2022屆湖南省岳陽(yáng)市平江縣高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，1)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是 B．，C． D．的虛部是【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)虛部的定義、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，1)，所以，因此，所以選項(xiàng)A不正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，所以的虛部是，因此選項(xiàng)D正確，故選：D2．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式不等式和二次不等式求解方法求得再求即可【詳解】由題，即且，解得或，又即，解得或，故，故故選：C3．河南洛陽(yáng)的龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門(mén)石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱(chēng)中國(guó)四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則log2a4的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由題意可知，“浮雕像”從下到上構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而通過(guò)等比數(shù)列求和公式求出首項(xiàng)，然后求出，最后求出答案.【詳解】根據(jù)題意，“浮雕像”從下到上構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為.于是，則.故選：C.4．某種藥物呈膠囊形狀，該膠囊中間部分為圓柱，左右兩端均為半徑為的半球．已知該膠囊的體積為，則它的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)中間圓柱部分的高為，利用體積公式求出，然后由球的表面積和圓柱的側(cè)面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)中間圓柱部分的高為，則膠囊的體積，解得，所以膠囊的表面積為；故選：C5．已知為拋物線上一點(diǎn)，到拋物線的焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由拋物線的定義可求得的值.【詳解】由題意可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，解得.故選：C.6．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，則，，然后利用兩角和的正弦和余弦公式可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，則，，則，，故選：A.7．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)是5，方差是4，則由，，和這四個(gè)數(shù)據(jù)組成的新數(shù)據(jù)組的方差是（

）A．16 B．14 C．12 D．11【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得；【詳解】解：由已知得，，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差為，，故選：C．8．已知函數(shù)，若不等式有且僅有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化不等式有且僅有2個(gè)整數(shù)解有兩個(gè)整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合列出不等式及可求得答案.【詳解】解：由題意得：不等式有且僅有2個(gè)整數(shù)解，即可知有兩個(gè)整數(shù)解于是有兩個(gè)整數(shù)解令，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不成立；當(dāng)時(shí)，如圖所示，有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，也不成立；當(dāng)時(shí)，如圖所示，要使得有兩個(gè)整數(shù)解，則可知：所以則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．線性回歸方程必過(guò)B．設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，則越接近于0，x和y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，則的值越小，判斷兩個(gè)變量有關(guān)的把握越大D．若，，則【答案】AD【分析】根據(jù)線性回歸方程的特征、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)、卡方的意義，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)樵浇咏?，x和y之間的線性相關(guān)程度越弱，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)榈闹翟叫。_定兩個(gè)變量有關(guān)的把握的程度越小，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)椋?，因此選項(xiàng)D正確，故選：AD10．下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若是銳角三角形的內(nèi)角，則；B．存在實(shí)數(shù)，使得；C．直線是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸；D．函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到的圖象．【答案】AC【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、輔助角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、圖象變換等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，是銳角三角形的內(nèi)角，，，由于在上遞增，所以，所以A正確.B選項(xiàng)，，，，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到的圖像，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．如圖，在直棱柱中，各棱長(zhǎng)均為2，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三棱錐外接球的體積為B．異面直線與所成角的正弦值為C．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為D．N是所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，求出△ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出三棱錐外接球的半徑，求出體積；B選項(xiàng)，作平行線，找到異面直線與所成角，用余弦定理求出余弦值，進(jìn)而求出正弦值；C選項(xiàng)，將平面與平面沿著公共邊折疊到同一平面內(nèi)，利用勾股定理進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，由拋物線定義進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)樵谥崩庵?，各棱長(zhǎng)均為2，，所以△ABC為等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球球心為O，則O在底面ABC的投影為△ABC的中心H，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理得：，所以△ABC外接圓半徑為，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則，故三棱錐外接球的體積為，A正確；連接，，則，且從圖中可以看出為銳角，所以異面直線與所成角即為，由勾股定理得：，由余弦定理得：，故在△中，由余弦定理得：，所以，B錯(cuò)誤；將平面與平面沿著公共邊折疊到同一平面內(nèi)，如圖連接，與的交點(diǎn)即為取得最小值的M，此時(shí)的長(zhǎng)度即為最小值，其中，，由勾股定理得：，C正確；因?yàn)槠矫鍭BCD，故點(diǎn)N到直線的距離即為的長(zhǎng)，又因?yàn)槠矫鍭BCD，故在平面ABCD上，到一點(diǎn)N的距離等于到直線BC的距離，由拋物線的定義可知：N的軌跡為拋物線，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解立體幾何圖形的外接球或內(nèi)切球問(wèn)題，要能抓住關(guān)鍵點(diǎn)，比如球心的位置的確定，通常情況下先找球心在某個(gè)三角形或者四邊形中的投影來(lái)確定.12．甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為，則（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】AC【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率求解.【詳解】若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以，故正確；若甲、乙比賽6局甲獲勝，則甲在6局比賽中至少勝4局，所以，故錯(cuò)誤；C.若甲、乙比賽2n局甲獲勝，則甲在2n局比賽中至少勝n+1局，所以，，故正確；D.因?yàn)?，且，所以遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題13．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的上、下焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作y軸的垂線交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，則△PF1Q的面積為_(kāi)_______．【答案】【分析】先求出上、下焦點(diǎn)和，即可求出△PF1Q的面積.【詳解】雙曲線C:的上、下焦點(diǎn).令代入，解得：，所以.所以，所以△PF1Q的面積為.故答案為：14．已知，則的值為_(kāi)_____________．【答案】78【分析】令求，分別令，代入已知關(guān)系式，然后兩式相加即可求解．【詳解】令，可得，令，可得①令，則②所以②①可得：，所以，即故答案為：15．設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)(包含B，C兩個(gè)端點(diǎn))，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】[1，2]【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，設(shè)，所以，因此有，因?yàn)椋杂?，于是有，因?yàn)?，所以，所以，即，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是題的關(guān)鍵.四、雙空題16．已知數(shù)列滿足，且，，則該數(shù)列的首項(xiàng)______；若數(shù)列的前項(xiàng)的為，且對(duì)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________．【答案】

