自主招生數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題一、解答題（共21小題，滿分120分）1．如圖，AB是半圓O直徑，C為半圓上一點，N是線段BC上一點（不與B、C重合），過N作AB垂線交AB于M，交AC延長線于E，過C點作半圓O切線交EM于F．（1）求證：△ACO∽△NCF；（2）NC：CF＝3：2，求sinB值．2．伴隨綠城南寧近幾年城市建設(shè)快速發(fā)展，對花木需求量逐年提升．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，依照市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木利潤y1與投資量x成正百分比關(guān)系，如圖①所表示；種植花卉利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所表示（注：利潤與投資量單位：萬元）（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x函數(shù)關(guān)系式；（2）假如這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他最少取得多少利潤，他能獲取最大利潤是多少？3．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x．（1）用含x代數(shù)式表示△MNP面積S；（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切；（3）在動點M運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合面積為y，試求y關(guān)于x函數(shù)表示式，并求x為何值時，y值最大，最大值是多少？4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O切線；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD長．5．在直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（2，2），點C是線段OA上一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF．連接AF并延長交x軸正半軸于點B，連接OF，設(shè)OD＝t．（1）求tan∠FOB值；（2）用含t代數(shù)式表示△OAB面積S；（3）是否存在點B，使以B，E，F(xiàn)為頂點三角形與△OFE相同？若存在，請求出全部滿足要求B點坐標；若不存在，請說明理由．6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在圖1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB+AD＝AC；（2）在圖2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證實；若不成立，請說明理由；（3）在圖3中：①∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，則AB+AD＝AC；②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC＝180°，則AB+AD＝AC（用含α三角函數(shù)表示），并給出證實．7．已知拋物線y＝ax2+bx+c頂點A在x軸上，與y軸交點為B（0，1），且b＝﹣4ac．（1）求拋物線解析式；（2）在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑圓經(jīng)過拋物線頂點A？若不存在，說明理由；若存在，求出點C坐標，并求出此時圓圓心點P坐標；（3）依照（2）小題結(jié)論，你發(fā)覺B、P、C三點橫坐標之間、縱坐標之間分別有何關(guān)系？8．如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中矩形紙片，O為原點，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，OA＝5，OC＝4．（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上點E處，求D，E兩點坐標；（2）如圖2，若AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向E點勻速運動，運動速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED平行線交AD于點M，過點M作AE平行線交DE于點N．求四邊形PMNE面積S與時間t之間函數(shù)關(guān)系式；當t取何值時，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）條件下，當t為何值時，以A，M，E為頂點三角形為等腰三角形，并求出對應(yīng)時刻點M坐標？9．小華將一張矩形紙片（如圖1）沿對角線CA剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），其中∠ACB＝α，然后將這兩張三角形紙片按如圖3所表示位置擺放，△EFD紙片直角頂點D落在△ACB紙片斜邊AC上，直角邊DF落在AC所在直線上．（1）若ED與BC相交于點G，取AG中點M，連接MB、MD，當△EFD紙片沿CA方向平移時（如圖3），請你觀察、測量MB、MD長度，猜測并寫出MB與MD數(shù)量關(guān)系，然后證實你猜測；（2）在（1）條件下，求出∠BMD大小（用含α式子表示），并說明當α＝45°時，△BMD是什么三角形；（3）在圖3基礎(chǔ)上，將△EFD紙片繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角度小于90°），此時△CGD變成△CHD，一樣取AH中點M，連接MB、MD（如圖4），請繼續(xù)探究MB與MD數(shù)量關(guān)系和∠BMD大小，直接寫出你猜測，不需要證實，并說明α為何值時，△BMD為等邊三角形．