1．2集合間的根本關(guān)系[新課程標準][新學(xué)法解讀]理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.會用三種語言(自然語言、圖形語言、符號語言)表示集合間的根本關(guān)系，并能進行轉(zhuǎn)換，重點提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).[筆記教材]學(xué)問點一子集與真子集1．子集(1)子集的概念文字語言符號語言圖形語言對于兩個集合A，B，假如集合A中________元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集對任意元素x∈A，必有x∈B，那么A?B(或B?A)，讀作“A包含于B〞(或“B包含A〞)(2)子集的有關(guān)性質(zhì)①任何一個集合是它本身的子集，即________．②對于集合A，B，C，假如A?B，且B?C，那么________．③假設(shè)A?B，B?A，那么A＝B.答案：(1)任意一個(2)①A?A②A?C2．真子集文字語言符號語言圖形語言假如集合A是集合B的子集，且在集合B中________元素不是集合A的元素，我們稱集合A是集合B的真子集假設(shè)集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，那么AB(或BA)，讀作“A真包含于B〞(或“B真包含A〞)答案：至少存在一個學(xué)問點二空集1．定義：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作________．答案：?2．規(guī)定：空集是任何集合的________，即??A，空集是任何________的真子集，即?A(A≠?)．答案：子集非空集合[自我排查]1．以下各選項中兩個集合A和B表示同一集合的是()A．A＝{π}，B＝{3.14}B．A＝{2,3}，B＝{(2,3)}C．A＝{1，eq\r(3)，π}，B＝{π，1，|－eq\r(3)|}D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}答案：C解析：A選項中集合A中的元素為無理數(shù)，而B中的元素為有理數(shù)，故A≠B；BD明顯錯誤；|－eq\r(3)|＝eq\r(3).應(yīng)選C.2．集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，假設(shè)：(1)集合B＝{－2,1}，那么A與B的關(guān)系是________；(2)集合B＝{－2}，那么A與B的關(guān)系是________．答案：A＝BB?A解析：x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)＝0，所以A＝{－2,1}．(1)假設(shè)B＝{－2,1}，那么A＝B.(2)假設(shè)B＝{－2}，那么B?A.3．A＝{1，x,2x}，B＝{1，y，y2}，假設(shè)A?B，且A?B，那么實數(shù)x＋y＝________.答案：4或eq\f(3,4)解析：由于A?B，且A?B，所以A＝B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)，,2x＝y(tǒng)2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)2，,2x＝y(tǒng)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))(舍去)．所以x＋y＝4或eq\f(3,4).集合間關(guān)系的推斷[典例1]推斷以下各對集合間的關(guān)系(1)A＝{1,2,3}與B＝{x|x是6的正因數(shù)}；(2)A＝{x|x＝3n，n∈Z}與B＝{x|x＝6k，k∈Z}；(3)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(4)A＝{x∈Z|－1≤x＜3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}；(5)A＝{－1,1}，B＝{(－1,1)，(1，－1)，(－1,1)，(1,1)}．解：(1)由于{x|x是6的正因數(shù)}＝{1,2,3,6}，所以{1,2,3}{x|x是6的正因數(shù)}．(2)任取a∈{x|x＝6k，k∈Z}，那么a＝6k＝3·2k＝3n，n∈Z，那么a∈{x|x＝3n，n∈Z}，又3∈{x|x＝3n，n∈Z}，但3?{x|x＝6k，k∈Z}，所以{x|x＝3n，n∈Z}{x|x＝6k，k∈Z}．(3)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2)))，∴利用數(shù)軸推斷A，B的關(guān)系．如下圖，AB.(4)∵A＝{x∈Z|－1≤x＜3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|y∈A}，∴B＝{0,1,2}，∴BA.(5)由于集合A＝{－1,1}為數(shù)集，集合B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}為點集，故無包含關(guān)系．[巧歸納]推斷兩集合關(guān)系的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵：明確集合中的元素及其屬性．(2)①列舉法：將集合中的元素一一列舉出來．②元素分析法：從兩個集合元素的特征入手，先整理化簡，然后作出推斷．③直觀圖法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀推斷．提示：(1)用描述法表示集合時，即使表示代表元素的字母不同，但是假如特征性質(zhì)的本質(zhì)相同，表示的仍是同一個集合．(2)用描述法表示集合時，假如特征性質(zhì)相同，但是代表元素的屬性不同，那么表示的是不同的集合．[練習(xí)1]能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關(guān)系的Venn圖是()答案：B解析：解x2－x＝0，得x＝0或x＝1，故N＝{0,1}，易得NM，其對應(yīng)的Venn圖如選項B所示.子集、真子集的個數(shù)問題[典例2](1)集合A＝{2019,2020，2021}的非空真子集有()A．