專題16一次函數(shù)與幾何綜合壓軸題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集題型二兩直線的交點與二元一次方程組的解題型三一次函數(shù)中最短路徑問題題型四動點問題的函數(shù)圖象題型五一次函數(shù)的規(guī)律探究問題題型六一次函數(shù)與全等三角形綜合題型七一次函數(shù)與平行四邊形綜合題型八一次函數(shù)綜合壓軸題【經(jīng)典例題一根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集】【知識歸納】由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.要點詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標范圍．【例1】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)（）與的圖像如圖所示，當時，，則滿足條件的k的取值范圍是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．或【答案】B【分析】聯(lián)立與，求出兩條直線交點的橫坐標，根據(jù)當時，，結(jié)合圖象列不等式，即可求解．【詳解】解：聯(lián)立與，得，解得，即一次函數(shù)（）與的圖像的交點的橫坐標為，當時，，，當，即時，，解得；當，即時，，解得，與矛盾，不合題意；又，滿足條件的k的取值范圍是且，故選B．【點睛】本題考查根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·安徽·天長市實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)A是函數(shù)，的圖像交點，可把A代入中，求出，所以點，再把A代入解得，不等式可化為，解不等式即可得出答案．【詳解】函數(shù)過點，，解得：，，將A代入中，，解得：解不等式解集為．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，求出點A的坐標和的函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)圖象進行解答是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，垂直x軸的直線l分別與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點，若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知在時，有公共解，因此可以列出不等式，從而得到答案．【詳解】令，則，令，則，∵平移直線，可以使P、Q都在軸的下方，∴可知在時，有公共解，∴，解得：，故填：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是將圖象問題轉(zhuǎn)化為不等式．【變式3】（2022·安徽阜陽·八年級期中）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點A、B，與直線相交于點C，點P為直線上一點．(1)求n和k的值；(2)若點P在射線上，且，求點P的坐標；(3)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集．【答案】(1)，(2)P(3)【分析】（1）把點C代入解析式中，可直接求出n的值；再把點C的坐標代入中，即可求出k的值；（2）先根據(jù)解析式可求出點A和點B的值，進而可求出的面積，則可求出的面積和的面積，過點P作x軸的垂線，表示出的面積，建立方程即可；（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）把點C代入解析式中，得，∴C，把點C的坐標代入中，則，解得；（2）∵直線分別與x，y軸交于點A、B，∴A，B，過點C作軸于點M，∴，∴，∴，∵點P在射線上，∴，過點P作軸于點N，∴，∴，∴，令，則，解得，∴P；（3）由圖象可知，不等式的解集為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積以及函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想．【經(jīng)典例題二兩直線的交點與二元一次方程組的解】【知識歸納】一次函數(shù)與二元一次方程組每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.

要點詮釋：

1.兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.

2.當二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.

