2022年5月濟(jì)南市高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C．1 D．33．已知單位向量，，，滿足，則向量和的夾角為（）A． B． C． D．4．“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（）A．648個(gè) B．720個(gè) C．810個(gè) D．891個(gè)6．已知圓，若圓M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且，則（）A． B．2 C． D．17．如圖1，洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中的九宮格，將自然數(shù)1，2，3，…，放置在n行n列的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)字之和（簡(jiǎn)稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“n階幻方”．洛書就是一個(gè)3階幻方，其“幻和”為15．則7階幻方的“幻和”為（）A．91 B．169 C．175 D．1808．已知函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，全球二氧化碳排放量增長(zhǎng)迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了約40%，我國(guó)作為發(fā)展中國(guó)家，經(jīng)濟(jì)發(fā)展仍需要大量的煤碳能源消耗．下圖是2016—2020年中國(guó)二氧化碳排放量的統(tǒng)計(jì)圖表（以2016年為第1年）．利用圖表中數(shù)據(jù)計(jì)算可得，采用某非線性回歸模型擬合時(shí)，；采用一元線性回歸模型擬合時(shí)，線性回歸方程為，．則下列說(shuō)法正確的是（）A．由圖表可知，二氧化碳排放量y與時(shí)間x正相關(guān)B．由決定系數(shù)可以看出，線性回歸模型的擬合程度更好10．將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的最小正周期為B．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為C．的單調(diào)遞減區(qū)間為D．的圖象與函數(shù)的圖象重合11．已知函數(shù)，．若實(shí)數(shù)a，b（a，b均大于1）滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C． D．12．如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同．從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次．若質(zhì)點(diǎn)Q的初始位置位于點(diǎn)A處，記點(diǎn)Q移動(dòng)n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．點(diǎn)Q移動(dòng)4次后恰好位于點(diǎn)的概率為0 D．點(diǎn)Q移動(dòng)10次后恰好回到點(diǎn)A的概率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．14．已知拋物線，若過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線恒有公共點(diǎn)，則p的值可以是______．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）15．2022年3月，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于構(gòu)建更高水平的全民健身公共服務(wù)體系的意見(jiàn)》，再次強(qiáng)調(diào)持續(xù)推進(jìn)體育公園建設(shè)．如圖，某市擬建造一個(gè)扇形體育公園，其中，千米．現(xiàn)需要在，OB，上分別取一點(diǎn)D，E，F(xiàn)，建造三條分健走長(zhǎng)廊DE，DF，EF，若，，則的最大值為______千米．16．在四面體ABCD中，已知，，記四面體ABCD外接球的球心到平面ABC的距離為，四面體內(nèi)切球的球心到點(diǎn)A的距離為，則的值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．（1）求的值；（2）若△ABC的面積為，求的值．18．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．19．（12分）如圖1，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將四邊形EFDC沿直線EF折起，使得平面平面ABEF．如圖2，點(diǎn)M，N分別滿足，．（1）求證：平面BMN；（2）求平面AFM與平面BMN夾角的余弦值．20．（12分）數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)直播購(gòu)物規(guī)模近幾年保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，而直播購(gòu)物中的商品質(zhì)量問(wèn)題逐漸成為人們關(guān)注的重點(diǎn)．已知某顧客在直播電商處購(gòu)買了件商品．（1）若，且買到的商品中恰好有2件不合格品，該顧客等可能地依次對(duì)商品進(jìn)行檢查．求顧客檢查的前4件商品中不合格品件數(shù)X的分布列．（2）抽檢中發(fā)現(xiàn)直播電商產(chǎn)品不合格率為0.2．若顧客購(gòu)買的n件商品中，至少有兩件合格產(chǎn)品的概率不小于0.9984，求n的最小值．21．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）A，B為橢圓C上兩點(diǎn)，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，求△PAB面積的最大值．22．（12分）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，若存在大于零的極值點(diǎn)，求b的取值范圍．（2）若存在，（其中，使得曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處有相同的切線，求a的取值范圍．參考答案：1．D【解析】【分析】求出集合A和B，根據(jù)集合的交集的概念即可計(jì)算．【詳解】，，所以{0,1}.故選：D.2．B【解析】【分析】由化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得共軛復(fù)數(shù).【詳解】由，則.故選：B3．A【解析】【分析】將兩邊平方再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．4．C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求出a的范圍即可判斷．【詳解】方程表示的曲線為雙曲線，則a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，故“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的充要條件．故選：C．5．D【解析】【分析】5位“回文數(shù)”的萬(wàn)位與個(gè)位相同，千位與十位相同，所以只需確定前3位即可.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的特點(diǎn)，只需確定前3位即可，最高位即萬(wàn)位有9種排法，千位和百位各有10種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法，其中各位數(shù)字相同的共有9種，則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有種.故選：D.6．B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，，由垂徑定理得，，求解即可.【詳解】：的圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)，且，所以設(shè)，，由垂徑定理得，，即，解得，所以.故選：B.7．C【解析】【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)1至累加除以n即可得結(jié)果.【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為.故選：C8．C【解析】【分析】化簡(jiǎn)f(x)解析式，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，在同一個(gè)坐標(biāo)系作出正弦和余弦函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的圖象：f(x)在上有4個(gè)零點(diǎn)，則，故a的最大值為．故選：C．9．ABD【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷A；根據(jù)決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好即可判斷B；求出2019年所對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)的殘差即可判斷C；由回歸方程求出當(dāng)時(shí)的估計(jì)值即可判斷D.