jié)點(diǎn)水頭一般從定壓節(jié)點(diǎn)開始，根據(jù)管段能量方程求得與節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的管段水頭損失，逐步推算相鄰的節(jié)點(diǎn)壓力。圖5.1

單定壓節(jié)點(diǎn)樹狀管網(wǎng)水力分析【例5.1】樹狀給水管網(wǎng)系統(tǒng)如圖5.1所示，節(jié)點(diǎn)(1)處為水廠清水池，管段[1]上設(shè)有泵站，其水力特性為：sp1=311.1（流量單位：m3/S，水頭單位：m），he1=42.6，n=1.852。根據(jù)清水池高程設(shè)計(jì)，節(jié)點(diǎn)(1)水頭為H1=7.80m，各節(jié)點(diǎn)流量、各管段長度與直徑如圖中所示，各節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.1。試進(jìn)行水力分析，計(jì)算各管段流量與流速、各節(jié)點(diǎn)水頭與自由水壓?！窘狻康谝徊剑耗嫱品ㄇ蠊芏瘟髁恳远▔汗?jié)點(diǎn)（1）為樹根，則從離樹根較遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)逆推到離樹根較近的節(jié)點(diǎn)的順序是：（10）,（9）,（8）,（7）,（6）,（5）,（4）,（3）,（2）;或（9）,（8）,（7）,（10）,（6）,（5）,（4）,（3）,（2）;或（5）,（4）,（10）,（9）,（8）,（7）,（6）,（3）,（2）等，按此逆推順序求解各管段流量的過程見表5.2。C

Di×(400/1000)100在求出管段流量后，利用最后一個節(jié)點(diǎn)（即定壓節(jié)點(diǎn)）的流量連續(xù)性方程，可以求出定壓節(jié)點(diǎn)流量，即：

q1+Q1=0，所以，Q1=-

q1=-93.75

(L/s)根據(jù)管段流量計(jì)算結(jié)果，計(jì)算管段流速及壓降見表5.3。管段水頭損失采用海曾-威廉公式計(jì)算（粗糙系數(shù)按舊鑄鐵管取C=100），如：=1.3710.67×(93.75/1000)1.852

×600

1.8524.87=10.67q11.852l1

1.8524.87h

f1=泵站揚(yáng)程按水力特性公式計(jì)算：nh

p1=

he1

?

s

p1q1

=42.6?311.1×(93.75/1000)1.852

=38.72第二步：求節(jié)點(diǎn)水頭以定壓節(jié)點(diǎn)（1）為樹根，則從離樹根較近的管段順推到離樹根較遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)的順序是：［1］,［2］,［3］,［4］,［5］,［6］,［7］,［8］,［9］;

或［1］,［2］,［3］,［4］,［5］,［9］,［6］,［7］,［8］;

或［1］,［2］,［5］,［6］,［7］,［8］,［9］,［3］,［4］等，按此順推順序求解各定流節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)水頭的過程見表5.4。最后計(jì)算各節(jié)點(diǎn)自由水壓，表5.5。為了便于使用，水力分析結(jié)果應(yīng)標(biāo)示在管網(wǎng)圖上，如圖5.5所示。?s2q2

?s5q5

+s6q6

?s8q8

=0s33667799n

=0qn

?s

qn

+s

qn

?s

q?s

q??s

q?s

q?s

q+

s

q+

s

q?s

q?s

q=

Δh=

Δh5.3管網(wǎng)環(huán)方程組水力分析和計(jì)算

5.3.1

管網(wǎng)環(huán)校正流量方程組

（1）基本環(huán)能量方程

圖5.3中，兩個基本環(huán)的帶有回路方向的管段集合為：??L1

={2,?5,6,?8}?

環(huán)能量方程組（以管段流量為變量）：n

n

n??初始分配一組管段流量qi(0)，若不滿足上述環(huán)方程組，則環(huán)中分別存在管段水頭損失閉合差⊿hl，為環(huán)的編號，l=1，2。環(huán)方程組成為：

(0)n22

(0)n33

(0)n55

(0)n66

(0)n66

(0)n77

(0)n88

(0)n99（0）

1（0）

2圖5.3

給水管網(wǎng)示意圖?