3.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應(yīng)兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對應(yīng)的方程組的解情況：根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．3．對于一個復(fù)雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．【例2】（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點，且實數(shù)，，滿足等式：，則一次函數(shù)與軸的交點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將點代入函數(shù)中，得到關(guān)于，，的關(guān)系式，將看作常數(shù)，再聯(lián)立滿足的等式組成二元一次方程組，將，用含的式子表示出來，此時再回代入函數(shù)中，求解出的值，最后在一次函數(shù)中令，求解出y的值，最終表示出交點坐標即可．【詳解】解：將點代入函數(shù)中，得：，又∵，化簡可得：此時聯(lián)立方程組可得：，解得：，∴點的坐標可表示為（-k，2k），將（-k，2k）代入得：，解得，∵為常數(shù)且，∴，此時一次函數(shù)，令，解得：，∴交點坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，聯(lián)立二元一次方程組并正確求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021·全國·八年級期中）在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，使其與的交點在位于第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再聯(lián)立它與另一個函數(shù)解析式求出它們的交點坐標，根據(jù)第二象限的坐標特點為，得到關(guān)于m的不等式組，解這個不等式組即可得出m的取值范圍．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向上平移m個單位長度后的圖象的解析式為，聯(lián)立后可以得到：，解得，因為它們的交點在第二象限，即，解得，，故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移以及求圖象的交點的問題，解決本題需要建立關(guān)于x和y的二元一次方程組和關(guān)于m的不等式組，要求學(xué)生能熟練運用平移的規(guī)則得到平移后的函數(shù)解析式，同時能聯(lián)立這兩個解析式求交點坐標，最后還需要根據(jù)交點坐標的特征建立不等式組求出其中的字母參數(shù)的取值范圍，整個過程對學(xué)生的計算能力有較高的要求．【變式2】（2021·全國·八年級專題練習(xí)）對于實數(shù)a，b，我們定義符號max{a，b}的意義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{x+3，﹣x+1}，則該函數(shù)的最小值是_____．【答案】2【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組找出交點坐標，再根據(jù)max{a，b}的意義即可得出函數(shù)的最小值．【詳解】解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，得：，解得：．∴當x＜﹣1時，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；當x≥﹣1時，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．∴函數(shù)y＝max{x+3，﹣x+1}最小值為2．故答案為：2．【點睛】本題考查一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握分段函數(shù)的解析式和函數(shù)最值的求解方法．【變式3】（2022·黑龍江鶴崗·八年級期末）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點．(1)如圖，直線與直線交于點，與軸交于點，點的橫坐標為．①求點的坐標及的值；②直線、直線與軸所圍成的的面積等于多少？(2)在（1）的條件下直線與軸交于點，在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如存在，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)①的坐標是，的值為；②直線、直線與軸所圍成的的面積等于(2)存在，的坐標為或或【分析】（1）①將x=-l代入y=-2x+1，得出B點坐標，進而求出k的值；②求出A，C點坐標，進而得出AC的長，即可得出△ABC的面積；（2）分兩種情況若，為腰；若，為腰進行解答．（1）①在中，令得，，把代入得：，解得，，的坐標是，的值為；在中，令得，，在中，令得，，，直線、直線與軸所圍成的的面積等于；（2）在軸上存在點，使是以為腰的等腰三角形，理由如下：在中，令得，，，，設(shè)，則，，若，為腰，則，解得或，或；若，為腰，則，解得或與重合，舍去，，綜上所述，的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩直線相交問題以及等腰三角形存在性問題等知識，得出A，C，E點坐標是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三一次函數(shù)中最短路徑問題】【解題技巧】我們將“連點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上個點的所有線段中，垂線段最短”這樣的問題稱為最短路徑問題。一次函數(shù)背景下的最短路徑問題通常表現(xiàn)為：動點在直線上（一次函數(shù)或者x軸，y軸上），動點與兩定點的距離之和最小，求點的坐標或者線段之和的最小值?！纠?】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線與直線的交點，點B是直線與y軸的交點，點P是x軸上的一個動點，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．【答案】D【分析】作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B，則PA+PB的最小值即為A'B的長，先求出點A坐標，再待定系數(shù)法求出b的值，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點A'的坐標，進一步求出A'B的長，即可確定PA+PB的最小值．【詳解】解：作點A關(guān)于x軸的對稱點，連接，如圖所示：則PA+PB的最小值即為的長，將點A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴點A坐標為（3，6），將點A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴點B坐標為（0，3），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得點A'坐標為（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值為．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及兩直線的交點問題，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對稱解決最短路徑問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·山東·濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知直線：分別交軸、軸于點兩點，，分別為線段和線段上一動點，交軸于點，且．當?shù)闹底钚r，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得，取點，連接，證明，即可推導(dǎo)，即有，因為，即當共線時，的值最?。焕么ㄏ禂?shù)法求出直線的解析式，即可獲得答案．【詳解】解：對于直線：，當時，可有，當時，可有，解得，∴，又∵，∴，如下圖，取點，連接，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴的最小值為線段的長，即當共線時，的值最小，設(shè)直線的解析式為，將點代入，可得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴點，∴當?shù)闹底钚r，點的坐標為．故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像上的點的特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、最短路徑、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)知識，并學(xué)會構(gòu)建全等三角形解決問題．【變式2】（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．【答案】【分析】如圖所示，過點Q作軸于D，過點B作于E，設(shè)，利用勾股定理求出，再利用三角形面積法求出，則