2023屆四川省成都市青白江區(qū)高三上學(xué)期零點(diǎn)五診數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知，，則A． B．或C． D．【答案】A【分析】求出B中不等式的解集確定出B，求出A與B的交集即可．【詳解】，由B中不等式變形得：，解得：，即，∴A∩B=，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.3．已知命題：“且”是“”的充要條件；命題：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷命題p，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出判斷命題q，再借助真值表判斷作答.【詳解】若且，則有，反之，若，如且，而且不成立，即“且”是“”的充分不必要條件，于是得p是假命題，由求導(dǎo)得：，由得：，即存在，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，q是真命題，是真命題，是假命題，A不正確；是假命題，是假命題，B不正確；是假命題，C不正確；是真命題，是真命題.故選：D4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.【詳解】由題意得，，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為又因?yàn)椋訫的y坐標(biāo)為2，則x坐標(biāo)為所以故選：C5．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】C【分析】由題可得，然后逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】∵，∴為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；為偶函數(shù)，故C正確；為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由，則可知其定義域?yàn)?，故可排除B和D；，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選：A.7．為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方，則不同的分派方法有（

）A．18種 B．36種 C．68種 D．84種【答案】B【分析】按照兩位女教師分派到同一個(gè)地方時(shí)，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論即可【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故一共有：種分派方法故選：8．我國(guó)在2020年9月22日在聯(lián)合國(guó)大會(huì)提出，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬(wàn)元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當(dāng)處理量x等于多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后分和分析討論求出其最小值即可【詳解】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值240，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值200，綜上，當(dāng)每月得理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D9．在四邊形中，，，則A．5 B． C． D．3【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn).利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題10．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，畫出曲線，通過(guò)圖形臨界位置的分析即可得出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線為軸與曲線顯然有公共點(diǎn).時(shí)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率為，曲線A恰好有公共點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至故，解得，綜上故選：D.11．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是、，且，若P是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的定義求出與，然后在中，利用余弦定理求出，再根據(jù)面積公式及二次函數(shù)的知識(shí)即可求解.【詳解】解：因?yàn)镻是該雙曲線右支上一點(diǎn)，所以由雙曲線的定義有，又，所以，，設(shè)，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值是，故選：A.12．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選：D二、填空題13．若x，y滿足約束條件則的最大值是________．【答案】8【分析】畫出可行域，利用幾何意義求解的最大值.【詳解】畫出可行域，如圖陰影部分所示，顯然當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：814．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】寫出二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】其二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)：當(dāng)，解得的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開(kāi)通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)___________．【答案】【分析】先在等邊三角形中求出，外接圓半徑，根據(jù)幾何關(guān)系確定外接球球心位置，列勾股定理方程確定該三棱錐的外接球的半徑.【詳解】因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，等邊外接圓的半徑為，如圖，三棱錐外接球球心為，半徑為，設(shè)球心到平面的距離為，外接圓圓心為，連接，則平面，取中點(diǎn)，所以，又平面，所以//，則四邊形是矩形，所以在和中，由勾股定理可得，解得：，表面積.故答案為：16．在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若；則當(dāng)角A最大時(shí)，的面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用正弦定理與余弦定理，整理等式，可得，根據(jù)余弦定理結(jié)合重要不等式，求得當(dāng)角A最大時(shí)，的值，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】由，，根據(jù)正弦定理以及余弦定理，則可得，整理可得，即，根據(jù)余弦定理，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，可得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大，故，則.故答案為：.三、解答題17．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【詳解】試題分析：（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）由{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，注意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)注意辨析q是否為1，只要簡(jiǎn)單數(shù)字運(yùn)算時(shí)不出錯(cuò)，問(wèn)題可解，是個(gè)基礎(chǔ)題．18．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委組織團(tuán)員參加知識(shí)競(jìng)賽.根據(jù)成績(jī)，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)計(jì)算的值；(2)采用按比例分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢膬山M中共抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記為這3人中成績(jī)落在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）直接由頻率和為1即可求解；（2）先由分層抽樣求得各層人數(shù)，進(jìn)而求得的所有可能取值及對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，由期望公式求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：，所以；（2）按比例分層抽樣抽取7人，成績(jī)?cè)?，的所有可能取值為?，1，2，3；則，，，；則的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為：.19．如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點(diǎn)，以AE為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：AE⊥PB；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接BD，設(shè)AE的中點(diǎn)為O，可證，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（2）證明OP⊥OB，建立空間坐標(biāo)系，求出兩半平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大?。驹斀狻浚?）連接BD，設(shè)AE的中點(diǎn)為O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE為等邊三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折疊后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB?平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB內(nèi)作PQ⊥平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，∴直線PB與平面ABCE夾角為∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q兩點(diǎn)重合，即PO⊥平面ABCE，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為（x，y，z），則，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）為平面PAE的一個(gè)法向量，設(shè)二面角A﹣EP﹣C為α，則|cosα|＝|cos|，由圖可知二面角A﹣EP﹣C為鈍角，所以cosα．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查面面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長(zhǎng)及求出，，求出橢圓方程；（2）先考慮直線AB的斜率不存在時(shí)的值，再考慮直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，從而求出，從而求出的取值范圍.【詳解】（1），，∴，又，即，解得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，不妨設(shè)，則當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)，由，恒成立，故，∴，綜上：，故的取值范圍為．21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在時(shí)，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞減(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將原不等式轉(zhuǎn)化為，即；再根據(jù)（1），可知在單調(diào)遞減，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為在，兩邊同取自然對(duì)數(shù)，采用分離參數(shù)法可得在上能成立，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)橐驗(yàn)椋裕?，則，所以函數(shù)在區(qū)間單增；在區(qū)間單減．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞減；（2）解：當(dāng)，時(shí)，所求不等式可化為，即，易知，由（1）知，在單調(diào)遞減，故只需在上能成立．兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得，即在上能成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，又，故的取值范圍是．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程；(2)射線，和曲線分別交于點(diǎn)，，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求四邊形的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)，可得直線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）法一：將射線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立求各個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖形組合，可得答案；法二：直接在極坐標(biāo)下，求出各個(gè)交點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后根據(jù)圖形組合，可得答案.【詳解】（1）曲線轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．直線的直角坐標(biāo)方程為，根據(jù)，整理得，即．（2）法一：射線，和曲線分別交于點(diǎn)，，與直線分別交于，兩點(diǎn)，如圖所示：所以直線的直角坐標(biāo)方程為，直線的直線方程為，所以，解得，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，將代入，得，即．所以．同理：，解得，所以，所以．法二：由，得，由，得，所以，，所以．23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（I）當(dāng)，不等式為，分類討論，即可求解不等式的解集.