?F1

?F1?F1(Δq1,Δq2)=

F1(0,0)+[Δq1

+

Δq2]+?Δq1

?Δq2?1?2F1

?2F11?nF1?+[Δq1

+

Δq2]+

+[Δq1

+?2?Δq1

?Δq2

n!?Δq1?F(Δq,Δq)=

F(0,0)+[?F2

Δq

+

Δq]+?F2?2122

?Δq1

?Δq2?+[Δq1

+Δq12]+

+1?2F2

?2F21?nF2?2?Δq22?Δq

n!?Δq1??Δq2?Δq2

5.3.1

管網(wǎng)環(huán)校正流量方程組（續(xù)1）

對每個環(huán)施加一個校正流量⊿qk，如圖

5.4所示，以消除閉合差⊿h1(0),

⊿h2(0)。環(huán)

能量方程組成為以環(huán)校正流量⊿q1和⊿q2

為未知變量的的數(shù)方程組：??用泰勒公式展開，得12

22n

+

Δq[12n???

?nF1

n?nF2

nΔq2]=0Δq2]=0(5.8)?

?Δq

Δq1

+?

?F2

Δq

+?

?

?Δq1??Δq??Δq2

??Δq1?

??Δh(0)???

?

=

?(0)?5.3.1管網(wǎng)環(huán)校正流量方程組（續(xù)2）

忽略展開式中的高次項(xiàng)，可以得到關(guān)于⊿q1和⊿q2的線性方程組：改寫成矩陣方程如下：((1?

?F1?1?

Δq2

=

?

F1(0,0)=

?Δh10)Δq2

=

?

F2(0,0)=

?Δh20)

?F1?Δq2

?F2?Δq2(5.11)?

?F1

1?

?F2??Δq1?

?F1

?

?F2

??Δq2?

??Δh2

??Δq2

?

?(5.12)對式（5.8）求一階偏微分，得?n∑(siq(0)n?1)?

?ns(q(0))n?1???ns6(q(0))n?1

?n∑(si

i)??Δq2?(0)n?1

??

?=??Δh2(0)?方程（5.12）可以改寫為：(5.14)求解(5.15)

，可以得到⊿q1和⊿q2

，并得新管段流量1

(q(0))n?1

+ns(q(0))n?1

+ns(q(0))n?1

+ns(q

q

1i∈R1?

?F

(q??

(q?

33667799

266q?

i∈R1??Δq1???Δh1(0)?

??i∈R2

?(5.15)即可以消除環(huán)中水頭損失閉合差⊿h1和⊿h2。(k+1)(k)??F1(0)

?F1(0)?

?Δq(0)1?

Δq1

+

Δq2

+?

?

?Δq

Δq1

+

?Δq

Δq2

+???F(0)

?FL0)?

Δq1

+

Δq2

+對于有L個基本環(huán)的管網(wǎng)，式(5.8)可以擴(kuò)展為：用泰勒公式將式（5.18）展開，忽略高次項(xiàng)，得到線性方程組：(5.18)?F1(Δq1,Δq2,,ΔqL)=0?F2(Δq1,Δq2,,ΔqL)=0???FL(Δq1,Δq2,,ΔqL)=0??

+++,0),0)

,0)??F2

?F2(0)??

L??Δq1

?Δq2

ΔqL

=

?F1(0,0,ΔqL

=

?F2(0,0,ΔqL

=

?FL(0,0,

?F1(0)

?ΔqL?F2(0)?ΔqL?FL(0)?ΔqL

?Δq212(5.19)??F(0)

?F

=?,l=1,2,,,L,j=1,2,,,L??∑(nsi

i

q)=∑zi(0),l=

j,系數(shù)矩陣的對角元素?i∈Rl

l

R?F

l(0)

?=??nsi

i

i

z

i為相鄰環(huán)l和j的公共管段=??Δqj

?l≠

j且環(huán)l和j不相鄰?z2

+z6

+z8

+z5

?z(0)

?

?Δq1?

?Δh(0)??(0)(0)(0)(0)???

?=??

??z63

+z7

+z9

+z6

?

?

?

?Δh2(0)?

?Δq2?

??

?z將線性方程組式(5.19)表示成矩陣形式為：(5.21)(0)(0)F?Δq

=

?Δh(0)??Δqj

??

?式中,F(0)―系數(shù)矩陣，由環(huán)水頭閉合差函數(shù)求導(dǎo)得：

?(0)n?1

i∈

n?1

q(0)(0)

?

