專題18.43直角坐標系背景下的平行四邊形(專項練習)

一、填空題

1.如圖，直線//：_y=x+2與x軸交于點4,與y軸交于點5.直線心：y=4x-4與y軸交于

點c,與x軸交于點。，直線//,/2交于點P.若x軸上存在點。，使以/、aP、。為頂

點的四邊形是平行四動形，則點。的坐標是.

二、解答題

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線4：y=-x+5與y軸交于點A,直線4與X軸、y軸分

別交于點8(-4,0)和點C,且與直線4交于點。(2,⑼.

(1)求直線4的解析式;

(2)若點E為線段8C上一個動點，過點E作砂J_x軸，垂足為尸，且與直線人交于點G,

當EG=6時，求點G的坐標；

(3)若在平面上存在點“，使得以點A,C,D,H為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接

寫出點H的坐標.

3.已知AASC中，ZBAC=90°,AB=AC=6,。是ZC中點，作直線8D.分別以ZC,

8c所在直線為x軸，y軸建立直角坐標系(如圖).

(1)求直線8。的表達式.

(2)在直線8。上找出一點E,使四邊形ABCE為平行四邊形.

(3)直線8。上是否存在點尸，使△AFC為以ZC為腰的等腰三角形?若存在，直接寫出點產(chǎn)

的坐標；若不存在，說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=2x+12的圖象分別交x軸、y軸于/、8兩點.過

點工的直線交V軸正半軸于點C,且點C為線段OB的中點.

(1)求直線/C的表達式.

(2)平面內是否存在點尸，使得四邊形ZCP8是平行四邊形?若存在，請求出點尸的坐標.

(3)若點。為直線4c上的一點，且滿足aAB。的面積為30,求點。的坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-gx+3與X軸、N軸相交于/、8兩點，點C在

線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90。得到線段CD,此時點D恰好落在直線AB

上，過點。作軸于點E.

⑴求證：ABOC當MED；

（2）請直接寫出點D的坐標，并求出直線8c的函數(shù)關系式；

（3）若點P是x軸上的一個動點，點。是線段C8上的點（不與點8、C重合），是否存在以

C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標.若

不存在，請說明理由.

備用圖

6.如圖1,已知點C的坐標是（472，4及），過點C分別向x軸、y軸作垂線，垂足分

別為點2、點。，點E是線段上一點（不與點。、。重合），連接8E,作點O關于直

線8E的對稱點。\連接CO，，點尸為CO,的中點，連接8P,延長CO,與8E的延長線交于

點凡連接。尸.

（1）求證：口尸8尸=45°；

（2）如圖2,連接3。，當點O,剛好落在線段8。上時，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，在平面內是否存在點“，使得以〃、。、O\尸為頂點的四邊形是

平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

3

7.如圖，直線y=-2x+7與X軸、y軸分別相交于點c、B,與直線y=相交于點A.

(1)求A點坐標；

(2)如果在y軸上存在一點p,使出是以為底邊的等腰三角形，求尸點坐標，寫出

解題過程.

(3)在平面直角坐標系xQy中，是否存在一點使得以O,A,M,C為頂點的四邊形是

平行四邊形？如果存在，試寫出所有符合條件的點M的坐標；如果不存在，請說明理由；

8.已知如圖，平面直角坐標系內的矩形0/8C,點/在x軸上，點C在y軸上，點8坐標

為(46.6),。為邊上一點，將口88沿直線CD折疊，得至IJQECD,點8的對應點E

落在線段04上.

(1)求0￡的長；

(2)點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線8方向運動，設運動時間為f,

□P8O的面積為S,求S關于f的關系式；

(3)在(2)的條件下，點。為直線QE上一點，是否存在/，使得以點工、B、。、P為頂

點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出r的值，并直接寫出點P、點。的坐標；若不存

在，請說明理由.

9.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(0,a),BS,a),C(-2,0),其中a,6滿足關系式

Ja-3+(6+4)2=0.

(1)求a,b的值;

3

(2)在第三象限是否存在一點尸(-1,，")，使四邊形ACPO的面積是三角形A8C面積的-倍，

若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)點。是坐標平面內的點，若點。與A、B、C三點構成平行四邊形，請直接寫出符合條

件的點。的坐標.

10.如圖，平面直角坐標系中，四邊形488是平行四邊形，/(-3,0),8(3,0),C

(0,4),連接OZ),點E是線段。。的中點.

