第三章蒙特卡洛方法的若干應(yīng)用蒙特卡洛方法是利用隨機變量的一個數(shù)值序列來得到特定3.1蒙特卡洛方法在積分計算中的應(yīng)用一、一維定積分計算的平均值法(期望值估計法)。在x的定義域[0，1]上均勻地隨機取點，該均勻分布的隨機變量記為ξ。我們定義一個隨機變量η1為η1=f(ξ).η1的期望值等于積分值I。只要抽取足夠多的隨機點，即取隨機點數(shù)n足夠大時，f(ξ)的平均值In=f(ξi)就是積分I的一個無偏估計值。Ix0Ix0的方差。顯然V{η1}依賴于被積函數(shù)f(x)在積分域上的方差。當(dāng)f(x)在x的定義域內(nèi)變化平坦，即和I的差處處都較小時，方差也??；反之，yffxy1fxI0x0可以采用各種抽樣技巧。如采用重要抽樣法，將f(x)的方差吸收g(x)中去，這樣模擬量—記錄函數(shù)f*(x)=f(x)/g(x)在定義域內(nèi)相平坦，則我們將(3.1.1)式的計算變?yōu)镮=f(x)dx=g(x)dx=f*(x)g(x)dx為偏倚分布密度函數(shù)。我們得到給出了I的一個無偏估計值。這時的方差為：22式中角型括號表示對括號內(nèi)所有可能的[0，1]區(qū)間，按g(x)分布的隨機坐標(biāo)數(shù)序列{xi}對應(yīng)的數(shù)值求平均。方程右邊第一項對在單位正方形內(nèi)均勻投點，每個點的坐標(biāo)為(xi,yi)，共做N驗成功)；反之，則認(rèn)為試驗失敗。用蒙特卡洛的語言來講，就是產(chǎn)生隨機數(shù)ξ1,ξ2。如果ξ1≤f(ξ2)，m次成功，則比值m/N就給出I的一個無偏估計值：I≈.Ni=1NNi=1N這是I的一個近似值，它的方差為容易證明擲點法的方差比平均值法的方差大η(x,ξ2)dx=2)η(x,ξ2)dx+(ξ2)η(x,ξ2)dx=f(ξ2)替了η(ξ1,ξ2)。代替η(ξ1,ξ2)，就必然會減小方差。所以在一切模擬過程中，能使變到n體末態(tài)的相空間積分，由于每個末態(tài)粒子都有動量和能量前面講的一維定積分計算的平均值法和擲點法都可以推而111000分貢獻(xiàn)可能強烈地變化。如果我們在積分的超立方體內(nèi)均勻抽當(dāng)在積分域內(nèi)f(x1,x2,...,xs)的方差很大時，就會產(chǎn)生這個效應(yīng)。為了減少這些對誤差的貢獻(xiàn)，我們將隨機投點更多地投在 義s000它給出了I的一個無偏估計值，并可以作為I的近似值。?如果在積分域?內(nèi)f(x1,x2,...,xs)的方差并不大，為了簡化抽樣，就取0,其它0,其它這時記錄函數(shù)為就給出了I的近似值。樣方法”。這種積分方法也叫做分層蒙特卡(1)蒙特卡洛方法計算定積分的收斂速度與積分的重數(shù)無關(guān)。 (2)蒙特卡洛方法求定積分的誤差僅僅與方差V{f}和子樣容量n (3)被求定積分的維數(shù)變化，除了引起抽樣及計算時間有變化(1)利用該方法處理多重積分問題時，維數(shù)越高，其優(yōu)越性(2)利用蒙特卡洛計算定積分問題時受積分域的限制較小。只事例產(chǎn)生器(1)目前的各種實驗裝置都相當(dāng)復(fù)雜，對這樣的相空間做解(2)我們在計算總截面時，往往都要變換相空間的變量。這樣就要增加雅可比行列式的因子，因而相空間積分的運(3)假如我們要考慮各探測器的效率，就必須引入各種隨機統(tǒng)計的效應(yīng)。解析求積分的方法這時就無法處理這類統(tǒng)“非加權(quán)”的含義是指末態(tài)粒子的四動量是按精確的微分截面來jd的蒙特卡洛估計值為(2)σ′的期望值等于σ。(1)自適應(yīng)抽樣法，它是將重要抽樣法和分層抽樣法結(jié)合起來(2)重要抽樣法。它們都可以減小計算出的截面方差。