10．如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA中點，點D是射線BM上一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求證：BF＝FD；（2）∠A在什么范圍內(nèi)改變時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；（3）∠A在什么范圍內(nèi)改變時，線段DE上存在點G，滿足條件DG＝DA，并說明理由．11．如圖，已知拋物線與x軸交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．（1）求拋物線解析式及其頂點D坐標；（2）設(shè)直線CD交x軸于點E．在線段OB垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD距離等于點P到原點O距離？假如存在，求出點P坐標；假如不存在，請說明理由；（3）過點B作x軸垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？12．正方形ABCD中，點O是對角線AC中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F．如圖1，當點P與點O重合時，顯然有DF＝CF．（1）如圖2，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點E．①求證：DF＝EF；②寫出線段PC、PA、CE之間一個等量關(guān)系，并證實你結(jié)論；（2）若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E．請完成圖3并判斷（1）中結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出對應(yīng)結(jié)論．（所寫結(jié)論均無須證實）13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣4）、B（x1，0）、C（x2，0）三點，且x2﹣x1＝5．（1）求b、c值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線菱形？若存在，求出點P坐標，并判斷這個菱形是否為正方形；若不存在，請說明理由．14．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE+GD成立嗎？為何？（3）利用（1）（2）解答中所積累經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE長．15．已知：拋物線y＝ax2+4ax+t與x軸一個交點為A（﹣1，0）（1）求拋物線與x軸另一個交點B坐標；（2）D是拋物線與y軸交點，C是拋物線上一點，且以AB為一底梯形ABCD面積為9，求此拋物線解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸距離比為5：2點，假如點E在（2）中拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸同側(cè)，問：在拋物線對稱軸上是否存在點P，使△APE周長最?。咳舸嬖?，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．16．（10分）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所表示平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)點C處．（1）求點C坐標；（2）若拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線解析式；（3）若上述拋物線對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作y軸平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這么點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P坐標；若不存在，請說明理由．17．（12分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在社會實踐活動中，進行了以下課題研究：用一定長度鋁合金材料，將它設(shè)計成外觀為長方形三種框架，使長方形框架面積最大．小組討論后，同學(xué)們做了以下三種試驗：請依照以上圖案回答以下問題：（1）在圖案1中，假如鋁合金材料總長度（圖中全部黑線長度和）為6m，當AB為1m，長方形框架ABCD面積是m2；（2）在圖案2中，假如鋁合金材料總長度為6m，設(shè)AB為xm，長方形框架ABCD面積為S＝（用含x代數(shù)式表示）；當AB＝m時，長方形框架ABCD面積S最大；在圖案3中，假如鋁合金材料總長度為lm，設(shè)AB為xm，當AB＝m時，長方形框架ABCD面積S最大．（3）經(jīng)過這三種情形試驗，他們發(fā)覺對于圖案4這么情形也存在著一定規(guī)律．探索：如圖案4假如鋁合金材料總長度為lm共有n條豎檔時，那么當豎檔AB多少時，長方形框架ABCD面積最大．18．課堂上，老師將圖①中△AOB繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)覺圖形形狀和大小不變，但位置發(fā)生了改變．當△AOB旋轉(zhuǎn)90°時，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．（1）△A1OB1面積是；A1點坐標為（）；B1點坐標為（）；（2）課后，小玲和小惠對該問題繼續(xù)進行探究，將圖②中△AOB繞AO中點C（2，1）逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′，設(shè)O′B′交OA于D，O′A′交x軸于E．