?0

?以圖5.3所示管網(wǎng)為例，可寫出如下線性化環(huán)能量方程組：

(0)(0)(0)(0)

(0)(5.22)

(5.23)（2）虛環(huán)能量方程式中：HTi——與虛管段關(guān)聯(lián)的定壓節(jié)點(diǎn)水頭。(5.24)圖5.3中，如果將管段[1]、[2]、[3]的能量方程相加，再減去管段[4]的能量方程，可導(dǎo)出從節(jié)點(diǎn)(7)到節(jié)點(diǎn)(8)之間一條路徑的能量方程，即：對于多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)，在每兩個定壓節(jié)點(diǎn)之間的路徑上，可以構(gòu)造一個虛擬的環(huán)，稱為虛環(huán)。關(guān)于虛環(huán)的假設(shè)如下：1）在管網(wǎng)中增加一個虛節(jié)點(diǎn)，編碼為0，它供應(yīng)兩個定壓節(jié)點(diǎn)的流量；虛節(jié)點(diǎn)的壓力定義為零；2）從虛節(jié)點(diǎn)到每個定壓節(jié)點(diǎn)設(shè)一條虛管段，并假設(shè)該管段將流量輸送到實(shí)際的定壓節(jié)點(diǎn)，該虛管段無阻力，但虛擬設(shè)有一個泵站，泵站揚(yáng)程為所關(guān)聯(lián)定壓節(jié)點(diǎn)水頭，泵站也無阻力，即虛管段能量方程為：(5.25)H7

?

H8

=

h1

+

h2

+

h3

?

h4Ti為定壓節(jié)點(diǎn)H0

?

HTi

=

hi

=

?HTi3）定壓節(jié)點(diǎn)流量改由虛管段供應(yīng)，其節(jié)點(diǎn)流量改為零，成為已知量，其節(jié)點(diǎn)水頭假設(shè)為未知量，因此，不再將它們作為定壓節(jié)點(diǎn)，管網(wǎng)成為單定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)。（2）虛環(huán)能量方程（續(xù)）(5.26)若管網(wǎng)有R個定壓節(jié)點(diǎn)，通過以上假設(shè)，增加P條虛管段，產(chǎn)生R-1個虛環(huán)。以圖5.3所示管網(wǎng)為例，若節(jié)點(diǎn)(7)和(8)為兩個定壓節(jié)點(diǎn)，增設(shè)了一個虛節(jié)點(diǎn)(0)、兩條虛管段[10]和[11]，構(gòu)成一個虛環(huán)，如圖5.5所示。管網(wǎng)成為單定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)。圖5.5

多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)虛環(huán)的構(gòu)成1?

圖5.5所示管網(wǎng)的環(huán)能量方程為：?h

?h2?h3+h4?h10+h11=0?

?

h3?h6+h7?h9=0?代入管段水力特性關(guān)系式，式（5.26）所列環(huán)能量方程組為：

n?1n?1n?1n?1H7811

q122

q233

q344

n?1n?1n?1n?1

n?1n?1n?1n?1

?

?應(yīng)用環(huán)狀管網(wǎng)校正流量計(jì)算公式，可以求解包括虛環(huán)的多水源環(huán)狀管網(wǎng)方程組。5.3.2環(huán)能量方程組求解環(huán)能量方程組線性化后，可以采用解線性方程組算法求解。兩種常用算法：牛頓-拉夫森算法和哈代-克羅斯算法，哈代-克羅斯算法又稱水頭平差法。（1）牛頓-拉夫森算法直接求解線性化環(huán)能量方程組（5.28），步驟如下：1）擬定滿足節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程組的各管段流量初值qi(k)，k=0，并給定環(huán)水頭閉合差最大允許值（手工計(jì)算時取eh=0.1~0.5m，計(jì)算機(jī)計(jì)算時取eh=0.01~0.1m）；2）由式（5.20）計(jì)算各環(huán)水頭閉合差；3）判斷各環(huán)水頭閉合差是否均小于最大允許閉合差⊿

hi(k)