1

【分析】先判斷出為等差數(shù)列，利用即可求出和，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，所以，所以為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.因?yàn)?，所以，，所以，解得?所以，所以，所以.所以.所以因?yàn)閷?duì)都有恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：1；.五、解答題17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若已知．(1)求角B的大??；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦的二倍角公式、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)由及正弦定理，得，；(2)由余弦定理有.18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）先計(jì)算，當(dāng)時(shí)，由遞推關(guān)系求解，同理可求，，分組求和即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適用上式，所以.(2)，，當(dāng)時(shí)，，，同理可得：，所以數(shù)列前20項(xiàng)和.19．新冠疫情在西方國(guó)家大流行，國(guó)際衛(wèi)生組織對(duì)某國(guó)家進(jìn)行新型冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查．在某地抽取n人，每人一份血樣，共份，為快速有效地檢驗(yàn)出感染過(guò)新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：方案甲：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方案乙：混合檢驗(yàn)，把受檢驗(yàn)者的血樣分組，假設(shè)某組有份，分別從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說(shuō)明這k個(gè)人全部為陰性，因而這k個(gè)人的血樣只要檢驗(yàn)這一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k個(gè)人中究竟哪些人感染過(guò)新型冠狀病毒，就要對(duì)這k個(gè)人的血樣再逐份檢驗(yàn)，因此這k個(gè)人的總檢驗(yàn)次數(shù)就為．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人中，每個(gè)人血樣檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是相互獨(dú)立的，且每個(gè)人血樣的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性的概率為．(1)若，，用甲方案進(jìn)行檢驗(yàn)，求5人中恰有2人感染過(guò)新型冠狀病毒的概率；(2)記為用方案乙對(duì)k個(gè)人的血樣總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)．①當(dāng)，時(shí)，求；②從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，p在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)①②【分析】（1）利用每個(gè)人的血樣檢驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性解題.（2）分別計(jì)算出總檢驗(yàn)次數(shù)為1與時(shí)的概率，即可列出分布列，進(jìn)而求得；如果用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)，則，化簡(jiǎn)后即可求解.【詳解】(1)對(duì)5個(gè)人的血樣進(jìn)行檢驗(yàn)，且每個(gè)人的血樣是相互獨(dú)立的，設(shè)事件A為“5個(gè)人的血樣中恰有2個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性”，則(2)①當(dāng)，時(shí)，5個(gè)人的血樣分別取樣再混合檢驗(yàn)，結(jié)果為陰性的概率為，總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)為1次；結(jié)果為陽(yáng)性的概率為，總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)為6次；所以的分布列為：16P所以．②當(dāng)采用混合檢驗(yàn)的方案時(shí)，根據(jù)題意，要使混合檢驗(yàn)的總次數(shù)減少，則必須滿足，即，化簡(jiǎn)得，所以當(dāng)P滿足，用混合檢驗(yàn)的方案能減少檢驗(yàn)次數(shù)．20．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若直線平面，，且與平面所成的角正弦值為，求銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行推出線面平行即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由與平面所成的角正弦值求出平面ACD的法向量，即可求出銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：連接交于易證為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)所以又面，且不在面內(nèi)故平面(2)取PC中點(diǎn)為Q，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，OC為y軸，OQ為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OB=m，則設(shè)平面的法向量為由，令，有由與平面所成的角正弦值為平面ACD的法向量為則銳二面角的余弦值為21．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)；(1)求橢圓的方程，(2)在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)離心率和之間的關(guān)系求橢圓方程.（2）當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)的方程為，根據(jù)韋達(dá)定理列出方程，然后根據(jù)定值的求法計(jì)算即可；當(dāng)直線與軸重合時(shí)，計(jì)算出各坐標(biāo)點(diǎn)代入也成立.【詳解】(1)解：由題意得：，

，

-所以橢圓的方程為(2)設(shè)（?。┊?dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)的方程為

代入得：，則，

-

-當(dāng)，即時(shí)，無(wú)論取何值，的值恒為2，得點(diǎn)，