此時A′，O′和B′坐標分別為（1，3），（3，﹣1）和（3，2），且O′B′經(jīng)過B點．在剛才旋轉(zhuǎn)過程中，小玲和小惠發(fā)覺旋轉(zhuǎn)中三角形與△AOB重合部分面積不停變小，旋轉(zhuǎn)到90°時重合部分面積（即四邊形CEBD面積）最小，求四邊形CEBD面積；（3）在（2）條件下，△AOB外接圓半徑等于．19．（9分）已知：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），頂點C（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點，A（﹣1，0）．（1）求這條拋物線解析式；（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點Q為線段AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；（3）在（2）條件下，若點H是線段EQ上一點，過點H作MN⊥EQ，MN分別與邊AE、BE相交于M、N，（M與A、E不重合，N與E、B不重合），請判斷是否成立？若成立，請給出證實；若不成立，請說明理由．20．（10分）如圖①，已知△ABC中，AB＝AC，點P是BC上一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG⊥AB于點G，則CG＝PM+PN．（1）如圖②，若點P在BC延長線上，則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系，若有，請說明理由，若沒有，猜測三者之間又有怎樣關(guān)系，并證實你猜測；（2）如圖③，AC是正方形ABCD對角線，AE＝AB，點P是BE上任一點，PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M，猜測PM、PN、AC有什么關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）（3）觀察圖①、②、③特征，請你依照這一特征結(jié)構(gòu)一個圖形，使它依然具備PM、PN、CG這么線段，并滿足圖①或圖②結(jié)論，寫出相關(guān)題設(shè)條件和結(jié)論．21．（8分）如圖1，△ABC邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜測并寫出BQ與AP所滿足數(shù)量關(guān)系，請證實你猜測；（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3位置時，EP延長線交AC延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（1）中所猜測BQ與AP數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證實；若不成立，請說明理由；（3）若AC＝BC＝4，設(shè)△EFP平移距離為x，當0≤x≤8時，△EFP與△ABC重合部分面積為S，請寫出S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并求出最大值．

參考答案一、解答題（共21小題，滿分120分）1．【解答】（1）證實：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∴EM⊥AB，∴∠A＝∠CNF＝∠MNB＝90°﹣∠B．∵CF為⊙O切線，∴∠OCF＝90°．∴∠ACO＝∠NCF＝90°﹣∠OCB，∴△ACO∽△NCF．（2）解：由△ACO∽△NCF得：．在Rt△ABC中，sinB＝．2．【解答】解：（1）設(shè)y1＝kx，由圖①所表示，函數(shù)y1＝kx圖象過（1，2），所以2＝k?1，k＝2，故利潤y1關(guān)于投資量x函數(shù)關(guān)系式是y1＝2x（x≥0）；∵該拋物線頂點是原點，∴設(shè)y2＝ax2，由圖②所表示，函數(shù)y2＝ax2圖象過（2，2），∴2＝a?22，，故利潤y2關(guān)于投資量x函數(shù)關(guān)系式是：y＝x2（x≥0）；（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8﹣x）萬元，他取得利潤是z萬元，依照題意，得z＝2（8﹣x）+x2＝x2﹣2x+16＝（x﹣2）2+14，當x＝2時，z最小值是14，∵0≤x≤8，∴x＝8時，Z最大值為32，答：當x＝8時，z最大值是32．3．【解答】解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即；∴AN＝x；∴S＝S△MNP＝S△AMN＝?x?x＝x2．（0＜x＜4）（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD，則AO＝OD＝MN．在Rt△ABC中，BC＝＝5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN＝x∴OD＝x，過M點作MQ⊥BC于Q，則MQ＝OD＝x，在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM＝x，AB＝BM+MA＝x+x＝4∴x＝，∴當x＝時，⊙O與直線BC相切；（3）隨點M運動，當P點落在直線BC上時，連接AP，則O點為AP中點．∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠AOM＝∠APB，∴△AMO∽△ABP，∴，∵AM＝MB＝2，故以下分兩種情況討論：①當0＜x≤2時，y＝S△PMN＝x2，∴當x＝2時，y最大＝×4＝，②當2＜x＜4時，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)，∵四邊形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x，又∵MN∥BC，∴四邊形MBFN是平行四邊形；∴FN＝BM＝4﹣x，∴PF＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，又∵△PEF∽△ACB，∴，∴S△PEF＝（x﹣2）2；y＝S△MNP﹣S△PEF＝x2﹣（x﹣2）2＝﹣x2+6x﹣6，當2＜x＜4時，y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣）2+2，∴當x＝時，滿足2＜x＜4，y最大＝2．