定理5.1.1---向量空間的基

定義5.1.3---線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

定義5.1.4---基

例3

例4§5.1

定義5.1.1

---向量空間

定義5.1.2---子空間

例1

例2

例5

定義5.1.5---維數(shù)

例6

例7

例8

例9

例10

定義5.1.1

非空集合稱(chēng)為域上的向量空間

(vectorspace)或線性空間(linearspace),如果關(guān)于

加法（記作“+”）運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)交換群，并且對(duì)每個(gè)

,在中可惟一地確定一個(gè)元素(稱(chēng)為

與的標(biāo)量乘法)，使得對(duì)所有的，,以

下四個(gè)條件都滿(mǎn)足：

(M1);

(M2);

(M3);

(M4).

向量空間中的元素稱(chēng)為向量(vector).域中的元素稱(chēng)為標(biāo)量或者純量(scalar).

注在高等代數(shù)課程中,我們涉及到的向量空

間（或線性空間）的基域都是數(shù)域,是無(wú)限域,且是

特征為零的域,但我們這里的基域可以是一般的域,

它可以是有限域,且域的特征也可以是素?cái)?shù).

例4域上的所有矩陣的集合關(guān)于

如下矩陣的加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算構(gòu)成

上的向量空

間

例5

（這個(gè)例子是例3的推廣.雖然它看上去

很平常,但卻是域論中最重要的例子之一）設(shè)是域，

是的子域,那么是上的向量空間.向量空間

的運(yùn)算就是域中的運(yùn)算.因此,根據(jù)第三章定理

3.6.5,每個(gè)域都可看成是某個(gè)素域上的向量空間.

定義5.1.2

設(shè)是域上的向量空間，是的

非空子集.如果關(guān)于的運(yùn)算也構(gòu)成上的向量空

間,則稱(chēng)為的子空間．

例6

集合是上

的由所有系數(shù)在域上的多項(xiàng)式組成的向量空間

的子空間.

例7

設(shè)是域上的向量空間，是

中的向量(它們不必互不相同),那么子集

稱(chēng)為的由張成的子空間.形如

的元素稱(chēng)為

的線性組

定義5.1.3

向量組稱(chēng)為在上線性

相關(guān)(linearlydependent),如果存在不全為零的元

,使得.如果

向量組在上不是線性相關(guān)的,則稱(chēng)為在上線性無(wú)

關(guān)(linearly

independent).

例8設(shè),則中的向量組

，，在上是線性無(wú)關(guān)的.因?yàn)榧?/p>

設(shè)存在,使得

那么,于是.

定義5.1.4

設(shè)是上的向量空間.是的

一個(gè)非空子集.如果中任一有限子集都在線性無(wú)

關(guān),且張成,則稱(chēng)為的基.

例9集合

是上的向量空間

.則我們可以證明

是的基.首先我們來(lái)證明是線性無(wú)關(guān)的.

假設(shè)有

,使得

定理5.1.1

如果和都

是域上向量空間的基,那么．

證假設(shè).不妨設(shè).

由于

張成,所以可設(shè),且這些

不全為零,對(duì)的順序適當(dāng)重排后可

設(shè),則張成.

設(shè),

則中至少有

一個(gè)不為零,設(shè),

則張成．繼續(xù)

這樣下去,有張成.

但此時(shí)是

的線性組合,矛盾! □

定義5.1.5

如果一個(gè)向量空間具有一個(gè)含

個(gè)元素的基,則稱(chēng)的維數(shù)(dimension)是.零空

間稱(chēng)為是由空集張成的,并規(guī)定它的維數(shù)是0.

可以用集合論的方法證明每個(gè)向量空間都有基.

以有限多個(gè)元素為基的向量空間(包括零空間)稱(chēng)為

有限維向量空間(finitedimensionalvectorspace),否

則稱(chēng)為無(wú)限維向量空間

(infinitedimen