(1)求點E和點。的坐標；

(2)平面內是否存在一點M使以C、D、E、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在請

求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

11.如圖，在平面直角坐標系中，點48的坐標分別為/(0,a),B(b,a),且a,b

滿足(a-3)2+也-6|=0,現(xiàn)同時將點45分別向下平移4個單位，再向左平移2個單位，

分別得到點a8的對應點C,D,連接AC,BD,AB.

(1)求點C,。的坐標及四邊形/8DC的面積S座緲/8CD；

(2)在y軸上是否存在一點陸連接MC,MD,使S&MCD=；S平行型形ABCD?若存在這

樣的點，求出點/的坐標，若不存在，試說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標系中，直線/“y=-x+5與y軸交于點/,直線心與x軸、y軸

分別交于點8(-4,0)和點C,且與直線//交于點。(2,m).

(1)求直線的解析式；

(2)若點E為線段8c上一個動點，過點E作防軸，垂足為尸，且與直線//交于點G,

當EG=6時，求點G的坐標；

(3)若在平面上存在點”，使得以點4C,D,"為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接

寫出點〃的坐標.

13.如圖，在平面直角坐標系中，直線產(chǎn)2/4與x軸交于點4與y軸交于點8,過點8

的直線交x軸于C,且△Z8C面積為10.

圖1

圖2

(1)求直線BC的解析式；

(2)如圖1,設點尸為線段中點，點G為y軸上一動點，連接尸G,以FG為邊向FG

右側作正方形R7QP,在G點的運動過程中，當頂點。落在直線5C上時，求點G的坐標；

(3)如圖2,若M為線段8c上一點，且滿足點E為直線上一動點，

在x軸上是否存在點。，使以點。，E,B,C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直

接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，平面直角坐標系中/(2,0),D(0,1),過。作。8口/。于點E,B為第一

象限的點，過點8作8C」y軸于點C,連接8c.

(1)求直線的解析式；

(2)若OD=BC,求證：OBCADO；

(3)在第(2)問條件下若點M是直線4。上的一個動點，在x軸上存在另一個點N,且以

。、B、Af、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點N的坐標.

15.如圖1,經(jīng)過點4(-6,0)的直線N8與y軸交于點8,與直線＞交于點C,點C

的橫坐標為-2,點P是直線上的一個動點(點P與48不重合)，過點P作y軸的平

行線，分別交直線y=-%和x軸于點。，E,設動點P的橫坐標為

(1)求直線所對應的函數(shù)表達式；

(2)當6時，求f的值；

(3)如圖2,作尸尸Dx軸，交直線丁=-％于點E在點尸運動過程中，是否存在某一時刻，

使得/,E,F,P四點構成的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存

在，說明理由.

16.在平面直角坐標系中，。為坐標原點.已知兩點A(a,O),B(。,0)且“、。滿足

卜+4|+病與=0；若四邊形A8CD為平行四邊形，CO//AB且CD=45，點C(0,4)在y軸

上.

(1)如圖一，動點p從c點出發(fā)，以每秒2個單位長度沿y軸向下運動，當時間，為何值時,

三角形的的面積等于平行四邊形ABC。面積的四分之一：

(2)如圖口，當戶從。點出發(fā)，沿y軸向上運動，連接P。、PA,NCDP、ZAPD、NPAB

存在什么樣的數(shù)量關系，請說明理由(排除尸在。和C兩點的特殊情況).

17.菱形A3CD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，對角線AC與BQ的交點E恰好在y軸

上，過點。和3c的中點〃的直線交AC于點F,線段。E,CO的長是方程d-9x+18=0

的兩根，請解答下列問題：

(1)求點。的坐標；

(2)點Q在直線8。上，在直線上是否存在點P,使以點F,C,P,。為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在平面直角坐標系中，18OC是以8。為底邊的等腰三角形，點8在x軸正半軸

上，口。4。是口0。8繞點。逆時針旋轉60。得到的，點/在y軸正半軸上，連接。C,線段

OA的長是關于x的方程x2-4x+4=0的根.

(1)求點力的坐標；

(2)求四邊形力。8的面積；

(3)平面內是否存在點P,使以點。、0、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,

請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

19.如圖，在平面直角坐標系中，直線乙交x軸于點交y軸于點8,點8的坐標為(0,3).直

線4：y=2尤與直線4相交于點C,點C的橫坐標為1.

