第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用

最新考綱1.能運用數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)解決簡單的實際問題．2．能運用觀察、歸納、猜想的手段，建立有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型．高考熱點1.以數(shù)列知識為載體考查數(shù)學建模以及運用數(shù)列知識解決實際問題的能力．2．數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、三角函數(shù)等知識的綜合問題是近幾年高考的熱點.1.數(shù)列與其他章節(jié)的綜合題數(shù)列綜合題，包括數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、不等式的知識綜合起來，另外，數(shù)列知識在復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何等部分也有廣泛的應(yīng)用．2．數(shù)列的探索性問題探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)，探索性問題對分析問題、解決問題的能力有較高的要求．3．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題4．數(shù)列的實際應(yīng)用現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率、圖形面積、曲線長度等實際問題，常?？紤]用數(shù)列的知識來加以解決． 1．數(shù)列應(yīng)用題要以教材中的復(fù)利計算和分期 付款模型為基本研究類型，注意是an，還是Sn 問題，并注意對實際問題有實際意義，進行合理性驗證．2．分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想是本節(jié)內(nèi)容考查中最容易穿插的思想方法，體現(xiàn)在遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列．將解析幾何問題、三角問題、不等式問題分類討論或進行轉(zhuǎn)化，以數(shù)列方式解決，還應(yīng)注意數(shù)列極限和數(shù)學歸納法的使用.題型一等差數(shù)列的實際應(yīng)用思維提示轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的通項及前n項和問題例1由于美伊戰(zhàn)爭的影響，據(jù)估計，伊拉克將產(chǎn)生60～100萬難民，聯(lián)合國難民署計劃從4月1日起為伊難民運送食品．第一天運送1000t，第二天運送1100t，以后每天都比前一天多運送100t，直到達到運送食品的最大量，然后再每天遞減100t，連續(xù)運送15天，總共運送21300t，求在第幾天達到運送食品的最大量．整理化簡得n2－31n＋198＝0.解得n＝9或22(不合題意，舍去)．即在第9天達到運送食品的最大量．[規(guī)律總結(jié)]本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問題．應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和求和公式，在求和后，整理化簡便得所求問題的答案.備選例題1甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？(2)如果甲、乙到達對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？例2(2007·上海)近年來，太陽能技術(shù)運用的步伐日益加快，2002年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長率為34%.以后四年中，年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%(如2003年的年生產(chǎn)量的增長率為36%)．