幾何探究-中點(diǎn)問題回憶：（2020?湖北）在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（1）如圖1，在BC上找出一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)；（2）如圖2，在BD上找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)．探究：（2020?湘潭）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．特例感知：如圖（一），已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的重心為點(diǎn)O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點(diǎn)O，請(qǐng)判斷ODOA、S（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)M．①若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求EM的長(zhǎng)度；②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面積．回憶：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：AD＝CE．牛刀小試：如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，AC，若AD＝AF，求證：四邊形ABFC是矩形．探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范圍是；（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE=12，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接例題：若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如圖（1），點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；（2）如圖（2），若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF＝CD．求證：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．習(xí)題：小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？．（填“是”或“否”）（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長(zhǎng)．例題：（2020?鄂州）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為OA、OC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BM至點(diǎn)E，使EM＝BM，連接DE．（1）求證：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．習(xí)題：（2020?徐州）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果BCAB=ABAC，那么稱點(diǎn)B為線段（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長(zhǎng)為cm；（2）如圖②，用邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時(shí)，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．

例題：（2020?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)M，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，過M作MN⊥AB，垂足為N．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為5，sinB=35，求習(xí)題：如圖，在⊙O中，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，弦AD、PC互相垂直，垂足為M，BC分別與AD、PD相交于點(diǎn)E、N，連接BD、MN．（1）求證：N為BE的中點(diǎn)．（2）若⊙O的半徑為8，AB的度數(shù)為90°，求線段MN的長(zhǎng)．變式：（2020?長(zhǎng)沙）如圖，半徑為4的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)度為43，點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn)，連接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)C沿著劣弧AB從點(diǎn)A開始，逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求△ODE的外心P所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)度；（3）分別記△ODE，△CDE的面積為S1，S2，當(dāng)S12﹣S22＝21時(shí)，求弦AC的長(zhǎng)度．變式：如圖1，AB是半圓O的直徑，AC是一條弦，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)G，且AF＝FG．（1）求證：點(diǎn)D平分AC；（2）如圖2所示，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)H，使AH＝AO，連結(jié)DH．若點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)．求證：DH是⊙O的切線．例題：如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，G，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．（1）求證：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CEF的大小是否變化？為什么？習(xí)題：（2020?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當(dāng)CE＝CD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H，求GH的長(zhǎng)．（2）如圖3，延長(zhǎng)CE交直線AG于點(diǎn)P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過程中，求線段PC長(zhǎng)度的最大值．例題：（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．習(xí)題：如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當(dāng)AB＝12，BE＝4時(shí)．①求△DGH周長(zhǎng)的最小值；②若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請(qǐng)求出AHAF例題：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M為AB的中點(diǎn)，△MBE為等邊三角形，過點(diǎn)E作ME的垂線分別與邊AD、BC相交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P、Q分別在線段EF、BC上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠PMQ＝60°，連接PQ．（1）求證：△MEP≌△MBQ．（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段GC上時(shí)，求線段PF+GQ的值．（3）設(shè)∠QMB＝α，點(diǎn)B關(guān)于QM的對(duì)稱點(diǎn)為B'，若點(diǎn)B'落在△MPQ的內(nèi)部，試寫出α的范圍，并說明理由．習(xí)題：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求△PQB的面積．例題：（2020?天水）如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長(zhǎng)度之比為．（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長(zhǎng)為4+23，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點(diǎn)M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長(zhǎng)．（3）頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為．（用含α的式子表示）習(xí)題；如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DC＝EC，連接DE、AE、BD，點(diǎn)M、N、P分別是AE、BD、AB的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN．（1）BE與MN的數(shù)量關(guān)系是．（2）將△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷BE與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你