(1)求直線《的解析式；

,2

(2)若點。是y軸上一點，且的面積是△AOC面積的彳，求點。的坐標：

(3)平面內是否存在一點E,使得以點0,4C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，

直接寫出符合條件的點E的坐標；若不存在，說明理由.

20.如圖，在直角坐標系中，平行四邊形O/BC的邊。4=8,OC=4母,□ZOC=45。，點

P以每秒2個單位的速度從點C向點8運動，同時，點。以每秒0個單位的速度從點。向

點C運動.當其中一點到達終點時，兩點都停止運動，設運動時間為L

(1)求出點C,5的坐標；

(2)設O4P0的面積是“求y關于，的關系式；

(3)當f為何值時，APHCB2此時，在平面內是否存在點"，使得以4P、。、/為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

21.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=|"x+5與x軸交于點Z,與y軸交于點8,過點8

的另一直線交x軸正半軸于C,且匚/8C面積為15.

（1）求點C的坐標及直線8c的表達式；

（2）若M為線段8c上一點，且口48”的面積等于口的面積，求M的坐標；

（3）在（2）的條件下，點E為直線上一動點，在x軸上是否存在點，使以點。、E、

8、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理

由.

22.如圖1,直線04的解析式為（原0）,過點Z作x軸的垂線交x軸于點注

（1）若AB=OB,則直線OA的解析式為；

（2）在（1）的條件下，若。/=2近，在平面直角坐標系中是否存在點C,使得以4B,

O,C為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，直接寫出點C的坐標，若不存在，請說明理

由；

（3）如圖2,若□/。8=60。，以OZ為邊作菱形CMOE,點E在x軸上，尸為菱形。4DE外

一點，EFQOF,M為。尸上一點，口屈05=口￡：加。，求證：DM=OM+kME.

圖1S2

3

23.己知：直線＞=^*+6與x軸、y軸分別相交于點/和點8,點C在線段/。上.將

沿8c折疊后，點。恰好落在48邊上點。處.

(1)直接寫出48兩點的坐標：A：,B：；

(2)求出0C的長；

(3)如圖，點E、尸是直線8c上的兩點，若口/E尸是以￡尸為斜邊的等腰直角三角形，求

點尸的坐標；

(4)取48的中點若點P在y軸上，點。在直線N8上，是否存在以C、M、P、Q為

頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的。點坐標；若不存在，請說

24.如圖1,直線4：y=-gx+3與坐標軸分別交于點Z、8,與直線4：y=x交于點C.

(1)求/、C兩點的坐標；

(2)如圖2,若有一條垂直于x軸的直線/以每秒1個單位的速度從點/出發(fā)沿射線A。方

向作勻速滑動，分別交直線4、4及x軸于點/、N和0.設運動時間為電)，連接CQ.

口當。4=2MN時，求才的值.

口若四邊形CMEN為平行四邊形，試求出E點的坐標;

(3)試探究在坐標平面內是否存在點P,使得以。、Q、C、P為頂點的四邊形構成菱形?

若存在，請章掾寫出，的值；若不存在，請說明理由.

25.如圖，在平面直角坐標系中，已知I3/8C,點/在y軸的正半軸上，點8(-

3,0),點C(2,0).

(1)點”的坐標是(,).

(2)點。是邊ZC上一點，且直線。。將EMOC分成面積相等的兩部分，求直線的表

達式.

(3)點P是直線。。上一點，在x軸上是否存在點/，使以4B、M、P為頂點的四邊形

為平行四邊形？若存在，請直接寫出點"的坐標；若不存在，請說明理由.

26.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形0/8C的兩個頂點/、8的坐標分別力(0,2)、

C(260),口0。1=30。.

(1)求對角線4c所在的直線的函數(shù)解析式；

(2)把矩形W8C以ZC所在的直線為對稱軸翻折，點。落在平面上的點。處，求點。的

坐標；

(3)在平面內是否存在點P,使得以C、。、D、尸為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，

求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

27.如圖(1),在平面直角坐標系中，已知點A(m,0),B(〃,0),且機,〃滿足(m+2)、7^6=0,

將線段AB向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到線段CO,其中點C與

點/對應，點。與點8對應，連接AC,BD.

(1)求點4B、C、。的坐標；

(2)在x軸上是否存在點P,使三角形尸BC的面積等于平行四邊形ABDC的面積？若存在，

求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖(2),點E在y軸的負半軸上，且=求證：AE//BC.

28.如圖，在平面直角坐標系xS，中，矩形/8C。的48邊在x軸上，AB=3,AD=2,經(jīng)

過點C的直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點E、F.

