-2023學年深圳市重點中學高一年級第二學期期中考試卷數(shù)學注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫或填涂在答題卡上?；卮疬x擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效?？荚嚱Y束后，只上交答題卡。一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（

）A． B．6 C．3 D．2．已知向量，，則（

）A． B．2 C． D．3.已知空間三條直線，若l與m異面,且l與n異面,則（）A.m與n異面 B.m與n相交C.m與n平行 D.m與n異面、相交、平行均有可能4.已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.5.設的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A. B. C. D.6.如圖，直三棱柱的體積為，的面積為，則點到平面的距離為（）A．B． C．2 D．7．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項中正確的是（

）A．對應的點位于第二象限 B．為實數(shù)C．的共軛復數(shù)為 D．的模長等于8.如圖，在△ABC中，點P在邊BC上，且，過點P的直線l與射線AB，AC分別交于不同的兩點M，N，若，，則實數(shù)的值是（）A. B. C.D.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.）9.已知復數(shù)，則下列選項中正確的有（）A.是純虛數(shù) B.對應的點位于第二象限C. D.10．在中，已知，，，則角的值可能為（

）A． B． C． D．11.已知正方體的棱長為，則下列選項中正確的有（）A.異面直線與的夾角的正弦為B.二面角的平面角的正切值為C.正方體的外接球體積為D.三棱錐與三棱錐體積相等12.在給出的下列命題中，正確的是（）A.在中，若，則一定是等腰三角形B.在中，若為銳角三角形，則C.已知平面向量滿足則為等腰三角形D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，．若向量與垂直，則的值為________．14.若一個圓錐的側面展開圖是中心角為且面積為的扇形面，則該圓錐的底面半徑為.15.設A，B，C，D是同一個半徑為5的球的球面上四點，，，則三棱錐體積的最大值為___________.16.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點D為AC邊的中點，已知，則當角C取到最大值時等于___________.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟.）17.已知向量與的夾角為，且，是單位向量.（1）分別求和的值；（2）若與共線，求；已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位，），(1)若復平面內(nèi)表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍;(2)若，(說明：復數(shù)是的共軛復數(shù))，求實數(shù)和的值.19.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．20．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求的值；(2)若為邊所在線段上一點，且,，，求的值；21.如圖（左圖），在平面五邊形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，，,，,,垂足為，將△ADE沿折起(如右圖)，使得平面ADE⊥平面ABCD.（1）求證：⊥平面ABCD；（2）求三棱錐的體積；（3）在線段BE上是否存在點，使得//平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.如圖所示，中,,,點、是線段（含端點）上的動點，始終保持不變，設當時，求線段和的長以及的周長；問為何值時，的面積最?。孔钚∶娣e是多少？求線段長的最小值.2022-2023學年深圳市重點中學高一年級第二學期期中考試卷數(shù)學注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫或填涂在答題卡上?；卮疬x擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效?？荚嚱Y束后，只上交答題卡。一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【詳解】因為復數(shù)（i為虛數(shù)單位）所以其虛部為6.故選：B.2．已知向量，，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】求出，求模即可.【詳解】∵，，∴，∴.故選：C.3.已知空間三條直線，若l與m異面,且l與n異面,則（）A.m與n異面 B.m與n相交C.m與n平行 D.m與n異面、相交、平行均有可能【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，進行判斷即可.【詳解】解：空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，則可能平行（圖1），也可能相交（圖2），也m與n可能異面（如圖3），故選D．4.已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】法一：如圖，是邊長為2的正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.法二：.所以5.設的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，再結合正弦定理整理計算．【詳解】∵，，則根據(jù)正弦定理，則故選：A．6.如圖，直三棱柱的體積為，的面積為，則點到平面的距離為（）A．B． C．2 D．解：由直三棱柱的體積為6，可得，設到平面的距離為，由，，，解得．即到平面的距離為；故選：B.7．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項中正確的是（

