正定中學(xué)2013屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)理試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，則=()A．0 B．l C．2 D．3命題“有的三角形是等腰三角形”的否定為()A．存在一個(gè)三角形不是等腰三角形B．所有的三角形不都是等腰三角形C．任意的三角形都不是等腰三角形D．有的三角形可能是等腰三角形執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A．－3B．－C．D．2設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若則的值為（）A．B．C．3D．2已知向量=()A．B．C．5D．25右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A．B．C． D．從8名女生，4名男生選出6名學(xué)生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法種數(shù)（）A．B．C．D．已知且則=（）A． B. C. D．已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則△的內(nèi)切圓與軸切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A．－2B．2C．－2或2D．不能確定的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn),在的同一側(cè)，與所成的角分別是和，若，，則與所成的角為()A．

B．

C．

D．若直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，則（）A．B．C．D．設(shè)函數(shù)的定義域是，其圖象如圖，那么不等式的解集為()A．B．C．D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．由曲線(xiàn)與圍成的封閉圖形的面積為。某種商品的廣告費(fèi)支出與銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，得出與的線(xiàn)性回歸方程為，則表中的的值為。2456830405070已知點(diǎn)Q（0，2）及拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P（），則的最小值是。對(duì)大于或等于2的正整數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，若的分解中最小的數(shù)是91，則m的值為。三、解答題（本題10分）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,已知。（I）求.（II）若，求的面積。（本題12分）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性。（I）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女合計(jì)（II）將日均收看該體育項(xiàng)目不低于50分鐘的觀眾稱(chēng)為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率。附：（本題12分）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，.（I）求的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（本題12分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連結(jié)AP交棱CC1于點(diǎn)D.（I）求證：PB1∥平面BDA1；（II）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．（本題12分）橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為．不過(guò)原點(diǎn)O的且斜率為的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)。（I）求橢圓C的方程；（II）求ABP的面積取最大時(shí)直線(xiàn)l的方程．（本題12分）已知函數(shù)為常數(shù)．（I）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（II）若在區(qū)間（0，e］上的最大值為，求a的值；（III）當(dāng)時(shí)，試推斷方程是否有實(shí)數(shù)解。

高三（理）月考數(shù)學(xué)答案選擇題：1－12、CCDACCAACCDC；填空題：13、；14、60；15、2；16、10；解答題17.解：（I）由，得…………1分于是由題設(shè)知……①……4分由及正弦定理得……②由①，②得，于是（舍）或，又由知，所以C為銳角，所以……6分（II）因?yàn)椋?，由余弦定理，得…?分因?yàn)?，所以△ABC是以A為直角的直角三角形，其面積為?！?0分18.解：（I）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”為25人，從而完成2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100……3分將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得，因?yàn)?.030＜3.841，所以我們沒(méi)有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)。……6分（II）由頻率分布直方圖可知，“超級(jí)體育迷”為5人，其中有女性2人，所以從中抽取2人，其中至少有一名女性的概率為。（或者）……12分19.解：（I）在中，令?！?分（II）∵，相減得：，∴，相減得：，又解得，∴,得，…8分，得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴……12分20.解：(I)證明：連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD.∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P，∴AD＝PD，又AO＝B1O，∴OD∥PB1.又OD?平面BDA1，PB1?平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1.……12分(2)過(guò)A作AE⊥DA1于點(diǎn)E，連結(jié)BE.∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂線(xiàn)定理可知BE⊥DA1.∴∠BEA為二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，A1D＝，又S△AA1D＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),2)×AE，∴AE＝eq\f(2\r(5),5).在Rt△BAE中，BE＝，∴cos∠BEA＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,3).故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為eq\f(2,3).……12分解法二：如圖2，以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1－xyz，則A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．(1)在△PAA1中有C1D＝eq\f(1,2)AA1，即，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝，eq\o(B1P,\s\up6(→))＝(－1,2,0)．設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為＝(a，b，c)，則由，得，令c＝－1，得.∵·eq\o(B1P,\s\up6(→))＝1×(－1)＋eq\f(1,2)×2＋(－1)×0＝0，∴PB1∥平面BDA1，……6分(2)由(1)知，平面BA1D的一個(gè)法向量.又＝(1,0,0)為平面AA1D的一個(gè)法向量，∴cos〈，〉＝＝eq\f(1,1×\f(3,2))＝eq\f(2,3).故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為eq\f(2,3).……12分21.解：（I）由題：；……①左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：．……②由①②可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．……4分(Ⅱ)．設(shè)，直線(xiàn)AB的方程為l：，代入橢圓：，得由，得﹣＜m＜且m≠0．由韋達(dá)定理得：＝m，＝．∴?！?分設(shè)點(diǎn)P直線(xiàn)AB的距離為d，則，∴，其中?！?0分令，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值。綜上所述，所求直線(xiàn)的方程為?！?2分22.解：（I）當(dāng)時(shí)，，。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，……3分（II）∵，若，則在上是增函數(shù)，所以，不合題意，……5分若，則由，得，由，得，所以在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以令，得，因?yàn)?，所以為所求…?分（III）由（I）知，當(dāng)時(shí)，，所以。又令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即方程