(1)求點D的坐標；

(2)問直線y=x-2上是否存在點尸，使得ELPOC為等腰直角三角形？若存在，求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在平面直角坐標系內確定點“，使得以點M、。、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

請寫出點M的坐標.

7

29.如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知直線/8：y=,x+4交x軸于點4,交y軸于點

B.直線CD：y=-gx—l與直線相交于點交x軸于點C,交y軸于點。.

(1)直接寫出點8和點。的坐標；

(2)若點尸是射線的一個動點，設點尸的橫坐標是x,的面積是S,求S與x

之間的函數(shù)關系；

(3)當S=20時，平面直角坐標系內是否存在點E,使以點8,E,P,初為頂點的四邊形

是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

30.如圖，在平面直角坐標系中，已知點Z(1,0),將x軸繞點力順時針旋轉60。交丁軸

于點B,再將點B繞點A順時針旋轉90。得到點C.

(1)求直線8c的解析式；

(2)若點Q為平面直角坐標系中一點,且滿足四邊形ABCQ為平行四邊形,求點Q的坐標；

(3)在直線8c和y軸上，是否分別存在點M和點M使得以點N,A,C為頂點的四

邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點河的坐標；若不存在，說明理由.

31.如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過”(-2,-1),B(1,3)兩點，并且交x

軸于點C,交y軸于點D

(1)求該一次函數(shù)的表達式；

(2)求&4OB的面積;

(3)平面內是否存在一點“，使以點V、C、O、8為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，

請直接寫出點"的坐標，若不存在，請說明理由.

參考答案

1.(4,0)

【解析】

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)的性質分別求得點/、點C、點尸的坐標，然后結合平行四邊形的性質求解.

【詳解】

解：在y=x+2中，當尸0時，x+2=0,

解得：x=-2,

□點/的坐標為（-2,0）,

在尸lx-4中，當x=0時，y=-4,

口C點坐標為（0,-4）

y=x+2

聯(lián)立方程組

y-4x-4

解得:

口尸點坐標為（2,4）,

設。點坐標為（x,0）,

□點。在x軸上，

□以/、C、P、0為頂點的四邊形是平行四邊形時，Z0和PC是對角線，

—24-x2+0

---------=——,

2------2

解得：x=4,

。點坐標為（4,0）,

故答案為：（4,0）.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的性質，平行四邊形的性質，理解一次函數(shù)的圖象性質，掌握

平行四邊形對角線互相平分，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵.

2.⑴直線4的解析式為y=；x+2；

⑵G（-2,7）；

（3）H的坐標為：（2,0）或（2,6）或（-2,4）

【解析】

【分析】

（I）先求出點。的坐標，再利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）利用兩條直線的解析式表示出G,E兩點的坐標，進而得出線段GE的長，列出方程

即可解答；

（3）分三種情形解答，先求得經(jīng)過點，的解析式，再聯(lián)立，解方程組即可求解.

（1）

解：??,當x=2時，y=-2+5=3=m,

??.￡>(2,3).

設宜線6的解析式為>="+&，由題意得：

\2k+b=?>

匕4%+6=0'

kJ

解得：\2.

b=2

..?直線4的解析式為y=；x+2.

(2)

解：軸，

：.G,E的橫坐標相同.

設G(”,-〃+5),貝iJE卜,g〃+2).

?.?E為線段3c上一個動點，

.,.-〃+5>0,-n+2>0,

2

FG=—n+5,FE=—n+2.

2

3

:.EG=FG-FE=一一〃+3=6.

2

解得：〃=—2.

??.G(-2,7).

(3)

(3)如卜.圖，當四邊形A"CO為平行四邊形時,

令x=0,則y=gx0+2=2,

C（0,2）.

VC/7//AD,

?二直線c”的解析式為：y=-x+2.

令x=0,則y=_lxO+5=5,

.?.40,5）.

-AH//CD,

.,?直線4”的解析式為：y=；x+5.

，（一2,4）.

二直線DH的解析式為x=2,

■.■AH//DC,

???直線AH的解析式為y=；x+5,

二.當無=2時，y=gx2+5=6,

.?.”（2,6）.

當四邊形A￡>”C為平行四邊形時，如下圖,

二直.線DH的解析式為x=2,

■.■CHIIAD,

二直線C"的解析式為：y=-x+2,

當x=2時，y=—2+2=0,

..”(2,0).

