第八章矩陣特征值第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三§2.冪法和反冪法.

一、冪法

求矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量。它是通過迭代產(chǎn)生向量序列，由此計(jì)算特征值和特征向量。第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三兩種特殊情況第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三冪法小結(jié)第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二、冪法的加速

因?yàn)閮绶ǖ氖諗克俣仁蔷€性的，而且依賴于比值，當(dāng)比值接近于1時(shí)，冪法收斂很慢。冪法加速有多種，介紹兩種。第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三（三）、瑞利商加速定義：設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，對于任一非零向量x，稱為對應(yīng)向量x的瑞利（Rayleigh)商。（P298）定理14：設(shè)為對稱矩陣，特征值得滿足對應(yīng)的特征向量滿足，應(yīng)用冪法計(jì)算A的主特征值，則規(guī)范化向量的瑞利商給出的較好近似（P307）第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三三、反冪法

反冪法是計(jì)算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三反冪法的一個(gè)應(yīng)用第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三§3.Jacobi方法第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三一、矩陣的旋轉(zhuǎn)變換（Givens變換）第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三也稱Givens變換。第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二、Jacobi方法第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三§4.QR方法

一、基本QR方法60年代出現(xiàn)的QR算法是目前計(jì)算中小型矩陣的全部特征值與特征向量的最有效方法。理論依據(jù)：任一非奇異實(shí)矩陣都可分解成一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對角元符號取定時(shí)，分解是唯一的。與A相似k=1,2,…第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三

可證，在一定條件下，基本QR方法產(chǎn)生的矩陣序列｛A(k)｝“基本”收斂于一個(gè)上三角陣（或分塊上三角陣）。即主對角線（或主對角線子塊）及其以下元素均收斂，主對角線（或主對角線子塊）以上元素可以不收斂。特別的，如果A是實(shí)對稱陣，則｛A(k)｝“基本”收斂于對角矩陣。因?yàn)樯先顷嚨闹鲗窃ɑ蚍謮K上三角陣中，主對角線子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當(dāng)k充分大時(shí)，A(k)的主對角元（或主對角線子塊的特征值）就可以作為A的特征值的近似。基本的QR方法的主要運(yùn)算是對矩陣QR分解，分解的方法有多種。介紹一種Schmit正交化方法為例。第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解與矩陣乘法，計(jì)算量大，而且收斂速度慢。因此實(shí)際使用的QR方法是先用一系列相似變換將A化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣），然后對此矩陣用基本QR方法。因?yàn)閿M上三角矩陣具有較多零元素，故可減少運(yùn)算量。化A為相似的擬上三角陣的方法有多種。第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三二、豪斯豪爾德(Householder)變換第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三三、化一般矩陣為擬上三角陣(P313)第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三四、擬上三角矩陣的QR分解第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第56頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第57頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第58頁，共62頁，20