(1)求2006年全球太陽能電池的年生產(chǎn)量(結(jié)果精確到0.1兆瓦)；題型二等比數(shù)列的實際應(yīng)用思維提示等比數(shù)列通項公式及前n項和公式(2)目前太陽電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠小于生產(chǎn)量，2006年的實際安裝量為1420兆瓦，假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平(即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%)，這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達到多少？(結(jié)果精確到0.1%)[解](1)由題意知：2003年的太陽能年生產(chǎn)量為：a1＝670×(1＋36%)，2004年的太陽能年生產(chǎn)量為：a2＝a1(1＋38%)，2005年的太陽能年生產(chǎn)量為：a3＝a2(1＋40%)，2006年的太陽能年生產(chǎn)量為：a4＝a3(1＋42%)，即a4＝670×1.36×1.38×1.40×1.42＝2499.8兆瓦．(2傲)設(shè)20幻玉06年后4年內(nèi)求年安方裝量嗎的增棋長率類為x.則由古題意褲知：1臟42壺0×(1＋x)4≥2悄49蔥9.報8×(1＋42宴%)4×95做%，解得x≥0.品61興5＝61撿.5蜻%，即x的最拘小值習為61稀.5線%.答：(1考)2奇00砍6年的免太陽每能年夜生產(chǎn)紀量為2痕49鍋9.址8兆瓦玩．(2城)4年內(nèi)舅年安局裝量躲的增鼠長率奇的最鏈小值銳為61反.5跡%.[規(guī)律孤總結(jié)]與等屢比數(shù)創(chuàng)列聯(lián)兼系較還大的辣是“增長涉率”“遞減墊率”的概耗念，偵在經(jīng)墾濟上鍵要涉制及利菜潤、地成本足、效量益的側(cè)增減璃問題鑄；在童人口旺數(shù)量殼的研低究中室也要愁研究啊增長居率問部題；焦金融蘆問題區(qū)更要并涉及死利率胖的問監(jiān)題，王這都輔與等徐比數(shù)導(dǎo)列有思關(guān).備選休例題2某國派采用衡養(yǎng)老炸儲備季金制閃度．屑公民擁在就舊業(yè)的墻第一剃年就搶交納饞養(yǎng)老光儲備榜金，拖數(shù)目箱為a1，以結(jié)后每雞年交徑納的鴿數(shù)目以均比證上一獄年增拍加d(d＞0)，因致此，攔歷年座所交柄納的出儲備峽金數(shù)雹目a1，a2，…是一方個公蓄差為d的等叮差數(shù)翻列．屬與此施同時墊，國順家給謀予優(yōu)敏惠的惰計息具政策每，不香僅采諸用固蛋定利暖率，潛而且兔計算壩復(fù)利鑰，這隙就是悶說，蘋如果寬固定你年利嗽率為r(r＞0)，那憑么，命在第n年末槳，第茫一年類所交保納的工儲備才金就某變?yōu)閍1(1＋r)n－1，第棵二年什所交證納的稅儲備移金就夠變?yōu)閍2(1＋r)n－2，…….以Tn表示慮到第n年末牲所累陳計的拴儲備雹金總畏額．(1犬)寫出Tn與Tn－1(n≥2)的遞役推關(guān)吧系式危；(2丙)求證目：Tn＝An＋Bn，其見中{An}是一疫個等刮比數(shù)組列，{Bn}是一撈個等陽差數(shù)餃列．(1像)解：我們品有Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．(2跡)證明借：T1＝a1，對n≥2反復(fù)填使用酒上述則關(guān)系跨式，踩得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an.①在①式兩浪端同疊乘1＋r，得例3(2希01植0·德州愁調(diào)研)某汽茶車銷倆售公爸司為磁促銷濁采取掙了較盡為靈紐奉活的癢付款秘方式積，對蓋購買10萬元筒一輛溝的轎魂車在命一年根內(nèi)將是款全潛部付惑清的豆前提狂下，旗可以緊選擇碧以下掉兩種悲分期表付款史的方忠案購強車：方案扯一：笨分3次付閑清，蒸購買顆后4個月蚊第1次付邊款，倍再過4個月視第2次付?？睿y再過4個月珠第3次付創(chuàng)款．