）A．對應的點位于第二象限 B．為實數(shù)C．的共軛復數(shù)為 D．的模長等于【答案】D【分析】根據(jù)歐拉公式結合復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的特征、純虛數(shù)的概念、復數(shù)的模長公式、以及共軛復數(shù)的概念逐項分析即可得出結論.【詳解】對于A：，對應的點位于第一象限，故A不正確；對于B：，為純虛數(shù)，故B不正確；對于C：，所以的共軛復數(shù)為，故C錯誤.對于D：，故D正確；故選：D.8.如圖，在△ABC中，點P在邊BC上，且，過點P的直線l與射線AB，AC分別交于不同的兩點M，N，若，，則實數(shù)的值是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】由題意知：，又，，即，由三點共線，可得，即.故選：B.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.）9.已知復數(shù)，則下列選項中正確的有（）A.是純虛數(shù) B.對應的點位于第二象限C. D.【答案】AD【分析】利用復數(shù)的概念及幾何有意義判斷A、B選項是否正確，利用利用復數(shù)的四則運算法則計算及，并計算出模長，判斷C、D是否正確.【詳解】利用復數(shù)的相關概念可判斷A正確；對于B選項，對應的點位于第四象限，故B錯；對于C選項，，則，故C錯；對于D選項，，則，故D正確.故選：AD10．在中，已知，，，則角的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由正弦定理得，得，因為，且，所以或.故選：AC.11.已知正方體的棱長為，則下列選項中正確的有（）A.異面直線與的夾角的正弦為B.二面角的平面角的正切值為C.正方體的外接球體積為D.三棱錐與三棱錐體積相等【答案】ACD【解析】對于A，,中，就是異面直線所成的角，，A正確，對于B，連接交于點,連接,在中，，B不正確∵正方體外接球的半徑,∴正方體的外接球體積為，C正確；∵，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，故體積相等，D正確；故選：ACD．12.在給出的下列命題中，正確的是（）A.在中，若，則一定是等腰三角形B.在中，若為銳角三角形，則C.已知平面向量滿足則為等腰三角形D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形【答案】BCD【解析】對于A，若，則或，所以或，則是等腰三角形或直角三角形，命題A錯誤；對于B，若為銳角三角形，則，所以，且由于在上單調(diào)遞增，所以，即，命題B正確；對于C，由于，即，，得，即OA為BC的垂線，又由于，可得OA在的角平分線上，綜合得為等腰三角形，故C正確；對于D，平面向量、、滿足，且，∴，∴，即，∴，∴、的夾角為，同理、的夾角也為，∴是等邊三角形，故D正確；故選BCD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，．若向量與垂直，則的值為________．【答案】【解析】由已知可得，因為向量與垂直，則，解得.14.若一個圓錐的側面展開圖是中心角為且面積為的扇形面，則該圓錐的底面半徑為.【答案】【詳解】由中心角為且面積為的扇形，，可得扇形的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.即，所以底面半徑為.15.設A，B，C，D是同一個半徑為5的球的球面上四點，，，則三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【分析】是外心，是球心，求出，當是的延長線與球面交點時，三棱錐體積的最大，由此求得最大體積即可．【詳解】如圖，是外心，即所在截面圓圓心，設圓半徑為是球心，因為，，所以，所以，則，，平面，平面，則，所以，當是的延長線與球面交點時，三棱錐體積的最大，此時棱錐的高為，，所以棱錐體積為．16.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點D為AC邊的中點，已知，則當角C取到最大值時等于___________.【答案】【解析】AC的中點為D，則即，因為，所以，由知，角C為銳角，故，因為，所以由基本不等式得：，當且僅當，即時等號成立，此時角C取到最大值，，故答案為：四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟.）17.已知向量與的夾角為，且，是單位向量.（1）分別求和的值；（2）若與共線，求；解：（1），2分.4分（2）若與共線，則存在，使得，即，又因向量與不共線，所以，解得，所以；10分已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位，），(1)若復平面內(nèi)表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍;(2)若，(說明：復數(shù)是的共軛復數(shù))，求實數(shù)和的值.【答案】(1)；(2)【解析】由題意知：，3分又表示的點在第一象限,所以5分解得.6分(2)9分所以解得12分19.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【詳解】（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.1分在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，2分所以A1B1∥ED.3分又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，5分所以A1B1∥平面DEC1.6分（2）方法一：因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.7分因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.8分因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.10分因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.12分方法二：因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.7分因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.所以平面A1ACC1⊥平面ABC,BE?平面ABC又因為平面A1ACC1⊥平面ABC=AC,BE⊥AC.所以BE⊥平面A1ACC1.10分因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.12分20．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求的值；(2)若為邊所在線段上一點，且,，，求的值；【答案】(1)(2)【解析】由，可得，1分于是得，即，4分所以；5分由在中，,，，由余弦定理得，8分所以，9分在中，由正弦定理有，得.12分21.如圖（左圖），在平面五邊形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，，,，,,垂足為，將△ADE沿折起(如右圖)，使得平面ADE⊥平面ABCD.（1）求證：⊥平面ABCD；（2）求三棱錐的體積；（3）在線段BE上是否存在點，使得//平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】（1）因為,因為平面平面ABCE，平面平面，平面ADE，所以⊥平面ABCD．3分（2）在直角三角形ADE中，∵，∴，∴.4分∠BCD＝90°，,，的面積5分所以三棱錐C-ADE的體積為；6分（3）方法一：過點H作HN∥DE交AE于點N,過點N作NM//AB交EB于點M，連接.又因為AB∥DC,所以//，平面CDE，平面CDE，所以//平面CDE.同理//平面CDE7分又因為，平面，平面，所以平面//平面CDE.因為平面，所以//平面CDE.8分在中，，,又，9分，10分又,11分