綜上，存在點“，使得以點A,C,D,〃為頂點的四邊形是平行四邊形，點”的坐標為：

（2,0）或（2,6）或（一2,4）.

【點撥】本題是一道一次函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的解析式的求法,待定系數(shù)法，

平行四邊形的性質，-次函數(shù)圖象上點的坐標的特征.待定系數(shù)法是確定函數(shù)解析式的重要

方法，也是解答本題的關鍵.

3.（1）>,=-2%+6

(2)(6,-6)

（3）存在，（等,一同或（0,6）或（6,-6）或

【解析】

【分析】

（1）分別求出8、。點的坐標，利用待定系數(shù)法求解析式即可求出直線8。的表達式;

（2）設點￡的坐標為（f,-2r+6）,利用/+%=4+/求出r值，即可得出￡點坐標;

（3）設點尸的坐標為（機-2加+6）,分三種情況進行討論，得出結果即嘰

⑴

AB=AC=6,由題可得,

8（0,6）,C（6,0）,又點。是/C的中點，

。（3,0）,設直線8。的表達式為：y=kx+b代入B,?？傻?

3k+b=0”,

,解得：k--2,6=6,

o=6

直線BD的表達式為:y=-2x+6.

⑵

設點E的坐標為&-2f+6）,

四邊形ABCE是平行四邊形，4+%=X"+/,

0+6=0+/,t=6,1點E的坐標為（6,-6）.

（3）

:點尸在8。上，設點F的坐標為（皿-2〃?+6）,

AF2=（，*一0『+（—2m+6）-=m2+（2〃？一6）~.

CF2=（m-6）2+（-2m+6『，AAFC是以/C為腰的等腰三角形，

當AC=AF時，則4c2=A尸，62=m2+（2m-6）2,

.、24

5m2-24m=0-解得：機=0或m=-^.

點尸的坐標為：或（0,6）,

當AC=FC時，則AC?=C尸，62=（m-6）2+（-2m+6）2,

6

—36機+36=0,解得：帆=6或機=§,

?點尸的坐標為（6,-6）或住野

綜上，點尸的坐標為或（0,6）或（6,-6）或.

【點撥】本題主要考查的是一次函數(shù)及其圖像與平行四邊形、等腰三角形的綜合，分情況討

論是本題的關鍵.

4.（1]y=x+6

（2）存在,尸（6,18）

(3)(4,10)或(一16,TO)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)一次函數(shù)解析式求得A8的坐標，進而求得點C的坐標，待定系數(shù)法求直線/C

的表達式即可；

(2)過點P作y軸的垂線，垂足為0,證明RtAPgBRtAAOC,進

而可得PQ=A0=6,BQ=CO=6,即可求得戶的坐標；

(3)過點3作W7LAC于點，，勾股定理求得8H的長，進而根據(jù)三角形面積公式求得AQ

的長，由點。在直線4Cy=x+6上，設。點坐標為。1+6),根據(jù)勾股定理列出方程即

可求解.

(1)

?函數(shù)y=2x+12的圖象分別交x軸、y軸于/、B兩點,

令x=0,y=12,令y=0,x=-6

A(-6,0),6(0,12),

□點C為線段08的中點，

C(0,6),

設直線AC的表達式為y=米+》，

(-6k+b=0

[b=6'

k=\

解得：

b=6

故直線AC的表達式為y=x+6.

(2)

口四邊形/CPB是平行四邊形.

PC=/W且PC〃他，PB=AC^.PB//AC,

如圖1,

過點P作y軸的垂線，垂足為。，

AB//PC,

^ABO=ZPCQ,在^OAB和AQPC中,

fZAOB=ZPQC=90°

ZABO=ZPCQ,

[AB=PC

^OAB^^QPC(AAS),

OA^QP,

在RtAPQB和RLAOC中，

[PQ^AO

[PB=AC'

RtAPQfi/RtZ^AOC(HL),

PQ=AO=6,BQ=CO=6,

QO=QB+OB=]8,

P(6,18).

