高等數(shù)學二重積分的計算第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四對應(yīng)有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)則特別,對機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例6.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四則極坐標系情形:若積分區(qū)域為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標線被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四練習1.設(shè)且求解:交換積分順序后,x,y互換機動目錄上頁