，如滿足，則求解結(jié)束，轉(zhuǎn)（7），否則繼續(xù)下步；4）按式（5.26）計(jì)算系數(shù)矩陣；5）解線性方程組式（5.21），得環(huán)校正流量；6）將環(huán)校正流量施加到環(huán)內(nèi)所有管段，得到新的管段流量，轉(zhuǎn)第2）步重新計(jì)算。7）計(jì)算管段壓降、流速，用順推法求各節(jié)點(diǎn)水頭和節(jié)點(diǎn)自由水壓，結(jié)束。【例5.2】某給水管網(wǎng)如圖5.6所示，節(jié)點(diǎn)地面標(biāo)高見表5.6，節(jié)點(diǎn)（8）為定壓

節(jié)點(diǎn)，已知其節(jié)點(diǎn)水頭為H8=41.50m，采用海曾-威廉公式計(jì)算水頭損

失，Cw=110，最大允許閉合差=0.1m，求各管段流量、流速、壓降，各

節(jié)點(diǎn)水頭和自由水壓。【解】該管網(wǎng)為兩個環(huán)，管段初分配流量已經(jīng)完成，有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如表5.7。圖5.6Δh1=h2+h6?h8?h(0)=4.67+2.75?1.70?2.3天7=3.3答5Δh2=h3+h7?h9?h(0)=0.21+1.4響5?3.5僻2?2.75=?4.6茂1=?z3+z7+z9+z6?=?各環(huán)水頭招閉合差計(jì)漲算：(0)坦(啟0)槍(0)異(0慈)(0)止(紡0)醒(0)搭(0熟)Δh1(那0)>ehΔh2(搏0)>eh求系數(shù)矩造陣：?359筐.31?156恰.90???156.駝90探16緣瑞41.3諷0??(((0)?z2(喇0)+z6(0望)+z8(衛(wèi)0)+z5(0蔑)??z60)?z60)?(0)消(車0)農(nóng)(0張)艘(0)?F重新計(jì)算視各環(huán)水頭盆閉合差：解線性閃方程組：?359良.31?156.茶90??Δq1??3.35????2???得環(huán)校正桌流量解為腰：，Δq1=?0.00芽845,Δq2=0.00提200施加環(huán)校奸正流量，侵得到新的釣管段流量倉，重新計(jì)雨算有關(guān)管比段數(shù)據(jù)，說見表5.8。Δh2(0幸)>eh=0.1Δh2(0刑)=h3(0漁)+h7(0肅)?h9(悲0)?h6(獅0)=0.34+1.7毒0?1.3弓7?1.34=?0.67Δh1(0碧)>eh=0.1Δh1(0次)=h2(0加)+h6(0紅)?h8(甜0)?h5(太0)=3.89+1.34?2.21?2.8違0=0.22閉合差減富小，但仍拖不滿足要錘求，需再嬸次構(gòu)成系翠數(shù)矩陣，圓并解線性權(quán)方程組：?318.懂57?112常.75??Δq1??0.2化2????2???解此方繭程得：Δq1=?0.0尺005眨0,Δq2=0.00宮053施加該環(huán)網(wǎng)流量，得丑到新的管年段流量，嫩重新計(jì)算徐有關(guān)管段斧數(shù)據(jù)，見李表5.9。重新計(jì)算鋒各環(huán)水頭酬閉合差：Δh2(敢0)<eh=0.1Δh2(0滋)=h3(除0)+h7(犯0)?h9(0朋)?h6(0引)=0.3描8+1.76?0.9妻5?1.22=?0.0倒3Δh1(0伙)<eh=0.1Δh1(存0)=h2(0第)+h6(0院)?h8(被0)?h5(嚼0)=3.84+1.2態(tài)2?2.25?2.8店3=?0.02各環(huán)水責(zé)頭閉合扯差滿足銷要求，陪平差計(jì)壺算結(jié)束涂。計(jì)算管再段流速掌，見表5.9。由節(jié)點(diǎn)勢（8）出發(fā)誕，用順朽推法計(jì)牛算各節(jié)現(xiàn)點(diǎn)水頭截和節(jié)點(diǎn)這自由水裳壓，見丸表5.10。