(3)

如圖所示，過點B作BHLAC于■點H,

y

?.?8(0,12),A(-6,0),C(0,6)

:.BC=6,AO=6,AC=V62+62=6^

.?"C”=ZACO=45°

.?.ABC〃是等腰直角三角形

5

:.CH=BH=gBC=3及

1點。為直線/C上一點且△ABQ的面積為30,

%B2=；AQx8H=30,

AQ=I(A/L

I點0在直線/C：y=x+6上，

設0點坐標為(f,f+6),

AQ2=(r+6)2+(r+6)2=2(/+6)2=200,

則乙

"+6)2=100,=4,r2=-16,

當t=4時，f+6=10,WJ0(4,10),

當f=-16時,r+6=-10,則0(-16,-10),

故0點坐標為(410)或(-16,-10)

【點撥】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形結合，平行四邊形的性質與判定，勾股定理，等腰

直角三角形的性質與判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

5.⑴見解析

⑵￡>(4,1),y=-3x+3

(3)存在，尸(3°)或(-(o)

【解析】

【分析】

(D根據(jù)旋轉的性質可得CB=CD,N5CD=90°,根據(jù)等角的余角相等可得，

NOBC=ZECD,根據(jù)AAS即可證明ABOC注ACED:

(2)設直線相的解析式為y="+"待定系數(shù)法即可求得解析式，設CO=DE=m,即可

得D(相+2,㈤的坐標，代入解析式即可求得機，進而求得。的坐標；

(3)設點尸的坐標為(0,加)，點。的坐標為(〃,-3〃+2),分8為邊及CO為對角線兩

種情況考慮，利用平行四邊形的對角線互相平分，根據(jù)中點坐標公式，即可得出關于加，n

的二元一次方程組，解之即可得出點P的坐標.

(1)

證明：由旋轉得CB=CD,48=90。.

又】NBOC=90°,

NOBC+ZOCB=NOCB+ZDCE=90°.

ZOBC=ZECD

在AOBC/中

ZBOC=NDEC

-NOBC=ZECD

BC=CD

△OBC^AECD(A4S)

(2)

y=-gx+3與X軸、y軸相交于4、8兩點，

令x=0,得y=3,則3(0,3),

令，=0,得x=6,則A(6,0)

"OCgCED,

CO—DE,

設CO=DE=m，

：OB=CE=3,

￡>（/n-l-3,m）,

,.1。點在直線AB上，將。0+3,〃?）代入y=-gx+3,

即m=-^（7n+3）+3,

解得m=l,

???0（4,1）,C（l,0）

???B(0,3),C(l,0)

設直線8c的解析式為丫=依+方

將點B(0,3),C(l,0)代入得:

b=3

k+b=0

.,.直線BC的解析式為y=-3x+3

(3)

設點P的坐標為(〃？，0),點。的坐標為(〃,-3〃+3),分兩種情況考慮:

若8為邊時，

C（I,0）,。（4,1）,產(chǎn)（機，0）,。（〃,一3〃+3）

7

m=——

"2+4=71+13

,解得：

0+1=0—3〃+32

n=—

3

點P的坐標為(-g，0

若C。為對角線,

C（1,0）,￡>（4,1）,P（"7,0）,0（”,-3"+3）

13

m=——

1+4="?+〃3

解得:

0—3〃+3=0+12

n=—

3

點尸的坐標為

綜上所述，尸件0)或卜刊.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握利用全等三角形的

判定定理/MS：利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；利用平行四邊形的對?角線互相平分的性

質.

6.(1)見解析；(2)y=(l-V2)x+8-4^；(3)存在，M坐標為(6直-8，4+2近)

或(-20，2企-4)或(2立，4-2夜).

【解析】

【分析】

(1)連接由點。關于直線的對稱點O,得OBF=O'BF^OBO',由匚80C

是等腰三角形，點P為CO'的中點，得:C8P=1OBP=；CBO',從而口「8尸=：OBC=45°；

(2)連接E(7,?OE=O'E=x,則。E=4及-x,在放力?！曛校?。。斗^七三力爐，可得(8-4

721+/=(4&-x)2,解得x=8-4&,E(0,8-4&),設直線8尸的解析式為尸履+6,

將8(47210)、E(0,8-4近)代入即得答案；

(3)過。作。GE3O8于G,先求出O'、/坐標，設Z>),分三種情況：□以A/O、

O戶為對角線，□以MO'、。下為對角線，ZI以M/、O。'為對角線，用平行四邊形對角線中

點重合列方程即可求解.