(1)隨機地選擇一個子空間。這些子空間的劃分是自適應(yīng)蒙特卡洛方法程序運行第一階段自動調(diào)整子區(qū)間的邊(2)在這個子空間內(nèi)隨機地抽取一個事例樣本，并計算該事例的權(quán)重w。該權(quán)重定義為對應(yīng)于該事例參數(shù)的微(3)采用舍選法選擇事例：取[0，1]上的均勻分布隨機數(shù)ξ，如果ξ≤w，該事例被接受；反之，該事例被舍棄。(4)重復(fù)上面(1)—(3)，直到獲得所需要的事例數(shù)。按照相對論量子力學(xué)理論，總截面可以表示為σ=jMρdv是對所有的運動學(xué)變量構(gòu)成的空間v進(jìn)行的。不變矩陣元平方調(diào)整子空間邊界的自適應(yīng)蒙特卡洛抽樣的事例產(chǎn)生器往往不重要抽樣法的非權(quán)重事例產(chǎn)生器程序產(chǎn)生事例的基本步驟近似表達(dá)式在相空間內(nèi)應(yīng)當(dāng)是解析可積的，并且其函數(shù)(2)根據(jù)該微分截面近似表達(dá)式的分布，隨機抽取事例。(4)采用舍選法抽取非權(quán)重事例。取[0，1]區(qū)間上均勻(5)重復(fù)(2)—(4)過程，直至獲得所需數(shù)量的事例不具通用性的困難。重要抽樣法存在的第二個困難也同樣是出現(xiàn)在當(dāng)矩陣元平?jīng)Q。該方法是基于迭加原(1)(2)(3)(4)將精確微分截面dσ分成若干dσi的迭加。每個dσi有它自子產(chǎn)生器的概率正比于對應(yīng)于σi的近似截面值i。對于由第i個產(chǎn)生器產(chǎn)生的事例計算權(quán)重因子wi=dσi/di。用舍選法得到以dσ分布的事例。從在產(chǎn)生事例過程中得到的wi可以算出總截面值為：σ=jdσ=jdσ=widi=w,這里widi表示以近似微分截面d分布的事例的權(quán)重因子wi的平w下方法產(chǎn)生事例的權(quán)重因子w的平均值，即選擇在[0，1]區(qū)域上均勻分布隨機數(shù)ξ，判斷滿足不等式j(luò)≤ξ<j的i值。然后按di分布產(chǎn)生事例。通常一個事例產(chǎn)生器的效率定義為E=w.wmax粒子碰撞過程的相空間產(chǎn)生出射粒子的四動量常常會出現(xiàn)困難。假定對于n粒子末態(tài)，它的洛倫茲不變四動量記為p1,...,pn，對應(yīng)的質(zhì)量為m1,...,mn，則其洛侖n茲不變的相空間體積元dΦ表示為n相空間體積元可按如下公式因子化其中Q=pj。n粒子末態(tài)的反應(yīng)過程的全截面積分表示可以寫為V相空間積分的復(fù)雜性主要來自它是一個高維多重積分。被積函數(shù)中的δ函數(shù)表面上看起來很簡單，但是它對積分域的限制卻一般來講，對兩體末態(tài)的過程，相空間積分還比較簡單，但產(chǎn)生n粒子相空間的方法之一是基于反復(fù)利用因子化公式，使末態(tài)的n粒子體系是來源于順序排列的兩體衰變。反復(fù)利用公式(3.3.2b)我們得到(2)洛侖茲變換到qi的靜止坐標(biāo)；(5)取(6)變換回到原來的洛侖茲系統(tǒng)；該方法產(chǎn)生隨機事例的權(quán)重為W(2π)4?3n21?2n.RAMBO空間中產(chǎn)生非加權(quán)事例的程子的相空間體積為Rn量可以看作是描述n個無質(zhì)量粒子四動量q系統(tǒng)，該四動量不受動量守恒限制，但其出現(xiàn)具有權(quán)重f，以保持總體積有限。四矢量q通過下式與物理四動量相關(guān)聯(lián)：我們將這個變換和其逆變換表示為換得到nnnnnn這就給出了按照相空間產(chǎn)生無質(zhì)量粒子四動量p的蒙特卡洛算(1)產(chǎn)生相互獨立的n個無質(zhì)量粒子四動量q，它們具有角度n[0,1]區(qū)間均勻分布的偽隨機數(shù)ξi，則可以按以下公式得到按要求分布的四動量q。