5個B．6個C．7個D．8個答案：B解析：集合A有3個元素，故集合A的非空真子集個數(shù)為23－2＝6.應(yīng)選B.(2)假設(shè)集合{1,2}?M{1,2,3,4}，試寫出滿意條件的全部的集合M.解：由于{1,2}?M，故1,2∈M，又M{1,2,3,4}，所以符合條件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．[巧歸納]集合的子集個數(shù)的規(guī)律及留意點(1)求集合的子集問題時，一般可以依據(jù)子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集．(2)解決這類問題時，還要留意兩個比擬特別的集合，即?和集合本身．(3)集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有(2n－1)個真子集，有(2n－2)個非空真子集．寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉．[練習(xí)2]集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，假設(shè)集合M有4個子集，那么整數(shù)m＝()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：依據(jù)題意，集合M有4個子集，那么M中有2個元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于或等于1而小于或等于m的全部整數(shù)，那么m＝2.依據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)[典例3]集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，假設(shè)A?B，求實數(shù)m的取值范圍．解：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－6≤2m－1，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得3≤m≤m的取值范圍為{m|3≤m≤4}．[巧歸納]1．分析集合間的關(guān)系時，首先要分析、簡化每個集合．2．此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要留意驗證端點值，做到精確?????無誤，一般含“＝〞用實心點表示，不含“＝〞用空心點表示．3．此類問題還應(yīng)留意“空集〞這一“陷阱〞，尤其是集合中含有字母參數(shù)時，初學(xué)者會想當(dāng)然認為是非空集合而丟解，因此分類與整合思想是必需的．[練習(xí)3](1)本例中假設(shè)將“A?B〞改為“B?A〞，其他條件不變，求m的取值范圍；(2)本例假設(shè)將集合A，B分別改為A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他條件不變，求實數(shù)m的值．解：(1)由題意，得假設(shè)B不為?，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－6≥－2，,2m－1≤5，,m－6≤2m－1，))無解；假設(shè)B為?，那么m－6>2m－1，即m<－5，符合題意．故實數(shù)m的取值范圍為{m|m<－5}．(2)由題意，得m2＝2m－1，∴m2－2m＋1＝0，解得m＝1.當(dāng)m＝1時，B＝{－1,3,1}，符合元素的互異性，∴實數(shù)m的值為1.1．(多項選擇題)以下四個命題中錯誤的選項是()A．空集沒有子集B．空集是任何一個集合的真子集C．?＝{0}D．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集答案：ABCD解析：由于空集是其本身的子集，故A錯誤；空集只有本身一個子集，故BD錯誤；空集沒有元素，而集合{0}含有一個元素0，故C錯誤．故錯誤命題是ABCD.2．以下集合中表示空集的是()A．{x∈R|x＋5＝5}B．{x∈R|x＋5＞5}C．{x∈R|x2＝0}D．{x∈R|x2＋x＋1＝0}答案：D解析：∵A，B，C中分別表示的集合為{0}，{x|x＞0}，{0}，∴不是空集；又∵x2＋x＋1＝0無解，∴{x∈R|x2＋x＋1＝0}表示空集．3．滿意條件{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A有()A．4個B．7個C．8個D．16個答案：C解析：∵{1,2}?A?{1,2,3,4,5}，∴集合A可以為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8個．4．假設(shè)集合A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，那么集合B的非空真子集的個數(shù)為()A．3B．6C．7D．8答案：B解析：∵A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，∴B＝{6,8,12}，∴B的非空真子集個數(shù)為23－2＝6.5．集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，那么m＝________.答案：0或2或－1解析：由B?A，得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互異性知m≠m＝0或2或－1.課后自讀方案[誤區(qū)警示]對子集概念中的空集爭論不全致誤[例如]M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，假設(shè)N?M，求實數(shù)a的取值范圍．[解]由于M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，又由于N?M，所以N＝?或N＝{1}或N＝{2}或N＝{1,2}．①當(dāng)N＝?時，方程x2－2x＋a＝0的判別式Δ＝4－4a＜0，即a＞1.②當(dāng)N＝{1}時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＝2，,1×1＝a，))所以a＝1.③當(dāng)N＝{2}時，有eq