因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域一、函數(shù)概念自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,

對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.四、反函數(shù)DWDW

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例1解單值函數(shù),有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù),五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)練習(xí)題練習(xí)題答案一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)第二節(jié)初等函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)4.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5.反三角函數(shù)

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)定義:注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式2.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),奇函數(shù),思考題思考題解答不能．一、填空題:練習(xí)題練習(xí)題答案“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——劉徽一、概念的引入第三節(jié)數(shù)列的極限正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義例如注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)播放三、數(shù)列的極限問題:當(dāng)無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中極限定義的辨析：例1證所以,例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).例3證例4證四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.2.唯一性定理2每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.作業(yè)習(xí)題一1,2,3,4播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第四節(jié)函數(shù)的極限通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.2.另兩種情形:3.幾何解釋:例1證二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限2.幾何解釋:注意：例2證例3證例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.例5證3.單側(cè)極限:例如,左極限右極限左右極限存在但不相等,例6證例7證三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性定理推論3.保號性4.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理)定理證例如,四、小結(jié)思考題思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.一、填空題:練習(xí)題練習(xí)題答案1.定義:定義1

如果對于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小),總存在正數(shù)d(或正數(shù)X),使得對于適合不等式d<-<00xx(或>xX)的一切x,對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式

e<)(xf,那末

稱函數(shù))(xf當(dāng)0xx(或x)時為無窮小,記作

).0)(lim(0)(lim0==xfxfxxx或極限為零的變量稱為無窮小.第五節(jié)無窮小與無窮大例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.不是無窮大．無界，證三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.四、小結(jié)幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.作業(yè)：習(xí)題1-5：1，4，

5，7思考題思考題解答不能保證.例有一、填空題:練習(xí)題練習(xí)題答案一、極限運算法則定理證由無窮小運算法則,得第六節(jié)極限的運算法則推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，證定理二、求極限方法舉例例1解小結(jié):解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2解例3(消去零因子法)例4解小結(jié):例5解先變形再求極限.例6解例7解左右極限存在且相等,三、小結(jié)1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮大之比求極限法;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.作業(yè)：習(xí)題1-61(2)(4)(6)(8)(10)(12)(14),2(2),3思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤．一、填空題:練習(xí)題二、求下列各極限:練習(xí)題答案一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則證第七節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限上兩式同時成立,上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限注意:準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則I'稱為夾逼準(zhǔn)則.例1解由夾逼定理得2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:例2證(舍去)二、兩個重要極限(1)例3解(2)例4解例5解三、小結(jié)1.兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.作業(yè):習(xí)題1-71(2)(3)(5)(6),2(2)(4),4(2)(3)一、填空題:練習(xí)題二、求下列各極限:練習(xí)題答案第八節(jié)無窮小的比較

一、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:例1解例2解常用等價無窮小:例如,二、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意例4解解錯例5解三、小結(jié)1.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.練習(xí)題練習(xí)題答案1.函數(shù)的增量

第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點2.連續(xù)的定義例1證由定義2知3.單側(cè)連續(xù)定理例2解右連續(xù)但不左連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例3證二、函數(shù)的間斷點1.跳躍間斷點例4解2.可去間斷點例5解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點3.第二類間斷點例6解例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★★在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★判斷下列間斷點類型:例8解三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx思考題思考題解答且但反之不成立.例但練習(xí)題練習(xí)題答案一函數(shù)和差積商的連續(xù)性定理1例如,第十節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).證定理定理3極限符號可以與函數(shù)符號互換例1解例2解同理可得定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.1.初等函數(shù)僅在其定義