z0z0(2)將四矢量q變換為四矢量p。這樣得到的每個事例都有相同的權(quán)重，該權(quán)重等于有質(zhì)量粒子的相空間構(gòu)造可以從無質(zhì)量構(gòu)造開始產(chǎn)生，然后(1)讓p為一組無質(zhì)量粒子的動量。我們又從無質(zhì)量粒子相空間開始計算(2)利用下式將p變換到四動量kiμ：其中ζ為如下方程的根：它的逆變換，即將kiμ變換到四動量p可以得到：ω=.(3)經(jīng)過一些數(shù)學(xué)計算后，我們得到：其中{p}和{k}分別為一組可能的四動量p和kiμ。明顯地，我們可以看到交換兩組四動量{p}和{k}，相空間蒙特卡洛模擬權(quán)重可寫為于中產(chǎn)生n個有質(zhì)量末態(tài)粒子的步驟：(1)產(chǎn)生n各無質(zhì)量末態(tài)粒子的事例；(2)數(shù)值求解方程(3.3.23)的根；(3)利用公式(3.3.22)得到有質(zhì)量粒子的動量。這樣的事例權(quán)重為m0，m0，3．4高能物理實驗中蒙特卡洛方法的應(yīng)用一、實驗設(shè)計中的蒙特卡洛方法的應(yīng)用高能粒子反應(yīng)的終態(tài)粒子在探測器中的輸運是個很復(fù)雜的息和(或)能量沉積信息來決定終態(tài)粒子的物理參數(shù)，如能量、Vc其中p為粒子動量，Z為該粒子電荷(以電子電荷為單位)。B為算出的動量實際上包含了探測器對徑跡空間的有限分辨率引起一般情況下，模擬計算得到的動量分辨率是粒子動量的函高能物理實驗的目的之一是要檢驗?zāi)撤N理論或假說的正確。事實上當(dāng)今所有的大型高能物理實驗的建議書都毫不例外從二、實驗數(shù)據(jù)分析中的蒙特卡洛模擬方法的應(yīng)用驗數(shù)據(jù)和對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選分類。為了檢驗這些程序的可靠要從分析程序的結(jié)果中，得到所要研究的反應(yīng)過程的全截然后再將這些徑跡參數(shù)輸入到分析程序中就可以算出該裝置的例如，膠子存在與否的實驗數(shù)據(jù)分析就是基于這種對比的分產(chǎn)生的機制之一為過程eeee→γ→qq.ee→γ→qq裂后均成為強子)。這樣得到的蒙特卡洛計算曲線與實驗點符合N0.40.81.2PTinGeVc)2注軸和事例平面的定義見文獻(xiàn)——M.Althoffetal.Z.Fuer1量子力學(xué)中的波函數(shù)是直接與幾率密度相關(guān)的量,與波函數(shù)相關(guān)的分布密度函數(shù)具有關(guān)系式量子力學(xué)的基本方程是薛定格方程即為波函數(shù)也可以用展開式表示為?∞個精確表示為假定該等式在延拓到t為虛值時仍成立，令t=?iτ，則有n2E貢獻(xiàn)。如果我們?nèi)?0并忽略其它的貢獻(xiàn)項，則有即ψ0()0τ/iDF(,?iτ;,0).為t=tN+1。根據(jù)坐標(biāo)表象的完備性恒等式則+∞D(zhuǎn)F(,t;0,t0)=∫d1d2...dNN+1e?iεH?/iNNe?iεH?/iN?1...1e?iεH?/i0?∞..完備的動量態(tài)矢，則限得到其中常數(shù)A為AmhS為沿路徑的經(jīng)典作用量。=iε,3公式表示傳播子是由連接初態(tài)(t0,t0)和末態(tài)(t,t)的所有路徑，通之和的總作用量。同樣，如果我們假定將時間t延拓到虛數(shù)范圍，上述等式仍然成立。