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文檔簡介

§4.3平面曲線的曲率：在數(shù)學(xué)上用數(shù)字來刻畫曲線的彎曲程度一一 弧微設(shè)平面曲

xx(tyy(t

確定M且x(t y(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù) M假設(shè)以A(x0,y0)為基點(diǎn) 在曲線上任取一點(diǎn)Mx(顯然弧AM的弧長SS(下 弧長S的微分

x (另取Nxx,yy)，則有MN|SxxSx|((MN)2(x)2S

MNS2x

y2t

t 令t0，

S 從dSdxdy

dt所 (dS)2(dx)2(dx)2[x(t)]2(dx)2[x(t)]2[y(t

xx(t1[f(1[f(

dS

|dtyf(

dS

|dxr2(r)2rr( dSr2(r)2二二.1、曲率的曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度） M

M3

MM N

(設(shè)平面曲線C是光滑的一段曲線AB的彎曲((與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)，與弧長AB有關(guān)(y(隨著增大弧長SAB減小(彎曲程度越大 ( (稱K

為曲線段AB的平均曲0

xKlimKlim

為曲線在點(diǎn)A處的曲率

若lim

存在，則

K設(shè)曲線yfx)具有二階導(dǎo)數(shù)，tany(x)，arctany(x)，

1

dS 曲

1[3Kd1[3 (1y2)232 (1y)曲率

R x(t

dy(t d2 (t)(t)(t)(ty(t

(t

dx2

[(t (t(t)(t)(t)(t2rr((r2r23(r2r232

r22(r)2ryr(

曲率K例例 求直線yaxb的曲率與曲率半徑 ya，y0，曲率K曲率半徑R1K例例 求圓x2y2r2上任一點(diǎn)處的曲率與曲率半徑解2x2yy yx，yyyxyx2

r 曲率

r (1x2

r曲率半徑R例例 求擺線xa(tsint)(a0，0t2)的曲率ya(1costt為何值時dy asin

cott

d2 解 a(1cost

dx2 4a 4a 曲率K

(1cot2t2

(4asin4t(4asin4t22當(dāng)t時 最小，此

K1三三.設(shè)曲線yfx)在點(diǎn)Ax,y)處的曲率為K當(dāng)K0時，過A作半徑為R1的圓K且使圓Q與曲線CA位于曲線的同 稱圓Q為曲線y f(x)在點(diǎn)A處的曲率圓 圓心Q稱為曲率中曲率中心Q(,的

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