總而言之，當x＝時，y值最大，最大值是2．4．【解答】（1）證實：連接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O切線．（2）解：∵BD是直徑，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE長是1cm，∴BD長是4cm．5．【解答】解：（1）∵A（2，2），∴∠AOB＝45°，∴CD＝OD＝DE＝EF＝t，∴．（3分）（2）∵CF∥OB，∴△ACF∽△AOB，∴．∴，∴．（4分）（3）要使△BEF與△OFE相同，∵∠FEO＝∠FEB＝90°，∴只要或．即：BE＝2t或，①當BE＝2t時，BO＝4t，∴，∴t1＝0（舍去）或t2＝，∴B（6，0）．（2分）②當初，（?。┊擝在E左側(cè)時，，∴，∴t1＝0（舍去）或t2＝．∴B（1，0）．（2分）（ⅱ）當B在E右側(cè)時，，∴，∴t1＝0（舍去）或t2＝，∴B（3，0）．（2分）綜上，B（1，0）（3，0）（6，0）．6．【解答】（1）證實：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴AB＝AD＝AC，∴AB+AD＝AC．（2）解：成立．證法一：如圖，過點C分別作AM，AN垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB，∴AB+AD＝AF+BF+AE﹣ED＝AF+AE，由（1）知AF+AE＝AC，∴AB+AD＝AC，證法二：如圖，在AN上截取AG＝AC，連接CG，∵∠CAB＝60°，AG＝AC，∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠ADC，∴△CBG≌△CDA，∴BG＝AD，∴AB+AD＝AB+BG＝AG＝AC；（3）證實：由（2）知，ED＝BF，AE＝AF，在Rt△AFC中，cos∠CAF＝，即cos，∴AF＝ACcos，∴AB+AD＝AF+BF+AE﹣ED＝AF+AE＝2AF＝2cosAC．把α＝60°，代入得AB+AD＝AC．7．【解答】解：（1）將B（0，1）代入y＝ax2+bx+c中，得c＝1．又∵b＝﹣4ac，頂點A（﹣，0），∴﹣＝＝2c＝2．∴A（2，0）．（2分）將A點坐標代入拋物線解析式，得4a+2b+1＝0，∴解得a＝，b＝﹣1，故拋物線解析式為y＝x2﹣x+1．（4分）（2）假設(shè)符合題意點C存在，其坐標為C（x，y），作CD⊥x軸于D，連接AB、AC．∵A在以BC為直徑圓上，∴∠BAC＝90°．∴△AOB∽△CDA，∴OB?CD＝OA?AD，即1?y＝2（x﹣2），∴y＝2x﹣4，（6分）由，解得x1＝10，x2＝2．∴符合題意點C存在，且坐標為（10，16），或（2，0），（8分）∵P為圓心，∴P為BC中點，當點C坐標為（10，16）時，取OD中點P1，連PP1，則PP1為梯形OBCD中位線，∴PP1＝（OB+CD）＝．∵D（10，0），∴P1（5，0），∴P2（5，）．當點C坐標為（2，0）時，取OA中點P2，連PP2，則PP2為△OAB中位線．∴PP2＝OB＝，∵A（2，0），∴P2（1，0），∴P（1，）．故點P坐標為（5，），或（1，）．（10分）（3）設(shè)B、P、C三點坐標為B（x1，y1），P（x2，y2），C（x3，y3），由（2）可知：．（12分）8．【解答】解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED對稱軸，∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝5，AB＝4．BE＝＝3．∴CE＝2．∴E點坐標為（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，又∵DE＝OD．∴（4﹣OD）2+22＝OD2．解得：OD＝．∴D點坐標為（0，）．（2）如圖②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP＝t，ED＝，AE＝5，PM＝×＝，又∵PE＝5﹣t．而顯然四邊形PMNE為矩形．S矩形PMNE＝PM?PE＝×（5﹣t）＝﹣t2+t；∴S四邊形PMNE＝﹣（t﹣）2+，又∵0＜＜5．∴當t＝時，S矩形PMNE有最大值．（3）（i）若以AE為等腰三角形底，則ME＝MA（如圖①）在Rt△AED中，ME＝MA，∵PM⊥AE，∴P為AE中點，∴t＝AP＝AE＝．又∵PM∥ED，∴M為AD中點．過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD中位線，∴MF＝OD＝，OF＝OA＝，∴當t＝時，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．此時M點坐標為（，）．（ii）若以AE為等腰三角形腰，則AM＝AE＝5（如圖②）在Rt△AOD中，AD＝＝＝．過點M作MF⊥OA，垂足為F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．∴t＝AP＝＝＝2，∴PM＝t＝．∴MF＝MP＝，OF＝OA﹣AF＝OA﹣AP＝5﹣2，∴當t＝2時，（0＜2＜5），此時M點坐標為（5﹣2，）．綜合（i）（ii）可知，t＝或t＝2時，以A，M，E為頂點三角形為等腰三角形，對應(yīng)M點坐標為（，）或（5﹣2，）．9．【解答】解：（1）MB＝MD，證實：∵AG中點為M∴在Rt△ABG中，MB＝AG在Rt△ADG中，MD＝AG∴MB＝MD．（2）∵∠BMG＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM，同理∠DMG＝∠DAM+∠ADM＝2∠DAM，∴∠BMD＝2∠BAM+2∠DAM＝2∠BAC，而∠BAC＝90°﹣α，∴∠BMD＝180°﹣2α，∴當α＝45°時，∠BMD＝90°，此時△BMD為等腰直角三角形．