【詳解】解：由散點(diǎn)圖可得二氧化碳排放量y與時(shí)間x正相關(guān)，故A正確；因?yàn)?，所以線性回歸模型的擬合程度更好，故B正確；當(dāng)時(shí)，，而，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即利用線性回歸方程預(yù)計(jì)2025年中國(guó)二氧化碳排放量為107.24億噸，故D正確.故選：ABD.10．ABC【解析】【分析】先通過(guò)三角函數(shù)的平移變化得到，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)可以判斷A,B,C，進(jìn)而通過(guò)誘導(dǎo)公式可以判斷D.【詳解】根據(jù)題意，，則周期，A正確；對(duì)B，令，B正確；對(duì)C，令，即函數(shù)的減區(qū)間為，C正確；對(duì)D，因?yàn)?，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．AD【解析】【分析】A：求f(x)定義域和奇偶性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷f(x)單調(diào)性；B：f(x)向左平移一個(gè)單位得到g(x)，據(jù)此即可判斷g(x)對(duì)稱中心；C：根據(jù)g(x)關(guān)于(-1，0)對(duì)稱化簡(jiǎn)，再結(jié)合g(x)單調(diào)性得a與b的大小關(guān)系和范圍，由此可判斷和的大小關(guān)系；D：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可判斷．【詳解】對(duì)于A，，在上恒成立，定義域?yàn)椋吹亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，，，，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，和單調(diào)性相同，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，令，則在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，，，，故D正確．故選：AD．12．ACD【解析】【分析】根據(jù)題意找出點(diǎn)Q在下或上底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐步分析計(jì)算確定各選項(xiàng)正誤.【詳解】在正方體中，每一個(gè)頂點(diǎn)由3個(gè)相鄰頂點(diǎn)，其中兩個(gè)在同一底面，所以當(dāng)點(diǎn)Q在下底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次仍在下底面的概率為，在上底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次回到下底面的概率為，所以，故A正確，，故B錯(cuò)誤，點(diǎn)Q由點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)處最少需要3次，任意折返都需要2次移動(dòng)，所以移動(dòng)4次后不可能到達(dá)點(diǎn)，故C正確，由于且，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】有一些復(fù)雜的概率模型可通過(guò)找尋與之間的遞推關(guān)系，從而求出.13．3【解析】【分析】利用基本不等式求目標(biāo)式最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：314．（答案不唯一，不小于2的實(shí)數(shù)均正確）【解析】【分析】點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部或在拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線恒有公共點(diǎn)，由此建立不等式即可.【詳解】解：若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部或在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線恒有公共點(diǎn)，所以當(dāng)x=1時(shí)，，解得，故答案為：（答案不唯一，不小于2的實(shí)數(shù)均正確）.15．#【解析】【分析】利用余弦定理和基本不等式即可求解.【詳解】∵在四邊形中，，，，∴,在△中，由余弦定理得,即,，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，,即，.故答案為：.16．##【解析】【分析】將四面體放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，即可求出外接球半徑，再求出的外接圓半徑，即可求出，判斷出外接球的球心和內(nèi)切球的球心重合即可求出.【詳解】由題意可將四面體放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)寬高為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則，在中，，則，設(shè)的外接圓半徑為，則，則，所以，可得，設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)樗拿骟w的各個(gè)面都相等，且，則，解得，因?yàn)?，四面體的各個(gè)面都相等，則外接球的球心到各個(gè)面的距離相等，所以外接球的球心和內(nèi)切球的球心重合，所以，所以.故答案為：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合，可求出．（2）利用余弦定理，結(jié)合面積公式，得出．(1)因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以?2)由（1）及余弦定理知，整理得：①由面積公式：，整理得：②，②相加得：，所以．18．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念即可判斷為等差數(shù)列，求出，從而可求；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，采用放縮思想和裂項(xiàng)相消法即可證明.(1)因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，則，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則；(2)因?yàn)椋裕米C．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）連接AE交BN于點(diǎn)G，連接MG，則由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABEF，由已知可得，則平面ABEF，，，再由線面垂直的判定可得結(jié)論，（2）分別以FA，F(xiàn)E，F(xiàn)D所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可(1)連接AE交BN于點(diǎn)G，連接MG，設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，平面CDFE，，所以平面ABEF，因?yàn)辄c(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，，所以，又因?yàn)椋?，所以平面ABEF，因?yàn)槠矫鍭BEF，所以，又，，所以，因?yàn)?，NB，平面BMN，所以平面BMN．(2)因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以FA，F(xiàn)E，F(xiàn)D兩兩垂直，所以分別以FA，F(xiàn)E，F(xiàn)D所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示所以，，，所以，，設(shè)平面AFM的法向量為，由，令，得，由（1）知平面BMN的法向量為，設(shè)平面AFM與平面BMN的夾角為，所以，所以平面AFM與平面BMN夾角的余弦值為．20．(1)分布列見(jiàn)解析；(2)6.【解析】【分析】（1）由題意X的可能值為0，1，2，利用古典概率求法求對(duì)應(yīng)概率值，進(jìn)而寫出分布列；（2）根據(jù)題意有，研究不等式左側(cè)的單調(diào)性，進(jìn)而求n的最小值．(1)由題意知，X的取值為0，1，2．，，．所以顧客檢查的前4件商品中不合格品件數(shù)X的分布列為X015P(2)記“顧客購(gòu)買的n件商品中，至少有兩件合格產(chǎn)品”為事件A，則，由題意，，所以，即，設(shè)，則，所以，則遞減，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，成立，故n的最小值為6．21．(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)根據(jù)離心率和橢圓過(guò)P即可列出關(guān)于a、b、c的方程組，解出a、