蘭州二十七中2021—2022學(xué)年度高三第一次月考數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)，則復(fù)數(shù)QUOTE的共軛復(fù)數(shù)QUOTE（）A． B． C． D．3.已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.4.函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A.和 B.和2 C.和 D.和25.()A．B．C． D．6．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.0.6B.0.8 7.在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則()A．B．C．D．8.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有()A．120種B．90種C．60種 D．30種9．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C． D．10.某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A．B．C．D．11.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,,若以為直徑的圓過點(diǎn),則的方程為（）A．或B．或C．或D．或12.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則=()A．B．C．1 D．二填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為____________．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為______．已知的展開式中的系數(shù)為5，則＝______16.設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為三、解答題：17.（10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.18.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求角；（2）若，，求的面積.19．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面ABC,，（1）證明：；（2）求直線EF與平面所成角的余弦值20.（12分）某超市為預(yù)估2021年十一期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對(duì)2020年十二期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.購買金額（元）人數(shù)101520152010（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).不少于60元少于60元合計(jì)男40女18合計(jì)（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購買80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)（元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.00521．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)作與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線，且直線與橢圓分別交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．22.（12分）)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R)．(1)判斷曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與曲線y＝g(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：1．C2．B3．A4、C5、A6．B7.A8.C9．D10.C11.B12.D二、填空題13、14..15－116.三、解答題：17.(10分)18.(12分)解：（1）由應(yīng)用正弦定理得，， 即 ， 整理得，， 于是， 又，所以，． （2），，由余弦定理，得即，則．于是．19．(12分)解方法一：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC．又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥（2）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點(diǎn)，故，所以．因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E–xyz．不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ．由（1）可得．設(shè)平面A1BC的法向量為n，由，得，取n，故，因此，直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為．20.(12分)【解析】（1）列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元合計(jì)男124052女182038合計(jì)306090，因此有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).（2）可能取值為65，70，75，80，且.，，，，所以的分布列為65707580.21．（12分）解（1）由題得，，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）由題可知，直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以．由（1）知，橢圓的方程為，所以，，所以，從而，所以直線的方程為，即．聯(lián)立方程，解得或．設(shè)，，不妨取，，所以當(dāng)，；當(dāng)，，所以，．．設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，所以．22.（12分）解(1)f′(x)＝lnx＋1，所以切線斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋ax－2，,y＝x－1))?x2＋(1－a)x＋1＝0.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：當(dāng)Δ＞0時(shí)，即a＜－1或a＞3時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，即a＝－1或a＝3時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，即－1＜a＜3時(shí)，沒有公共點(diǎn)．(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xlnx，由y＝0，得a＝x＋eq\f(2,x)＋lnx.令h(x)＝x＋eq\f(2,x)＋lnx，則h′(x)＝eq\f((x－1)(x＋2),x2).當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))時(shí)，由h′(x)＝0，得x＝1.所以，h(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增，因此，hmin(x)＝h(1)＝3.由heq\b\lc