令t=?iτ，作用量S[k,k+1]可以推出為利用上式，可以得到上式中指數(shù)中有一個路徑積分，它的積分是沿路徑上面的公式給出量子力學(xué)中的費曼路徑積分在歐氏時空的表示，揭示出量子理論與統(tǒng)計力學(xué)之間的深刻聯(lián)系。這時的路徑積分與配分函數(shù)兩者在數(shù)學(xué)上是相同的，因而我們可以用計算4jj下面我們就用路徑積分蒙特卡洛方法求解薛定格方程的基態(tài)從上面兩個公式可以使我們聯(lián)想到玻爾茲曼分布，其中變量{i}的位形分布密度函數(shù)正好是將玻爾茲曼分布中的kBT換成iε。x0)在位形{0,1,...,N}(每個位形對應(yīng)一條路徑)在此分布下的平均值。其分布的數(shù)學(xué)表示為p(0,1,....,N)dj=exp?E(0,1,....,N)Z?1dj.歸一化常數(shù)Z?1時，包含了一個由(3.5.24)式所示的積分。這個計算實際上是一個高維的多重xjxjxj?1x2x21x1xt0εNεε2t0εNε(x,0)和(x,τ)的相鄰的兩條路徑。(x,0)和(x,τ)的相鄰的兩條路徑。5(2)再接著選一系列路徑，每條路徑與前一條路徑最多只有在方法來確定滿足上面要求的新徑跡。其中將隨機定下的坐包括在τj時刻坐標(biāo)為x和xj的兩條徑跡的能量差。這樣的隨。xx的估計值，并累加到求和之中。最終該求和所得的值與抽樣路徑的總數(shù)效？這個問題只有靠試驗和結(jié)果的收斂性來決定。如采用上面確定波函數(shù)值時變量x合適的取值范圍必須由經(jīng)驗來確定。初始路徑應(yīng)該選擇連接x0=xN+1=0的路徑。最終得到的結(jié)果應(yīng)當(dāng)?shù)?，即利用二階偏微分的差分公式?x2=h2.xi值6求解基態(tài)本征能量E0和基態(tài)本征態(tài)波函數(shù)ψ0()。波函數(shù)下的變分能量，從而尋找基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)能量。這里節(jié)參數(shù)來改變其值。假定試探函數(shù)為實函數(shù)，則變分原理要求即其中ψ?1()H?ψ()可以看成為“局域能量”ε。如果試探波函數(shù)ψ就是基態(tài)波函數(shù)，則上式中的等號成立。一般情況下選擇的試探函數(shù)只能是一個近似的估計函數(shù)。由哈密頓量的表示可以得到局域能量的公式采用Metropolis方法，按ψ2()的分布產(chǎn)生N個位形{1,2,...,N}，則從公式(3.5.29)可以得到試探波函數(shù)對應(yīng)的能量平均值y為限就是基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)能量本征值E0。下面我們以一個一維的量子體系的變分法蒙特卡洛模擬步(2)采用Metropolis方法，按照分布密度函數(shù)ψi2(x)隨機抽取N個位形{x1,x2,...,xN}，計算能量平均值E。內(nèi)隨機變化一個小量，即ψi(x)→ψi+1(x)，重復(fù)(2)中能量平均值的計算得到E1)。7數(shù)的值。改變，則ψM(x)和E分別是基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)的能量本征值。變分蒙特卡洛方法與隨機游走方法的結(jié)合可以得到很好的試探假定我們對一個處于熱平衡的恒溫(T)的體系感興趣。對該??間位置、動量和自旋等)，它給出該狀態(tài)在相空間中點的坐標(biāo)。在大多數(shù)情況下計算物理量<A>，我們只能借助于近似方法求綜,系統(tǒng)對應(yīng)于粒子的位形空間參數(shù)矢量′的哈密頓量為H(′)中的動能項去掉。這是由于在這時動能項的貢獻(xiàn)可以積分積掉。則在平衡態(tài)時其幾率分布為波爾茲曼(Boltzmann)分布。