第四章壓彎構件第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三本章主要研究的問題壓彎構件彈性穩(wěn)定分析；橫向荷載的影響規(guī)律；壓彎構件的彈塑性極值點失穩(wěn)問題；平面內M與N的相關公式；第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三壓彎構件的荷載-撓度曲線Py-屈服荷載；PE,a-歐拉臨界力，小撓度理論；e-一階彈性分析；d-一階剛塑性分析；Pp-形成塑性鉸時的承載力；b-二階彈性分析；oAB-二階彈塑性分析；f，f’-側向約束不足時發(fā)生的彈性、彈塑性彎扭失穩(wěn)；第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三§4-1有橫向荷載作用的壓桿的彈性彎曲變形和穩(wěn)定臨界力橫向荷載集中荷載均布荷載第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三1）橫向集中荷載作用的壓彎構件當0＜x≤l/2時，平衡方程為：即：所以方程的通解為：第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三邊界條件為：y(0)=0,y’(l/2)=0利用上述條件可得：則變形曲線的通解為(0＜x≤l/2)：當l/2＜x≤l時，與此對稱。當x＝l/2時，跨中撓度最大，為：第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三令u＝kl/2，并把系數(shù)中的k代入，得到：其中：y0=Ql3/(48EI)——跨中集中荷載作用時簡支梁的最大撓度；

3(tgu-u)/u3——有軸向壓力時的最大撓度放大系數(shù)。把tgu用冪級數(shù)展開：第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三注意到：則跨中最大位移可以表示為：為最大撓度放大系數(shù)。說明有軸力P作用后，跨中撓度將有所增大。第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2）橫向均布荷載作用的壓彎構件在此采用瑞利－里茲法求解。壓桿應變能：外力勢能：qdxy第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三總勢能：設變形曲線為：（僅取一項，其中δ為跨中最大撓度）則則總勢能為：令總勢能一階變分為0，得跨中最大撓度：第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三軸力P作用時的放大系數(shù)3）結果分析兩端鉸支受軸心壓力的桿件，作用在其上的橫向荷載若為對稱布置，則此壓彎構件的彎曲變形由兩部分組成：一部分為不考慮軸心力的彎曲變形；二為放大系數(shù)第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三與上一章講的初彎曲、初偏心的影響相類似，δ0相當于初彎曲和初偏心的影響。第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三彈性分析時，當δ→∞時，P=PE，即壓彎桿件的彈性承載力為PE。下面給出證明：本節(jié)為簡支的壓彎構件，其它邊界條件時，求解方法類似，結論類似。第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三§4-2壓彎構件的彎矩放大系數(shù)和承載力驗算1）跨中彎矩橫向集中荷載作用時，跨中最大彎矩為：第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三彎矩放大系數(shù)橫向荷載產(chǎn)生的彎矩第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三橫向均布荷載作用時，跨中最大彎矩為：第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三彎矩放大系數(shù)橫向荷載產(chǎn)生的彎矩可見由于軸向力的作用，跨中不但撓度增大，彎矩也有所增大。這里作用效應的增加稱為桿件的二階效應，即P－δ效應。當橫向荷載不同時，彎矩的放大系數(shù)也有所不同。第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2）彈性壓彎構件平面內彎曲承載力驗算以簡支軸壓桿，有橫向均布荷載作用為例當達到桿件邊緣纖維屈服時：采用相關方程的形式：相關方程曲線為：MN彈性彈塑性第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三鋼結構設計規(guī)范中壓彎構件穩(wěn)定驗算公式就是由上式而來，只不過規(guī)范公式同時還考慮了其它邊界條件、荷載形式和初始缺陷等因素的影響。第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三§4-3考慮彈塑性影響的壓彎構件整體穩(wěn)定驗算1）彈塑性壓彎構件的工作性能隨著位移的增大，桿件受力最大截面一定會進入彈塑性階段。本節(jié)所要解決的問題就是求解考慮彈塑性時的P－δ曲線。第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2）幾個基本概念Rdθdxyy點處伸長量為ydθ取出微元dx，有幾何關系即曲率為單位長度上的轉角截面上任一點應變?yōu)椋褐泻洼S以外為拉，以內為壓第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三3）數(shù)值積分法（壓桿撓曲線法）具有初彎曲的壓彎構件，假設條件最少，可適用于任意情況。截面上內彎矩：拉＋，壓－有正負第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三具體求解過程如下：將壓桿沿長度分成n段；給定壓力P；假定A端由外荷載產(chǎn)生的轉角為θa，由A→B逐段計算；計算第一段中點(1/2)處的曲率ρ1/2，過程如下：將截面分成m塊小單元；假定形心處和截面曲率第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三求解各小塊中心點的應變由判斷截面上的軸力是否滿足？否則調整重復3)~5)過程。判斷截面上的彎矩是否等于第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三其它外荷載引起由P引起y1/2的由來：（撓曲線用泰勒級數(shù)展開，x點位移、轉角已知，求x＋δ點的位移）第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

