2．5直線與圓錐曲線1．知識與技能掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定，直線和圓錐曲線相交時弦長的計算、弦的中點及與相交的問題等．圓錐曲線的最值問題．2．過程與方法掌握利用方程思想研究直線與圓錐曲線之間的關(guān)系的方法．3．情感態(tài)度與價值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗研究解析幾何的基本思想和基本方法．提高學(xué)生分析和解決問題的能力．重點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．難點：直線和圓錐曲線的綜合問題和最值問題．1．對于聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程所得到的一元二次方程，一定要對二次項系數(shù)是否為零進行判斷．當二次項系數(shù)為零，得到惟一解，此時是直線與雙曲線或拋物線相交的情況，而不是相切的．2．涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用點差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．3．牽涉到直線與圓錐曲線的相交問題，且求解的問題涉及到兩根之和或兩根之差的形式，均可采用韋達定理的方法進行轉(zhuǎn)化，試試是否可行，但千萬不可忽視，“Δ”是前提保障．4．直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定，也可采用數(shù)形結(jié)合的方法，尤其在雙曲線中要注意漸近線的特殊性．6．對于有關(guān)范圍問題研究，一般從判別式“Δ”考慮，尤其是與交點問題的考慮；有些時候也要從曲線方程本身的限制著手；也有些要從式子的特征考慮．例如m2就要求m2≥0，我們還可了解橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)部(包含焦點的部分)點所具有的不等式關(guān)系．7．求最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值問題；二是求直線或圓錐曲線中的幾何元素的最值以及這些元素存在時確定與之有關(guān)的一些問題．在探求最值時，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問題獲解．同時，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件．1．設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：f(x，y)＝0，消去y(或消去x)，得到關(guān)于x(或y)的方程mx2＋nx＋p＝0，此時方程組的個數(shù)與方程mx2＋nx＋p＝0的解的個數(shù)是一致的，當m≠0時，(m＝0時在雙曲線中是與漸近線平行的直線，與雙曲線相交但只有一個交點；在拋物線中是與對稱軸平行的直線，也與拋物線相交但只有一個交點．)方程mx2＋nx＋p＝0是一個一元二次方程，此時方程解的個數(shù)(即為直線與圓錐曲線交點的個數(shù))可由判別式Δ＝b2－4ac來判斷如下：(1)Δ>0?相交；(2)Δ＝0?相切；(3)Δ<0?相離．2．“設(shè)而不求”的方法、韋達定理和弦長公式．(1)設(shè)而不求的方法：若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A和B，一般地，首先設(shè)出坐標A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四個參數(shù)x1，y1，x2，y2它們的作用，只是過渡性符號，通常是不要求求出的，但有利于用韋達定理等解決問題，是直線和圓錐曲線位置關(guān)系中常用的方法．3．與辱弦的鑒中點柳有關(guān)鐘問題巴求解唯常用貪方法兼：(1岡)韋達乳定理姓法：利用蝴到韋裳達定居理中晃兩根態(tài)之和弓形式他與中脅點公歸式的鵝聯(lián)系宇．(2罵)點差享法：將點衰的坐福標代襖入曲熊線方除程，雀對方宏程作腸差，驚利用溜平方炸差公果式可蒙出現(xiàn)控中點老形式假和斜晚率形青式．[例1]若直瞞線y＝kx＋1與焦派點在x軸上笨的橢坊圓鋒＝1總有遇公共派點，燥求m的取嗚值范撲圍．[分析]直線風與橢走圓的亮位置推關(guān)系祥由橢片圓方腳程與胸直線柱方程和組成炒的方館程組活的實謝數(shù)解紫的個損數(shù)來挽確定縮慧，通汪常先椒消元燥再利燙用判倚別式蓄，可發(fā)求m的取朗值范甩圍．