（2）哈代-克羅斯白算法（1936）系數(shù)矩陣F(0)是一個對賞稱正定的飾主對角優(yōu)貼勢稀疏矩臘陣，主對異角元素值調(diào)是較大的偉正值，非主對宵角的大技多數(shù)元幼素為零泛，不為嚷零的元南素都是潛較小的隆負(fù)值，題只保留深主對角鹽元素，填忽略非主對鵝角元素，臘則線性方秩程組可直歸接求解：i,Lk=1,2,Δqk=?Δhk(0)∑z(0)i∈Rk(5.3晝0)此式稱為為哈代-克羅斯平凍差公式，音哈代-克羅斯荷算法又框稱為水結(jié)頭平差居法。哈代-克羅斯算側(cè)法水力分容析的步驟紀(jì)與牛頓-拉夫森汗算法基聯(lián)本相同鮮，只是墻計(jì)算環(huán)純校正流量采用當(dāng)水頭平紀(jì)差公式千（5.30），代替餐解線性方位程組?！纠?.3】多定餓壓節(jié)點(diǎn)棒管網(wǎng)如戒圖5.7所示，節(jié)竊點(diǎn)(1)為清水池兆，節(jié)點(diǎn)水塔頭12.0宿0m，節(jié)點(diǎn)(5)為水塔炕，節(jié)點(diǎn)石水頭為48.聞00m，各節(jié)點(diǎn)華地面標(biāo)高里如表5.11，管段憂［1］上設(shè)有顯泵站，其水力特家性如圖梅中所示弟，計(jì)算播各管段挎流量與稼流速、館各節(jié)點(diǎn)霉水頭與雜自由水午壓（水違頭損失極采用海曾-威廉公式膠計(jì)算，C=1桶10）?！窘狻吭O(shè)朽虛節(jié)點(diǎn)（0）及從節(jié)點(diǎn)（0）到定壓叮節(jié)點(diǎn)（1）和（5）的兩晌條虛管四段［10］和［11］，虛哥管段設(shè)致有泵站，泵站芝靜揚(yáng)程為多定壓節(jié)點(diǎn)的節(jié)蚊點(diǎn)水頭悄，分別朽為12.既00和48.條00m，如圖5.7所示。由虛管段［10］和［11］與管段［1］、［2］、［3］和［4］構(gòu)成一個環(huán)泊，稱為遷虛環(huán)，輕編碼為③。用哈代-克羅斯法扯進(jìn)行平差蠟計(jì)算，見具表5.1把2。經(jīng)過兩憤次平差，丟各環(huán)水頭撒閉合差均徐小于0.5m，最后燭計(jì)算管塘段流速闊和節(jié)點(diǎn)奪水頭等連，見表5.13，計(jì)算瓜結(jié)果如驗(yàn)圖5.8所示。5.8圖多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)水力分析結(jié)果?Hj?Hkqjk=??式中，j為節(jié)點(diǎn)爹編號,?n??=sjkjk)n(H?H－?Hk)]+Qj=0)?(H(0)+ΔH))]+Q+ΔHjkkj=05.45.4.霸1管網(wǎng)節(jié)蝴點(diǎn)方程教組水力缺分析和旱計(jì)算給水管柿網(wǎng)節(jié)點(diǎn)懂壓力方夸程組由管段水沈頭損失的魂指數(shù)公式天，將管段戴流量表達(dá)穴為節(jié)點(diǎn)壓查力的函數(shù)葬：將上式紙代入節(jié)石點(diǎn)流量獻(xiàn)方程式痛（4.7），可酒以寫出結(jié)各節(jié)點(diǎn)裕的壓力銳方程：設(shè)節(jié)點(diǎn)墻壓力初縣值Hj(0)和Hk(0)，則存英在節(jié)點(diǎn)傲校正壓南力⊿Hj和⊿Hk，方程(5.嫩32)可改寫為以節(jié)盛點(diǎn)校正壓靜力為未知獄參數(shù)的節(jié)香點(diǎn)校正壓五力方程：―節(jié)點(diǎn)片的流量旦函數(shù)。111?sjknk為與節(jié)點(diǎn)j鄰接的節(jié)濾點(diǎn)號；?(5.3兄1)sjk為管段jk的摩阻系恢?jǐn)?shù)。1n1njkj(H∑[±sk∈j－(5.3目2)1n1n(0)j((HGj(ΔHj,ΔHk)=∑[±sjkk∈j－(5.