d為對動量積分后剩余的相空間坐標(biāo)，kB為波爾茲曼常數(shù)。上式值表示f(Φ(i)).ii：一個狀態(tài)序列。最終生成的狀態(tài)子集合滿足p()≡p(,T)分布。先0從一個初始狀態(tài)出發(fā)。通過某種抽樣方法產(chǎn)生一個狀態(tài)序列0從細(xì)致平衡條件給出過渡幾率只依賴于概率分布的比值這(a)在相空間中確定一個起始狀態(tài)0。由于馬爾科夫鏈會失去重要。但是如果初始狀態(tài)選到與問題無關(guān)的那一部分相空間中nnn布的隨機數(shù))。該狀態(tài)的選擇是：要使δ取得合適。選得太大或太小，都將很難收斂到平衡分布。選取δ長度的標(biāo)準(zhǔn)是要使1/3try回到第(b)步。這樣的模擬過程實際上是對時間的平均。但是,這是對位形正則系綜蒙特卡洛方法…。在每個格子i上有一個自旋，可以取朝上或朝下的方向。用自旋變量si來表示(1如果自旋↑.(1如果自旋↑.這些自旋之間通過一個交換耦合能J相互作用。如果還存在一H=?SiSj?μBSi.ijij求和。μ代表單個自J是為正時，為鐵磁體的模型，性質(zhì)。S統(tǒng)的溫度和外加磁場的變化感興趣。它們的計算公式為一個多次抽樣過程來模擬從非平衡態(tài)到平衡的弛豫過程來實現(xiàn)個地對每個自旋變量通過合適的蒙特卡洛抽樣步驟來決定它改(1)選擇任意的初始位形={s1,s2,...,si,...sN}；(2)按1/N的等幾率，隨機抽取一個格點i，將其上的自旋反(4)如果?E>0，則再產(chǎn)生一個[0，1]區(qū)間的隨機數(shù)ri，(5)如ri<e?β?E，則改變?nèi)杂行?，取自旋改變→′?6)反之(即ri≥e?β?E)，則仍保持不變，這對應(yīng)于W(→′)=exp{?H(′)/(kBT)}/exp{?H()/(kBT)}.多次抽樣后，就可以逐漸趨于平衡態(tài)，得到接近波爾茲曼分布d再“迭代”n次，于是磁化強度的平均值為為了估計出宏觀系統(tǒng)的性質(zhì)，我們往往給系統(tǒng)強加上周期性界條件。即7粒子輸運問題的蒙特卡洛模擬法的統(tǒng)計結(jié)果。隨機運動的歷史，記錄其在運動中對感興趣的物理模擬量的貢中第m種原子核作用的全截面為σ(E)和σ(E)分別表示中子被一個原子核m的散射和吸收截面。積內(nèi)第m種元素上的總截面為假如材料中有多種元素，該中子與材料作用的總截面為:角分布對方位角?是各向同性時，方位角?可以被積掉，得到微設(shè)在O點有一個能量為E0的中子垂直入射到物質(zhì)層中。我們M處該中子的能量EM低于某一閾值，則程序就停止跟蹤?，F(xiàn)在要由位形i?1=(xi?1,Ei?1,cosθi?1)確定下一個狀態(tài)位形(1)首先確定坐標(biāo)參數(shù)xi。中子到達(dá)狀態(tài)點以前，經(jīng)歷過第i?1次碰撞后做勻速直線運動，其運動的自由程y滿足分布密度則xi由下式給出(2)確定碰撞的原子核種類。中子與物質(zhì)層中第m原子核碰撞(3)確定碰撞的性質(zhì)是吸收還是散射。中子與第m原子核發(fā)射的幾率為同樣可以采用離散型隨機變量的直接法抽取。若抽樣結(jié)果為吸果為散射，則進(jìn)入第(4)步。(4)確定中子散射角θi和能量Ei。由于理論上一般給出的是質(zhì)心系中的散射微分截面公式dσ(Ei?1)dcosθi?1，因此我們需要首先按照質(zhì)心系的微分截面抽取散射角余弦cosθc，cosθc滿足的分布層的中子數(shù)N1為密度函數(shù)為fcosc1dcosθc.理論上，散射后的中子能量Ei由下式計算得到θc可以用下面公式換算為對應(yīng)的實驗室系的散射角θL。sc再根據(jù)下面的球面三角公