性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。證明：則由行列式定義說明：行列式中行與列地位相同，對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也成立，反之亦然。記法行列式的第s行：行列式的第s列：交換s、t兩行：交換s、t兩列：推論：如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為0。證明：把相同的兩行互換，有D＝－D，所以D＝0互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)。性質(zhì)2：性質(zhì)3：用數(shù)k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)k乘此行列式。推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面記法第s行乘以k：第s列乘以k:推論：若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式等于0。性質(zhì)4：＋即，如果某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣。＝性質(zhì)5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。記法數(shù)k乘第t行加到第s行上：證明：作得例1：計(jì)算利用行列式性質(zhì)計(jì)算：目標(biāo)化為三角形行列式例2：計(jì)算例4：計(jì)算注：上述各例都用到把幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法，要注意各個(gè)運(yùn)算次序一般不能顛倒，因?yàn)楹笠淮芜\(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算結(jié)果上。例如：第六節(jié).行列式按行（列）展開對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。問題：一個(gè)n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n－1階行列式來計(jì)算？定義1：在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的余子式。記為稱為元素的代數(shù)余子式。例如：注：行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即定理1：證明：（先特殊，再一般）分三種情況討論，我們只對(duì)行來證明此定理。(1)假定行列式D的第一行除外都是0。所以，(2)設(shè)D的第i行除了外都是0。把D轉(zhuǎn)化為(1)的情形把D的第行依次與第行，第行，······，第2行，第1行交換；再將第列依次與第列，第列，······，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過次交換行與交換列的步驟。由性質(zhì)2，行列式互換兩行（列）行列式變號(hào)，得，(3)一般情形例如，行列式按第一行展開，得證畢。行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即定理2：證明：由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素則，第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為0。綜上，得公式在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)（n－1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。例1:計(jì)算行列式例2:證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證明：用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立。(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。

n-1階范德蒙德行列式證畢。第七節(jié).Cramer法則引入行列式概念時(shí)，求解二、三元線性方程組，當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，方程組有唯一解，含有n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組，與二、三元線性方程組類似，它的解也可以用n階行列式表示。Cramer法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即則線性方程組(1)有唯一解，例1：用Cramer法則解線性方程組。解：注:1.Cramer法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形。理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。

但用此法則求解線性方程組計(jì)算量大，不可取。3.撇開求解公式Cramer法則可敘述為下面定理：定理1：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則(1)一定有解,且解是唯一的.定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組。此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組。非齊次與齊次線性方程組的概念:齊次線性方程組易知，一定是(2)的解，稱為零解。若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。有非零解.系數(shù)行列式定理3：定理4：如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為0。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解。例2：問