余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)新疆(xīnjiānɡ)奎屯市高級中學王新敞第一頁，共23頁。5/3/20231余弦定理1、向量(xiàngliàng)的數量積：2、勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)：AaBCbc證明(zhèngmíng)：復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第二頁，共23頁。5/3/20232AaBCbc余弦定理AcbAbc當時當時當時AB邊的大小(dàxiǎo)與BC、AC邊的大小(dàxiǎo)和角C的大小(dàxiǎo)有什么關系呢？怎樣用它們表示AB呢？復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標法例題定理小結復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第三頁，共23頁。5/3/20233余弦定理思考題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標(zuòbiāo)法例題定理小結復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第四頁，共23頁。5/3/20234余弦定理定理：三角形任何一邊(yībiān)的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理可以解決以下(yǐxià)兩類有關三角形的問題：〔1〕三邊求三個角；〔2〕兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。復習引入向量(xiàngliàng)法幾何法坐標法例題定理小結復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第五頁，共23頁。5/3/20235余弦定理ABCabcD當角C為銳角(ruìjiǎo)時證明(zhèngmíng)：過A作ADCB交CB于D在Rt中在中復習引入向量(xiàngliàng)法幾何法坐標法例題定理小結復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第六頁，共23頁。5/3/20236余弦定理當角C為鈍角(dùnjiǎo)時證明(zhèngmíng)：過A作ADCB交BC的延長線于D在Rt中在中bAacCBD復習引入向量(xiàngliàng)法幾何法坐標法例題定理小結復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第七頁，共23頁。5/3/20237余弦定理bAacCB證明：以CB所在的直線(zhíxiàn)為X軸，過C點垂直于CB的直線(zhíxiàn)為Y軸，建立如下圖的坐標系，那么A、B、C三點的坐標分別為：復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標法例題定理小結復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第八頁，共23頁。5/3/20238利用余弦定理，可以解決：〔1〕三邊，求三個角；〔2〕兩邊及夾角，求第三(dìsān)邊和其他兩個角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標法例題定理小結第九頁，共23頁。5/3/20239例1：在ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標(zuòbiāo)法例題定理小結第十頁，共23頁。5/3/202310例2：在ABC中，a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解這個(zhège)三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標法例題定理小結第十一頁，共23頁。5/3/202311ABCOxy例3：ABC三個頂點(dǐngdiǎn)坐標為(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法(jiěfǎ)一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.復習引入向量(xiàngliàng)法幾何法坐標法例題定理小結第十二頁，共23頁。5/3/202312ABCOxy例3：ABC三個頂點(dǐngdiǎn)坐標為(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.解法(jiěfǎ)二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).復習引入向量(xiàngliàng)法幾何法坐標法例題定理小結第十三頁，共23頁。5/3/202313ABCOxy例3：ABC三個頂點(dǐngdiǎn)坐標為(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析(fēnxī)三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=復習引入向量(xiàngliàng)法幾何法坐標法例題定理小結第十四頁，共23頁。5/3/202314解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例4：向量(xiàngliàng)a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標法例題定理小結第十五頁，共23頁。5/3/202315∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角(jiājiǎo)約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：向量(xiàngliàng)a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°＝21,第十六頁，共23頁。5/3/202316,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考(sīkǎo)：假設A=θ,怎樣用θ表示四邊形ABCD的面積？第十七頁，共23頁。5/3/202317練習(liànxí)ABC中,〔1〕a＝4，b＝3，C＝60°，那么c＝_____；√13°〔2〕a=2,b=3,c=4,那么(nàme)C=______.104.5°〔3〕a＝2，b＝4，C＝135°，那么(nàme)A＝______.復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結第十八頁，共23頁。5/3/202318研究題總結解三角形的方法：三角形邊角中哪三個量，有唯一解或多解或無解？分別(fēnbié)用什么方法？復習引入向量(xiàngliàng)法幾何(jǐhé)法坐標法例題定理小結第十九頁，共23頁。5/3/202319余弦定理課堂(kètáng)小結：1、定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角(jiājiǎo)的余弦的積的兩倍。2、余弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題：〔1〕三邊求三個角；〔2〕兩邊和它們的夾角，求第三(dìsān)邊和其他兩個角。復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小