【詳解】

解：(1)連接。’8,如圖：

C的坐標是(4拒，4&),過點C分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點8、點

OB=BC=40

點。關于直線BE的對稱點O',

OBF=O'BF=-OBO',O'B=OB,

2

O'B=BC,即8(7C是等腰三角形，

點戶為C。，的中點，

CBP=O'BP=-CBO',

2

PBF=O'BF+O'BP=-□050'+-□CBO'=-(OBO,+CBO')=1口。8。=45°；

2222

(2)連接E。，如圖：

在用80。中，OB=OD=4^2,

BAJOB?+OD?=8,

點O關于直線BE的對稱點O,,

OE=O'E,OB=OB=44EO'B=EOB=90°,

D0E=9Q°,DO'=BD-O'B=8-4拒，

設0E=0，E=x,則DE=4727，

在RtDOE中，DO'2+O'E2=DE2,

(8-4五)2+/=(472-x)2,

解得尸8-4人，

E(0,8-4?),

設直線8尸的解析式為尸Ax+6,將8(4近，0)、E(0,8-40)代入得:

0=4在k+b

解得

8-4人=%b=8-4&

直線BE的解析式為尸(1-^)x+8-4應；

(3)存在以M、0、O\尸為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如R

過。'作OGLJ08于G,如圖：

80。是等腰直角三角形,

。'8G是等腰宜角三角形,

0-8=08=4忘,

O'G=BG=4,

OG=O8-8G=4拒-4,

0'（472-4,4）,

C（4點，4垃）,

4=（45/2-4）"7+〃

設直線C。'為y=mx+n,則，

4>/2=4Mm+?

m—>/2—I

解得

n=8垃-8、

1直線CO為廣（72-1）X+8&-8,

>=（1-0卜+8-4近

聯(lián)立BF、C。'解析式得|

y二（應-l）x+80-8，

x=-4+2應

解得

y=2母

尸（-4+20，2。，

設例（a,b）,以M、0、O\/為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況:

以M。、。戶為對角線，如圖:

此時MO的中點即是。戶的中點，而MO中點為（孚，"9）,O戶中點為（4、-4-4+2〉,

222

4+25/2

------/,

2

a+0=4點-4-4+2立a=65/2-8

，解得

6+0=4+2垃〃=4+2人

M（6應-8，4+20）;

以A/O\為對角線，如圖:

4^-4=0-4+272a=-2屈

同理可得，解得

匕+4=0+2五6=2忘-4

M（-272.2忘-4）:

□以A/F、0（7為對角線，如圖:

a-4+2忘=0+4應-4a=2y/2

同理可得＜，解得

b+2忘=0+46=4-2點

M，4-20);

綜上所述，M坐標為(672-8-4+2應)或(-2立，2夜-4)或(2近，4-272).

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的綜合應用，涉及軸對稱變換、勾股定理應用、平行四邊形的

判定及性質等知識，解題的關鍵是靈活運用平行四邊形的性質：對角線互相平分列方程組解

決問題.

13

7.(1)(2,3)；(2)(0,—),過程見解析；(3)存在，(5.5,3),(-1.5,3),(1.5,-3).

6

【解析】

【分析】

(1)聯(lián)立方程，解方程即可求得；

(2)設P點坐標是(0,y),根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；

(3)分三種情況：□當4c是對角線時，口當40是對角線時，口當CO是對角線時，分別

求解即可.

【詳解】

y=-2x+7r=2

解：(1)解方程組：3得：｛,

y=2xU=3

A點坐標是(2,3)；

(2)設尸點坐標是(。,月，

△。針是以。4為底邊的等腰三角形，

:.OP=PA,

.-.22+(3-y)2=y2,

解得y=1=3，

6

13

r.P點坐標是(0,q)；

6

(3)存在；

7

令尸。代入y=-2x+7,得0=-2x+7,解得：x=—,

□點M坐標是(5.5,3)；

7

當/。是對角線時，x=2+0--=-1.5,y=3,

2

□點M坐標是(-1.5,3)；

7

當C。是對角線時，jr=0+y-2=1.5,y=-3,

□點M坐標是(1.5,-3),

綜上所述：點M坐標是(5.5,3),(-1.5,3),(1.5,-3).

【點撥】本題是一次函數(shù)的幾何綜合題，考查了交點的求法，勾股定理的應用，平行四邊形

的性質，分類討論思想的運用是解題的關鍵.

8x/3-2?(O<?<4)

8.⑴25⑵S=,(3)片1,P(?,Q(C，-1)或片3,尸(3?,

Q(563)或片7,P(7>/3,-l),C(773,5)

【解析】

【分

(1)先求出0C=6,由折疊的性質可知0A=BC=4有，再利用勾股定理求解即可;

(2)過點P作尸廠8c交宜線8c于尸，連接PD,分P在線段8上和在8的延長線上

兩種情況討論求解即可；

(3)分當以點/、B、。、P為頂點的平行四邊形的對角線時，當四邊形4PQ8是平行

四邊形的邊時，當四邊形/。夕8是平行四邊形的邊時三種情況利用平行四邊形的性質求解即

可.

