1.線性方程的疊加原理§3三類(lèi)方程的比較其中為任意常數(shù)。稱(chēng)為線性微分方程*線性算子*線性微分算子：特別稱(chēng)為齊次的。類(lèi)似可定義線性定解條件及齊次定解條件。三類(lèi)方程代表：*疊加原理I設(shè)為任意常數(shù)）必滿足方程（或定解條件）滿足線性方程（或線性定解條件）則它們的線性組合特別滿足齊次方程（或齊次定解條件）時(shí)，也滿足齊次方程（或齊次定解條件）（其中為任*疊加原理II可把上述情況推廣無(wú)限個(gè)相加情況（算子需要求與無(wú)限個(gè)相加可交換）。*疊加原理III設(shè)再設(shè)滿足線性方程（或線性定解其中為參數(shù)。特別滿足齊次方程（或齊次定解條件）時(shí)，也滿足齊次方程（或齊次定解條件）條件）滿足一定的條件，那么滿足方程（或定解條件）應(yīng)用：把復(fù)雜線性問(wèn)題拆解成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如分離變量法，非齊次問(wèn)題齊次化處理（泛定方程與定解條件混合疊加）。2.解的性質(zhì)的比較（1）解的光滑性對(duì)于弦振動(dòng)方程來(lái)說(shuō)，如果初始條件中高階的導(dǎo)數(shù)不存在，那么解的高階導(dǎo)數(shù)也就不存在；對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無(wú)窮可微的；對(duì)于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。三類(lèi)典型方程在數(shù)學(xué)性質(zhì)上的差異往往是相應(yīng)的物理現(xiàn)象的本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)。下面我們以三類(lèi)典型方程（波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程）為例來(lái)敘述其差別。對(duì)于一般的變系數(shù)方程，情況更復(fù)雜一些，但類(lèi)似結(jié)論仍然成立。（２）解的極值性質(zhì)熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導(dǎo)方程，區(qū)域內(nèi)部的最大值不能超過(guò)區(qū)域初始時(shí)刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因?yàn)椴ㄔ诏B加時(shí)可以出現(xiàn)擾動(dòng)增大的情況。（３）影響區(qū)和依賴(lài)區(qū)從影響區(qū)和依賴(lài)區(qū)來(lái)看，三類(lèi)方程也有很大區(qū)別。波動(dòng)方程的擾動(dòng)是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴(lài)區(qū)是錐體狀的。對(duì)熱傳導(dǎo)方程而言，其擾動(dòng)傳播進(jìn)行的十分迅速，某個(gè)點(diǎn)的其影響區(qū)是該點(diǎn)以上的整個(gè)上半平面，依賴(lài)區(qū)是整個(gè)初始值區(qū)間。拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因此不存在擾動(dòng)傳播的問(wèn)題。（４）關(guān)于時(shí)間的反演一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數(shù)學(xué)上反映為所歸結(jié)出來(lái)的方程關(guān)于時(shí)間變量是否是對(duì)稱(chēng)的，即以－t代替t后方程是否不變化。拉普拉斯方程不存在此問(wèn)題，雙曲型方程是可逆的，熱傳導(dǎo)方程是不可逆的３．定解問(wèn)題的提法比較橢圓型方程：定解問(wèn)題中只有邊界條件而沒(méi)有初始條件。故一般不提初邊值問(wèn)題和柯西問(wèn)題。拋物型方程：可以提初邊值問(wèn)題和柯西問(wèn)題，其初始條件只需給出一個(gè)。雙曲型方程：可以提初邊值問(wèn)題和柯西問(wèn)題，其初始條件需要給出兩個(gè)。定解問(wèn)題適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性課本給出了不穩(wěn)定的定解問(wèn)題的例子。對(duì)于弦振動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)