（3）當△CGD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，依然存在MB＝MD，∠BMD＝180°﹣2α，故當α＝60°時，△BMD為等邊三角形．解法：延長DM至N，使MN＝DM，連AN、BN、BD，則有AN＝DH，∠NAM＝∠DHM∵∠1＝∠AHD+∠2∴∠BAM+90°＝∠AHD+90°﹣∠DCB，∴∠NAB＝∠DCB，∵∠CDH＝∠ABC＝90°，∠DCH＝∠BCA，∴△CDH∽△CBA，∴DH：AB＝CD：BC，∴AN：AB＝CD：BC，∴△NAB∽△DCB，∴∠NBA＝∠DBC∴∠NBD＝90°，∴BM＝MD，由△NAB∽△DCB得NB：AB＝BD：BC∴△NBD∽△ABC，∴∠BNM＝∠BAC，∵∠BMD＝2∠BNM∴∠BMD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α．10．【解答】（1）證實：在Rt△AEB中，∵AC＝BC，∴CE＝AB，∴CB＝CE，∴∠CEB＝∠CBE．∵∠CEF＝∠CBF＝90°，∴∠BEF＝∠EBF，∴EF＝BF．∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠FED＝∠EDF．∴BF＝FD；（2）解：由（1）BF＝FD，而BC＝CA，∴CF∥AD，即AE∥CF．若AC∥EF，則AC＝EF，∴BC＝BF．∴BA＝BD，∠A＝45°．∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°時，四邊形ACFE為梯形；（3）解：作GH⊥BD，垂足為H，則GH∥AB．∵DG＝DA，∴DH＝DB．又F為BD中點，∴H為DF中點．∴GH為DF中垂線．∴∠GDF＝∠GFD．∵點G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°，∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．∴3∠EDF≤180度．∴∠EDF≤60度．又∠A+∠EDF＝90°，∴30°≤∠A＜90°．∴當30°≤∠A＜90°時，DE上存在點G，滿足條件DG＝DA．11．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣4）．把C（0，8）代入，得a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，頂點D（1，9）；（2分）（2）假設(shè)滿足條件點P存在．依題意設(shè)P（2，t）．由C（0，8），D（1，9）求得直線CD解析式為y＝x+8，它與x軸夾角為45°．設(shè)OB中垂線交CD于H，則H（2，10）．則PH＝|10﹣t|，點P到CD距離為．又．（4分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得t＝﹣10±8．∴存在滿足條件點P，P坐標為（2，﹣10±8）．（6分）（3）由上求得E（﹣8，0），F(xiàn)（4，12）．①若拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．當x＝﹣8時，y＝﹣72+m．當x＝4時，y＝m．∴﹣72+m≤0或m≤12．∴0＜m≤72．（8分）②若拋物線向下平移，可設(shè)解析式為y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長．（10分）12．【解答】解：（1）如圖2，延長FP交AB于點Q，①∵AC是正方形ABCD對角線，∴∠QAP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝PQ，∵AB＝QF，∴BQ＝PF，∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE＝90°，∵∠QBP+∠QPB＝90°，∴∠QBP＝∠FPE，∵∠BQP＝∠PFE＝90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP＝EF，∵AQ＝DF，∴DF＝EF；②如圖2，過點P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF＝∠PAG＝45°，∴△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，∵四邊形DFPG為矩形，∴PA＝PG，PC＝CF，∵PG＝DF，DF＝EF，∴PA＝EF，∴PC＝CF＝（CE+EF）＝CE+EF＝CE+PA，即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PC＝CE+PA；（2）結(jié)論①仍成立；結(jié)論②不成立，此時②中三條線段數(shù)量關(guān)系是PA﹣PC＝CE．如圖3：①∵PB⊥PE，BC⊥CE，∴B、P、C、E四點共圓，∴∠PEC＝∠PBC，在△PBC和△PDC中有：BC＝DC（已知），∠PCB＝∠PCD＝45°（已證），PC邊公共邊，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴∠PBC＝∠PDC，∴∠PEC＝∠PDC，∵PF⊥DE，∴DF＝EF；②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，∴PA＝EF＝（CE+CF）＝CE+CF＝CE+PC即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PA﹣PC＝CE．13．【解答】解：（1）解法一：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，﹣4），∴c＝﹣4又∵由題意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx+c＝0兩個根，∴x1+x2＝b，x1x2＝﹣c由已知得（x2﹣x1）2＝25又∵（x2﹣x1）2＝（x2+x1）2﹣4x1x2＝b2﹣24∴b2﹣24＝25解得b＝±當b＝時，拋物線與x軸交點在x軸正半軸上，不合題意，舍去．∴b＝﹣．解法二：∵x1、x2是方程﹣x2+bx+c＝0兩個根，即方程2x2﹣3bx+12＝0兩個根．