【詳解】

解：(1)四邊形N8C。是矩形，B(473,6),

OC—AB=6,OA=BC=4-73,

山折疊的性質可知，DE=BD,CE=BC=45

OE={CE2-OC2=26，

(2)如圖，過點尸作P尸8c交直線8c于尸，連接PO

由題意可知CP=2t

0E=-CE=2-Ji,COE=90°,

2

AE=0A-0E=26OCE=30°,

□□￡CB=60°,

山折疊的性質可知BCD=ECD

FCP=ECD=30°,

PF=-CP=t,

2

CFudCf^—FP。

設BD=DE=x,則4)=6-x,

AE2+AD2=ED2

(2國+(6-x『=f,

解得x=4,

□SZ>4,

當P在線段CO上時，

x

S&PBD=S&CBD-S.BC='x4x4G——4y/3t=Sy/3—2+t

當P在8的延長線上時,

8^-2z（0</<4）

綜上所述S=〈

2f-8鳳>4）

（3）山（1）（2）得BD=4,OE=20PF=t,CF=0,A

nAD=2,

0（45/3,2）,E（25/3,0）,P（G，6T）

設直線。E的解析式為y=

4麻+b=2

2麻+b=0

f,2

解得3，

b=-2

□直線DE的解析式為y=^x-2,

設Qm，m—2,

當4B以點4、B、0、尸為頂點的平行四邊形的對角線時，

機+R4^+4>/3

-2—-2

<0(平行四邊形兩條對角線的中點坐標相同)，

---—24-6—/

3____________6+0

,2-2

1=3

解得uR,

m=5-73

尸(36,3),0(56,3)

當四邊形/PQ8是平行四邊形的邊時，

DABPQ,AB=PD=6

解得［t加-=17行

P(7^,-l),0(7后,5)；

當月8四邊形/QP8是平行四邊形的邊時,

」AB口PQ,AB=PD=6

t=\

解得《

m=5/3

產(chǎn)陶,5),。(有t；

綜上所述，當片1,尸(6,5),。(6,-1)或片3,尸(3。,3),0(5后3)或片7,尸(76,-1),

Q(7/5)時以點4、B、0、尸為頂點的四邊形為平行四邊形；

【點撥】本題主要考查了勾股定理，坐標與圖形，矩形的性質，平行四邊形的性質，含30

度角的直角三角形的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

9.(1)a=3,b=-4：(2)存在，P(-l,-6)；(3)點。的坐標為(2,0)(-6,0)(-2,6)

【解析】

【分析】

(1)由兩個非負數(shù)的和為零，則這兩個數(shù)都為零這一規(guī)律列方程即可求出。、b的值：

(2)存在符合條件的點P,作CE1Y8于點E,作P/Px軸于點尸，先求出口48。的面積，

再用含用的代數(shù)式表示四邊形ZCPO的面積，且根據(jù)四邊形/CPO的面積是三角形/8(7面

3

積的］倍列方程，求出“的值，得到點。的坐標；

(3)點。與/、B、C三點構成平行四邊形，可按照以ZC、8c為鄰邊或以48、/C為鄰邊

或以NC、5c為鄰邊分類討論，分別求出點。的坐標.

【詳解】

(1)解：?.?Va-3>0,(/?+4)2>0,

又,/Ja-3+(b+4尸=0,

.,.“-3=0且6+4=0,

.'.a=3,b=-4■

(2)存在，如圖1,作CED/B于點E,作PFElx軸于點F,

則BEC=90°,

由(1)得，/(0,3),8(-4,3),

□,48ELr軸，

EOOCE=I18EC=90°,

CEx軸,

□C(-2,0),

□E(-2,3),

□/8=4,CE=3,OC=2,

S^ABC=^AB<E=yx4x3=6,

3

S四邊形ACPO=SMOC+SAPOC,&S四邊形ACPO=QSMBC,P(-1,m)在第三象限,

XXx

23+y2(一m)——x6,

解得，w=-6,

□P(-1,-6)；

(3)如圖2,平行四邊形彳次》以46、8c為鄰邊，

,48x軸，CDAB,

□點。在無軸上，且。=48=4,

JxD=-2+4=2r

□Z)(2,0)；

如圖3,平行四邊形45OC以48、4