第九節(jié)具有約束條件的最值1第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三條件極值：極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1

代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題.對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化約束條件是三元或三元以上函數(shù)過程類似.第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最?。?/p>

例1解即表面積最小.

代入目標(biāo)函數(shù),化為無條件極值問題：

xyz第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三內(nèi)部唯一駐點(diǎn),且由實際問題S有最大值,故做成立方體表面積最小.

這種做法的缺點(diǎn)：

1.變量之間的平等關(guān)系和對稱性被破壞；

2.有時解出隱函數(shù)困難甚至不可能.

第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三方法2.拉格朗日乘數(shù)法令第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最?。?/p>

例1解由實際問題,即為最小值點(diǎn).

第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三解則例2第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三例3解第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三由由實際問題，此即最佳分配方案.

第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三例4解解得唯一駐點(diǎn)

即做成正三角形時面積最大.

第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí).要設(shè)計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時,欲使造價最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)：P99習(xí)題7.9 3. 4. 5. 9.第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三補(bǔ)充

拉格朗日乘數(shù)法證明.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第16頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的