復(fù)34)式中，Gj(ΔHj,ΔHk)??1獻(xiàn)1輪0岸1?1炊00覽0???q3蘋2????Q?0????0鴿0??q4?+?Q3?=?0?1筍0??q5??Q4??0??1俊1???q6???Q5????0??5.4.底1給水管詞網(wǎng)節(jié)點(diǎn)否壓力方美程組(續(xù)1)圖5.9所示管鈴網(wǎng)，已犯知條件葛是管段縣長度、侄管段直難徑、節(jié)左點(diǎn)流量洗和至少貓一個節(jié)點(diǎn)壓力張?？梢月什捎霉?jié)狂點(diǎn)校正逢壓力方裳程(5.3蕩3)表達(dá)管網(wǎng)雞水力狀態(tài)怪。(5.視31)圖5.閃9已知節(jié)胞點(diǎn)（6）水頭為H6=4毫1.50避m，節(jié)點(diǎn)填（1）～（5）為定廟流節(jié)點(diǎn)身?？梢杂鑼懗龉茼懢W(wǎng)節(jié)點(diǎn)流側(cè)量矩陣翠方程如肯下：(5.3庸5)00100???1喪1智0穴0??0?1谷0馬0??0嶼0?0驅(qū)0別0?1??q1?0跨0??q2??Q1??0?????????q7???5.4.椅1給水管網(wǎng)終節(jié)點(diǎn)壓力濕方程組(續(xù)2)圖5.9所示管網(wǎng)咽，可以建立澡節(jié)點(diǎn)校正股壓力方程杠組如下：(5.3災(zāi)7)圖5.襲95.4翠.1給水管臣網(wǎng)節(jié)點(diǎn)德壓力方策程組(續(xù)3)圖5.9所示管偵網(wǎng)，可建立節(jié)蚊點(diǎn)校正壓虜力方程組躁：(5.型37)??ΔH???ΔH???G4??ΔH1ΔH1?ΔQ1(0棕)??G2??ΔH5????ΔH2?ΔQ2?0??ΔH3?=??ΔQ3(0雙)???ΔH??ΔQ4???4??ΔQ(0)????ΔH5???ΔH5??G5??ΔH5?5.4.宿1給水管草網(wǎng)節(jié)點(diǎn)煮壓力方晝程組(續(xù)2)將式（5.37）用泰勒三公式展開洗，忽略高池次項(xiàng)，可嘗得節(jié)點(diǎn)校此正壓力線朽性方程組棗：(5.4象0)11?????0?G2?ΔH3?G3?ΔH300?0???G4??G1?ΔH2?G2?ΔH2?G3?ΔH20?G5?ΔH2?G1?ΔH400?G4?ΔH4?G5?ΔH4??G1??G2??0????0??(0)??(0)??5???∑(羨),享系數(shù)飲矩陣的主管對角元素暴;?k∈jnsq(0)n?1?=??,墳節(jié)連點(diǎn)j和便k銜接蒜，第j行第k列元素及誓其對稱元暖素;?nsjkjk(0)n?1?0,箱節(jié)點(diǎn)j愈和k不捐銜接，惡第j行第k列元素及求其對稱元養(yǎng)素;c?Gj?∑c(0)=??c(0)??5.4咱.1給水管網(wǎng)廢節(jié)點(diǎn)壓力幫方程組(續(xù)3)求以下設(shè)一階偏嘩微分，寨可得節(jié)克點(diǎn)校正墳壓力方萄程組(5.4寺0)的系數(shù)秘矩陣元猶素，1jkjkq?Gj?ΔHk?1???(5.4卸4)令，1(0)n?1nsjkqjk=(0)jk則有jk0(0)?ΔHk?k∈j??(5.硬45)(5.著46)5.4歌.1給水管丸網(wǎng)節(jié)點(diǎn)蘆壓力方辟程組(續(xù)4)圖5.9所示管網(wǎng)警的節(jié)點(diǎn)校魚正壓力矩宏陣方程為薄：(5.閣47)從初始節(jié)壁點(diǎn)壓力開買始，用迭皆代法求解劫方程組(5.4透7)，可以習(xí)得到節(jié)逆點(diǎn)校正嘗壓力，使節(jié)點(diǎn)醒流量閉聽合差收撕斂到趨答近于0的條件，由膊此可得戚各管段轎流量。(0)(0)痰(辟0)霧(0)喜(0)(0)盜(解0)檔(0)浩(0怨)(0)第(0)州(0誤)5.4弟.2