∴x＝，∴x2﹣x1＝＝5，解得b＝±當b＝時，拋物線與x軸交點在x軸正半軸上，不合題意，舍去．∴b＝﹣．（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線菱形，依照菱形性質(zhì)，點D必在拋物線對稱軸上，又∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x+）2+∴拋物線頂點（﹣，）即為所求點D．（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線菱形，點B坐標為（﹣6，0），依照菱形性質(zhì)，點P必是直線x＝﹣3與拋物線y＝﹣x2﹣x﹣4交點，∴當x＝﹣3時，y＝﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4＝4，∴在拋物線上存在一點P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．四邊形BPOH不能成為正方形，因為假如四邊形BPOH為正方形，點P坐標只能是（﹣3，3），但這一點不在拋物線上．14．【解答】（1）證實：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．（2）解：GE＝BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠ECD+∠ECB＝∠ECD+∠FCD．即∠ECF＝∠BCD＝90°．又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG＝GF．∴GE＝DF+GD＝BE+GD．（3）解：過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCG為正方形．∴AG＝BC＝12．已知∠DCE＝45°，依照（1）（2）可知，ED＝BE+DG，設(shè)DE＝x，則DG＝x﹣4，∴AD＝AG﹣DG＝16﹣x，AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8．在Rt△AED中∵DE2＝AD2+AE2，即x2＝（16﹣x）2+82解得：x＝10．∴DE＝10．15．【解答】解：（1）依題意，拋物線對稱軸為x＝﹣2，∵拋物線與x軸一個交點為A（﹣1，0），∴由拋物線對稱性，可得拋物線與x軸另一個交點B坐標為（﹣3，0）．（2）∵拋物線y＝ax2+4ax+t與x軸一個交點為A（﹣1，0）∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t＝0∴t＝3a∴y＝ax2+4ax+3a∴D（0，3a）∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線y＝ax2+4ax+3a上，∵C（﹣4，3a）∴AB＝2，CD＝4∵梯形ABCD面積為9∴（AB+CD）?OD＝9∴（2+4）?|3a|＝9∴a＝±1∴所求拋物線解析式為y＝x2+4x+3或y＝﹣x2﹣4x﹣3．（3）設(shè)點E坐標為（x0，y0），依題意，x0＜0，y0＞0，且∴y0＝﹣x0①設(shè)點E在拋物線y＝x2+4x+3上，∴y0＝x02+4x0+3解方程組得，∵點E與點A在對稱軸x＝﹣2同側(cè)∴點E坐標為（，）．設(shè)在拋物線對稱軸x＝﹣2上存在一點P，使△APE周長最小．∵AE長為定值，∴要使△APE周長最小，只須PA+PE最小∴點A關(guān)于對稱軸x＝﹣2對稱點是B（﹣3，0）∴由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x＝﹣2交點設(shè)過點E、B直線解析式為y＝mx+n∴，解得∴直線BE解析式為y＝x+∴把x＝﹣2代入上式，得y＝∴點P坐標為（﹣2，）②設(shè)點E在拋物線y＝﹣x2﹣4x﹣3上∴y0＝﹣x02﹣4x0﹣3，解方程組消去y0，得∴△＜0∴此方程組無實數(shù)根．綜上，在拋物線對稱軸上存在點P（﹣2，），使△APE周長最?。?6．【解答】解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H；∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2，∴OB＝4，OA＝2；由折疊性質(zhì)知：∠COB＝30°，OC＝AO＝2，∴∠COH＝60°，OH＝，CH＝3；∴C點坐標為（，3）．（2）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C（，3）、A（2，0）兩點，∴，解得；∴此拋物線函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x2+2x．（3）存在．∵y＝﹣x2+2x頂點坐標為（，3），即為點C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN＝t；∵∠BOA＝30°，∴ON＝t，∴P（t，t）；作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E；把x＝t代入y＝﹣x2+2x，得y＝﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD，即3﹣（﹣3t2+6t）＝t﹣1，解得t＝，t＝1（舍去），∴P點坐標為（，），∴存在滿足條件P點，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點坐標為（，）．17．【解答】解：（1），（2分）（2）﹣x2+2x，1，，（6分）（3）設(shè)AB長為xm，那么AD為，（7分）S＝x?＝﹣，（8分）當x＝時，S最大．（9分）18．【解答】解：（1）3，A1（﹣2，4），B1（0，3）；（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x軸于H，∵B'，B橫坐標相等，∴B'B⊥x軸，∴四邊形CHBG為矩形．∵C（2，1），B（3，0）∴CG＝1，∴G（3，1），∴GB＝1，∴CG＝CH＝1，∴矩形CHBG為正方形．∴∠HCG＝90度．∵∠