方案戶二：呈分12次付谷清，請購買拉后1個月著第1次付年款，少再過1個月壤第2次付狠款，……購買承后12個月熊第12次付瓶款．題型三增長率與分期付款問題思維提示構(gòu)造等比數(shù)列規(guī)定宗分期兆付款吊中每冒期付賺款額短相同巖，月監(jiān)利率毅為0.滔8%，第懶月利梁息按理復(fù)利燃計算串，即村指上衰月利扎息要悠計入旅下月酒本金見．試比車較以寄上兩深種方打案的成哪一格種方青案付勞款總愛額較隔少？注：蛋計算錯結(jié)果寧保留震三位田有效愛數(shù)字代．參炒考數(shù)自據(jù)：1．00鍋83≈1.煎02冒4,睡1.抗00金84≈1.弱03鼠3,狐1.烈00吹811≈1.頭09威2，1．00晌812≈1.似1,芒1.敵0211≈1.籍24辟3,冬1.鄭0212≈1.那26妹8.[答案]第二寨種方贏案付譽款總蹄額較先少．[規(guī)律櫻總結(jié)]采用徑分期傷付款窯的方賓法，件購買替售價扣為a元的幣商品(或貸愉款a元)，每倡期付作款數(shù)茫相同膝，購艱買后1個月(或1年)付款1次，蕩過1個月(或1年)再付1次，除如此牛下去警，到衰第n次付疤款后杜全部狠付清什．如業(yè)果月渾利率(或年默利率)為b，那元么每悉期付熟款x元滿跟足下頭列關(guān)涼系；先按年慢利息言時為a(1＋nb)＝x{1＋(1＋b)＋(1＋2b)＋…＋[1＋(n－1)b]}，按復(fù)落利計齊息時昏為a(1＋b)n＝x[1＋(1＋b)＋(1＋b)2＋…＋(1＋b)n－1]，化簡存得x[(曠1＋b)n－1]＝ab(1＋b)n.答：至少見經(jīng)過4年，且該企祖業(yè)進盯行技尸術(shù)改誓造后冰的累閉計純袖利潤劍超過享不進巖行技唐術(shù)改早造的洋累計撫純利擁潤.題型四數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題思維提示①應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)實現(xiàn)轉(zhuǎn)化②比較大小用比較法、均值不等式法、放縮法.[分析]對于芽第(1基)(毅2)問直懷接利列用函攪數(shù)的拿相關(guān)原知識紫解決獎；第(3能)問可依采用袍放縮警法證疑明．解：(1烤)∵二次襯函數(shù)f(x)＝x2－2(幅10－3n)x＋9n2－61n＋10蝦0(n∈N*)的圖襪象的凳頂點臘的橫減坐標瞞為10－3n，∴an＝10－3n(n∈N*)．∵an＋1－an＝10－3(n＋1)－(1疼0－3n)＝－3，∴數(shù)列{an}是等序差數(shù)孝列．(2抹)∵二次夾函數(shù)f(x)＝x2－2(型10－3n)x＋9n2－61n＋10悶0(n∈N*)的圖稼象的踐頂點奔到y(tǒng)軸的此距離瀉為|1悔0－3n|，∴dn＝|1班0－3n|(n∈N*)．數(shù)音列{dn}的前3項為描一個示首項駝為7、公遇差為腸－3的等滿差數(shù)伍列，鎮(zhèn)從第4項開胸始為機一個青首項頃為2、公土差為3的等腦差數(shù)壯列．∴數(shù)列{dn}前n項的掃和例假設(shè)刷某市20瞇04年新門建住愧房40江0萬平首方米鄰，其冠中有25饞0萬平爪方米饞是中元低價成房，戴預(yù)計他在今慣后的舅若干削年內(nèi)叛，該源市每服年新球建住頭房面膨積平掛均比想上一抬年增知長8%，另絮外，室每年樓新建或住房脊中，栽中低恐價房璃的面嚷積比鵲上一嬌年增摧加50萬平矩方米衛(wèi)，那衫么到?jīng)Q哪一賓年底峽，(1喜)該市宅歷年海所建鼓中低激價房沒的累染計面嗽積(以20支04年為憂累計攝的第叼一年)將首網(wǎng)次不朽少于47纖50萬平墻方米籮？(2乏)當年贏建造趣的中要低價罩房面超積占朵該年鵝建造宵住房調(diào)面積晨的比銀例首倒次大盾于85絹%?[解題碰思路](1昂)設(shè)中婦低價梯房面橡積形傾成數(shù)貫列{an}，由蓮題意齒可知缺，{an}是等置差數(shù)貍列，敗其中a1＝25望0，d＝50，則Sn＝25有0n＋×50＝25n2＋22弟5n，令25n2＋22老5n≥4掃75駁0，即n2＋9n－19幫0≥0，解嚷得n≥10或n≤－19簽.又∵n是正西整數(shù)夾，∴n≥10，即懲到20崖13年底猴，該劑市歷稈年所盛建中楊低價團房的鍛累計尊面積濟將首散次不于少于47嗚50萬平賤方米蝦．(2錯)設(shè)新念建住汁房面甜