(m＋5k2)x2＋10kx＋5(竹1－m)＝0，∴Δ＝10百0k2－20您(m＋5k2)(疼1－m)＝20m(5k2＋m－1)．∵直線霞與橢議圓總長有公消共點眉，∴Δ≥0對任瓶意k∈R都成撓立．∵m>0，∴5k2≥1－m恒成讀立，∴1－m≤0，即m≥1；又姻橢圓剖的焦離點在x軸上精，∴0<m<5，∴1≤m<5樣.求過企點P(0堂,1至)且與文拋物淋線y2＝x只有郵一公農(nóng)共點植的直擁線方抵程．[例2]頂點環(huán)在原仗點，霧焦點蘿在x軸上寒的拋翻物線非截直蒜線y＝2x－4所得瀉弦長|AB|＝3，求融拋物形線方棵程．[分析]設(shè)出離拋物違線的尸方程卸，運較用公央式求驚解．拋物趙線的厘頂點漢在原竭點，桃以x軸為舊對稱緩軸，佛經(jīng)過礦焦點送且傾輕斜角餐為13墓5°的直維線，皂被拋拔物線儲所截臣得的裳弦長輸為8，試拳求拋炭物線隔方程出．[例3]求過攻定點(0剖,1蝦)的直揭線被強雙曲屋線x2－間＝1截得互的弦岔中點頸軌跡嚼方程馳．[解析]因為擠斜率菠不存壟在時瘡該直親線與貧雙曲萍線無奮交點癥，所欠以設(shè)立直線權(quán)的方材程為y＝kx＋1.設(shè)它常被雙橋曲線怕截得傾的弦AB對應(yīng)朽的中佛點為P(x，y)．設(shè)橢玻圓x2＋3y2＝3與直壇線y＝kx＋m(k≠0)相交寇于不獲同的范兩點M，N，A(0，－1)，當|AM|＝|AN|時，些求m的取煤值范壤圍．[例4]在平訓(xùn)面直姐線坐與標系xO楚y中，域拋物陸線y＝x2上異渴于坐己標原音點O的兩灘不同支動點A、B滿足AO⊥BO(如圖圓所示)．(1滑)求△AO侮B的重籠心G(即三全角形喇三條錘中線夠的交薯點)的軌猴跡方框程；(2獎)△AO烈B的面坐積是掌否存棟在最株小值卷？若毀存在寧，請到求出宣最小尿值；艇若不劇存在雷，請坡說明鏟理由戚．[分析]重心董軌跡敲可由康重心坐餅標公聚式建踩立等闊式．[說明]本題艷考查狂直線葵與拋陸物線襖的位胞置關(guān)填系、麗軌跡菊問題微、最撞值問扯題，列考查需了推求理運解算能爺力及子綜合受運用曲知識舟解題副的能貿(mào)力．已知酬直線l為橢證圓x2＋4y2＝4的切料線，漿并與追坐標填軸交低于A、B兩點頌．試逗求|AB|的最汽小值況；若板橢圓伙和圓C：(x－1)2＋y2＝r2永遠扮相交廉，試煉求r的最材小值寇和最而大值槳．[例5]已知冤雙曲映線x2－限＝1，過腹點A(1效,1證)能否心作直格線m，使m與已緞知雙瞇曲線倘交于Q1，Q2兩點赤，且A是線礦段Q1Q2的中丈點，吃這樣撞的直蒸線m如果于存在丘，求宗出它昏的方瓦程；朗如果酸不存術(shù)在，中說明叢理由壟．[分析]假設(shè)臨存在訊，代單入曲殿線方屯程，預(yù)由中麻點坐件標公塔式建織立聯(lián)時系，仍或用熄點差嶺法求僻解．[說明]這是和一類“探索格性”或“存在裕性”問題側(cè)，解飄決這配類問趣題的為思路盆是，夢先假墊設(shè)存被在，至然后董利用近已知榆條件療求解茶，若風求不罪出，拍則說懇明不炕存在酒，若們求出錯，則僚也不鮮一定向存在往，還植需看華是否椒符合瓜題意腹，本告例中掀涉及歪到直促線與到雙曲拖線相再交，愧必須態(tài)滿足林聯(lián)立蠻方程常后整藥理出劉來的狐方程時的判王別式Δ>0，結(jié)你果發(fā)臺現(xiàn)當k＝2時，梅聯(lián)立必后的另方程煙無解顯，所塌以此篩直線偉不存測在．若將千例題眼中的版雙曲序線方娛程換除為療－y2＝1其他捉不變赴，該普如何價解決都此題騎？[例6]已知獅直線y＝kx－1與雙顧曲線x2－y2＝1的左飄支交季于A、B兩點勵，若椒另一鋼條直哨線l經(jīng)過P(－2,弄0)及線蜜段AB的中彈點Q.(1維)求k的取抓值范校圍．(3孟)求直口線l在y軸上芬的截瓶距b的取章值范幣圍．[辨析]直線倦與二換次曲銷線相破交，碎將直農(nóng)線方臨程代轉(zhuǎn)入曲默線方濤程化殃為關(guān)扣于x(或y)的方貿(mào)程后跡，注蓬意：①二次送項系述數(shù)不窗為0；②Δ>0還是Δ≥0；③韋達則定理薯．一、漂選擇肯題1．如弟圖所幕示，舌若ab≠0且a≠b，則ax－y＋b＝0與bx2＋ay2＝ab，所洋表示墊的曲層線只鞋可能唱是()[答案]C[解析]過(2伶,0榆)點作喊直線l∥y軸交拿漸近攀線于A(2鴉,2孩)，B(2，－2)兩點出，直喜線y＝k(x－2)＋b過(2，b)，當(2，b)點在鞠線段AB上時批，總渠有交東點，聞故選C.[答案]D[答案]B[解析]將y＝x代入y＝ax2＋1得ax2－x＋1＝0，∵相切步，∴Δ＝0，即1－4a＝0，∴a＝.故選B.二、肆填空俗題4．曲浮線x2＋(y－1)2＝4與直坦線y＝k(x－2)＋4有兩懲個不禮同的選交點印，則k的取柄值范楚圍是__聚__覽__秘__．5．一流個正圾三角縫形三英個頂膜點都拋在拋辛物線y2＝4x上，詠其中扭一個拒頂點劉為坐鍬標原稱點，