湖南師大附中2023屆模擬試卷（二）數(shù)學(xué)命題人：黃祖軍朱修龍龔紅玲吳浩注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足：，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四2.已知方程有實(shí)根；函數(shù)為增函數(shù)，則p是q的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.設(shè)，則a，b，c大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.4.在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則A. B.C. D.5.下列關(guān)于統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)的判斷，正確的是（）A.將總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，且已知，則總體方差B.在研究成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.按從小到大順序排列兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期是B.在上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心D.先將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的，再將所得的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象7.已知函數(shù)是定義在上偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.三棱柱中，棱長均為2，頂點(diǎn)在底面上的投影為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱柱的體積為1 B.與平面所成的角為C. D.異面直線與所成角為10.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心．已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（）A. B.函數(shù)既有極大值又有極小值C.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間上單調(diào)遞減11.已知點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過點(diǎn)P向雙曲線兩漸近線作垂線，設(shè)垂足分別為M、N，則下列所述正確的是（）A.為定值 B.O、P、M、N四點(diǎn)一定共圓C.的最小值為 D.存在點(diǎn)P滿足P、M、三點(diǎn)共線時(shí)，P、N、三點(diǎn)也共線12.若直線與兩曲線、分別交于、兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論正確的有（）A.存在，使 B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.沒有最小值 D.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為243，則這個(gè)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是__________．14.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為6，則直線l的方程是__________．15.若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．16.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，則__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，（1）證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，定義，且記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18.某高中學(xué)校開展生涯規(guī)劃教育，對(duì)今年的1200名考生（其中女生540人）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)知：有意向報(bào)考師范專業(yè)的學(xué)生有200人（其中女生120人）．（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷報(bào)考師范專業(yè)意向是否與性別有關(guān)？報(bào)考意向報(bào)考意向人數(shù)合計(jì)師范專業(yè)非師范專業(yè)男生女生合計(jì)（2）對(duì)有報(bào)考師范專業(yè)意向的學(xué)生按男女分層抽樣得一個(gè)容量為10的樣本，從樣本中任意抽取5人，記抽取到的男生人數(shù)為X，求X的分布列與期望值．附：3841（其中）．19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知邊，且．（1）求面積的最大值；（2）設(shè)當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)的內(nèi)角C為，已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．20.如圖，四邊形是邊長為2菱形，且，平面，，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若的最大值是，求三棱錐的體積．21.如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為．（1）過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若，求的值；（2）過圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．22.已知函數(shù)．（1）若存在最大值M，證明：；（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．

湖南師大附中2023屆模擬試卷（二）數(shù)學(xué)命題人：黃祖軍朱修龍龔紅玲吳浩注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．【1題答案】【答案】A【2題答案】【答案】B【3題答案】【答案】A【4題答案】【答案】D【5題答案】【答案】C【6題答案】【答案】D【7題答案】【答案】C【8題答案】【答案】B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．【9題答案】【答案】BC【10題答案】【答案】ABD【11題答案】【答案】ABC【12題答案】【答案】ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．【13題答案】【答案】80【14題答案】【答案】或【15題答案】【答案】【16題答案】【答案】四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．【17題答案】【答案】（1）證明見解析