如果1/2點處的內外彎矩相等不能滿足，調整重復3)~6)。計算第一段末的位移、轉角：對上式求δ1的一階導數(shù)轉入對下一段計算，重復第4步2)~第5步，直到最后一段。根據(jù)最后一段末的邊界條件(vB=0)是否滿足，否則調整θA重復第4步~第7步。第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三完成第1步~第7步后，則得到P－v曲線圖中的一點。給定下一級P（壓力），重復第3步～第8步，可得P－v曲線。若到達某一級荷載時，第7步的調整不能完成，即達到了彎曲失穩(wěn)的極限承載力。為了得到P－v曲線的下降段，可以改用給定θA，調整P的辦法，完成第4步～第7步。（位移加載方式）Pv第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三4）簡化計算方法（耶碩克Jezek法）基本假定：

a、材料理想彈塑性。

b、桿件兩端簡支，構件變形曲線為正弦半波曲線，即：

c、只考慮構件中央截面的內外力平衡。PPzyum第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三PPzyum計算步驟：

a、平衡方程：其中Mi為內彎矩，與桿件軸向力P和曲率ρ有關：

b、由基本假設第二條得到：由橫向荷載產(chǎn)生某點的撓度內彎矩第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三c、由基本假設第三條，平衡方程可以表達為：

d、P的最大值可由得到，即為彎矩作用平面內的穩(wěn)定承載力。第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三5）等效彎矩的概念：考慮受不等端彎矩作用的壓彎構件平衡方程：通解為：第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三利用邊界條件：可得通解為：產(chǎn)生同號曲率，彎矩為正；產(chǎn)生異號曲率，彎矩為負；第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三通過上述辦法可以求得各種端彎矩作用下桿件內部截面上的最大彎矩。但這種方法不適合于設計人員使用。故提出等效彎矩的概念。等效彎矩Meq：將求出的兩端彎矩不等的構件中的最大彎矩，等于兩端彎矩相等時的最大彎矩，此兩端相等的彎矩成為等效彎矩。等效彎矩系數(shù)：兩端相等的彎矩與兩端不等彎矩中大值之比<1。通過等效彎矩以端彎矩相等的情況代替端彎矩不等的情況，以適用于任何情況。第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三PPM1M2M1M2MmaxM1M2MmaxPPMeqMeqMeqMeqMmax任意端彎矩作用的情況，無法統(tǒng)一求解。端彎矩相等時，求解簡單，通過等效彎矩系數(shù)，將各種情況統(tǒng)一化。第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三§4-4考慮有限變形的實用方法1）基本假定：鋼材理想彈塑性桿軸為正弦半波變形曲線平截面假定有限小變形，(1/4h~1/8h)部分發(fā)展塑性用等效初始偏心考慮缺陷的影響第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三2）實用方法介紹考慮初偏心e0的桿，其相關方程為：其中：NNMMe0第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三考慮截面塑性發(fā)展(1/4h~1/8h)，用Mp=γxMs=γxW1xfy代替Ms，（γx為塑性發(fā)展系數(shù)），得到：以下變換的目的是把初始偏心e0代換掉。當M＝0時，相當于有初偏心e0的軸壓桿，設此時：把上式代入相關公式得：第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三把求得的e0回代入相關公式得到：即：考慮端彎矩不等和有任意橫向荷載作用的壓彎構件，對十一種截面形式，適當考慮殘余應力的影響，按精確理論計算，對上式進行修正，得：第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三βmx——各種情況的等效彎矩系數(shù)。這個公式即為我國鋼結構規(guī)范中壓彎構件穩(wěn)定計算的相關公式。第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三（1）懸臂構件和在內力分析中未考慮二階效應的無支撐框架和弱支撐框架柱，βmx=1.0。（2）框架柱和兩端支承的構件：①無橫向荷載作用時，βmx=0.65+0.35M2/M1，M1和M2是構件兩端的彎矩，|M1|≥|M2|；當兩端彎矩使構件產(chǎn)生同向曲率時取同號，使構件產(chǎn)生反向曲率（有反彎點）時取異號。②有端彎矩和橫向荷載同時作用時，使構件產(chǎn)生同向曲率取βmx=1.0；使構件產(chǎn)生反向曲率取βmx=0.85。③無端彎矩但有橫向荷載作用時，βmx=1.0。等效彎矩系數(shù)的取值方法：第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三壓彎構件在彎矩作用平面外的穩(wěn)定性

1.雙軸對稱工字形截面壓彎構件的彈性彎扭屈曲臨界力繞z軸的扭矩平衡方程為繞y軸的彎矩平衡方程為對于兩端鉸接的壓彎構件，中點處的側移和轉角分別為um和m，變形曲線取為u=umsinz/l和=msinz/l，符合下列邊界條件：在z=0和z=l處，u==u==0。可得到彎扭屈曲的臨界力Ncr的計算方程：第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三其解為如果構件的端彎矩M=0，可以得到軸心受壓構件的臨界力Ncr=NEy或Ncr=N

。這里的NEy是繞截面弱軸彎曲屈曲的臨界力，即NEy=2EIy/ly2，N

是繞截面縱軸扭轉屈曲的臨界力，其值和Nz相同，即式中l(wèi)y，l分別是構件的側向彎曲自由長度和扭轉自由長度，對于兩端鉸接的桿ly=l

。第43頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三實腹式壓彎構件在彎矩作用平面外的實用計算公式

受純彎矩作用的雙軸對稱截面構件，其彈性彎扭屈曲的臨界彎矩以NEy和N

值代入上式后得N/NEy和M/Mcr之間的相關關系式

如圖所示，曲線受比值N/NEy的影響很大。N/Ney愈大，壓彎構件彎扭屈曲的承載能力愈高。當N=Ney時，相關曲線變?yōu)橹本€式：

N/NEy+M/Mcr=1第44頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三考慮到不同的受力條件，在公式中引進了非均勻彎矩作用的等效彎矩系數(shù)tx。對于懸臂構件tx=1.0；對于在彎矩作用平面外有支承的構件，根據(jù)兩個相鄰支承點之內桿段的受力條件，如無橫向荷載作用時，tx=0.65+0.35M2/M1，桿段的端彎矩M1和M2使它產(chǎn)生同向曲率時取同號，產(chǎn)生反向曲率時取異號，而且M1≥M2；如果在桿段內只有橫向荷載作用，tx=1.0；如果在桿段內既有端彎矩又有橫向荷載作用，則桿段產(chǎn)生同向曲