向量理論第三章第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，一維向量的概念第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例如n維實(shí)向量n維復(fù)向量第1個分量第n個分量第2個分量第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二注意

3．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２．向量和矩陣之間的關(guān)系

當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量.

1．向量的分量之間是有先后順序的。第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二令

表示一切n維實(shí)向量組成的集合。若是n維實(shí)向量，則可簡記,如果沒有特別的說明，我們指的都是實(shí)向量。第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一些特殊的向量：第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二n維0向量：注：維數(shù)不同的零向量是不同的向量n階單位矩陣的n個列向量分別記為：稱為n維基本向量第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二二n維向量的線性運(yùn)算定義1第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二注：設(shè)n維向量的對應(yīng)分量相等，即稱這兩個量是相等的，即注：1與要么都是行向量，要么都是列向量。

2與的維數(shù)應(yīng)相同。第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例1(1)求，的負(fù)向量(2)計算第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

１線性組合定義１:三向量組的線性相關(guān)性第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

對于給定的向量組A:1,2,

…,m

和向量b,如果存在一組數(shù)

k1,k2,…,km使關(guān)系式則稱向量b是向量組1,2,

…,m的線性組合,或稱向量b可以由向量組1,2,

…,m線性表示.第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二比如說：為n維基本向量結(jié)論：任何n維向量都是n維基本向量的線性組合第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二設(shè)有向量稱b是的線性組合.或b可以由線性表示.例如：第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二２向量組的線性相關(guān)性定義２對于向量組A:1,2,…,m,成立,則稱向量組1,2,…,m線性相關(guān).如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使關(guān)系式反之則稱向量組1,2,…,m線性無關(guān).第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二成立,即只有當(dāng)

k1=k2=

…=km=0時,才有成立,則稱向量組1,2,…,m線性無關(guān).如果沒有不全為零的k1,k2,…,km,使第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例1：設(shè)有向量則稱向量組線性相關(guān)例2：則由，得線性無關(guān)。注：n維基本向量線性無關(guān)第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二向量組中的一個部分組線性相關(guān)，則向量組線性相關(guān)，若一個向量組線性無關(guān)，則其中任何一個部分組線性無關(guān)第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二討論x1,x2,…,xm的情況.

如果解得x1,x2,…,xm不全為零,則1,2,…,m線性相關(guān);

如果推出x1=x2=

…=xm=0,則1,2,…,m線性無關(guān).第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

例3

討論的線性相關(guān)性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

向量組線性相關(guān)的充分必要條件為：其中至少有一個向量是其余向量的線性組合（可作為線性相關(guān)性的判定）

定理1３線性相關(guān)與線性組合之間的關(guān)系第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

向量組線性相關(guān),但線性無關(guān)，則向量可由向量組唯一地線性表示。定理2第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例4：討論向量組，的線性相關(guān)性。解：設(shè)有實(shí)數(shù)使即系數(shù)行列式故方程組有非零解。如取有，所以線性相關(guān)。第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例5：設(shè)向量組線性無關(guān)，試證向量組也線性無關(guān)。證明：設(shè)即因?yàn)榫€性無關(guān)系數(shù)行列式為2，故方程組只有零解，故得證第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例6

設(shè)有向量組為

取何值時，該向量組線性相關(guān)。第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第三節(jié)向量組的秩問:其中線性無關(guān)的部分組最多可以包含多少個向量?第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定義1

若向量組中的每一個向量都可以由向量組線性表示,則稱向量組可由向量組線性表示，若向量組和可以互相線性表示，則稱兩個向量組等價一、等價的向量組第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二向量組可由線性表示第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二向量組可由線性表示等價于存在的矩陣使若向量組和等價第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二等價向量組的性質(zhì)：1：自反性：一個向量組與其自身等價2：對稱性：若向量組和等價，則向量組和等價。3：傳遞性：若向量組和等價，向量組和等價，則向量組和等價。第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定理1設(shè)中的兩個向量組和若向量組可由線性表示，且，則向量組線性相關(guān)少的表示多的，多的一定線性相關(guān)注：，不能相等，時，結(jié)論不一定成立第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定理1的逆否命題：推論1：若向量組可由向量組

線性表示，又已知

線性無關(guān)，則必有推論2：兩個線性無關(guān)的向量組互相等價，則它們所含的向量個數(shù)相等注：若只是等價的向量組，它們所含的向量個數(shù)未必相等第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二極大線性無關(guān)組等價定義二極大線性無關(guān)組第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二1.一個向量組的極大線性無關(guān)組可能不唯一2.

向量組和其極大線性無關(guān)組等價(一個向量組的任何兩個極大線性無關(guān)組都等價)3.

一個向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)唯一確定。注:第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定義3

一個向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)稱為向量組的秩。線性無關(guān)的向量組的秩等于向量組的向量的個數(shù)第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例1：設(shè)n維基本向量組可由向量組

線性表示。證明線性無關(guān)第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二三向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理2矩陣A的行初等變換不改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例2:第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二等于它的行向量組的秩.

定理3

矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也求向量組的最大無關(guān)組的步驟:第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例3：設(shè)有向量組(1)求向量組的秩，并討論它的線性相關(guān)性。(2)求向量組的一個極大線性無關(guān)組。(3)把其余向量表示成為該極大線性無關(guān)組的線性組合第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二解：取(1)向量組即為A的列向量R(A)=2,所以向量組的秩為2。(2)為向量組的一個極大線性無關(guān)組(3)第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二推論：設(shè)A為矩陣，秩，則有:(1)當(dāng)r=m時，A的行向量組線性無關(guān);當(dāng)r<m時，

A的行向量組線性相關(guān)(2)當(dāng)r=n時，A的列向量組線性無關(guān);當(dāng)r<n時，

A的列向量組線性相關(guān)。

當(dāng)A為n階方陣時，即當(dāng)m=n時，A的列(行)向量組線性無關(guān)的充要條件是由矩陣的秩和它的向量組的秩的關(guān)系，我們立刻會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：第四十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第四節(jié)向量空間一、向量空間的定義定義1

設(shè)V

為n

維向量的集合,如果集合V非空,且那么就稱集合V

為向量空間.則a+bV;若a

V,R,則aV.若a

V,bV,第四十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二

例１集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}是一個向量空間.例２集合V={x=(1,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}不是向量空間.第四十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b則有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.這個向量空間稱為由向量a,b

所生成的向量空間.是一個向量空間.因?yàn)槿舻谖迨?，共五十四頁，編輯?023年，星期二由向量組a1,a2,...,am

所生成的向量空間一般形式為L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.例3

設(shè)向量組a1,...,am與向量組b1,...,bs等價,記L1={x=1a1+2a2+...+mam

|1,...,

mR},L2={x=1b1+2b2+...+sbs

|1,...,

sR},試證L1=L2.第五十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二二、向量空間的基向量空間的維數(shù)定義2

設(shè)有向量空間V1

及V2,若V1V2,

總有

VRn,所以這樣的向量空間總是Rn

的子空間.

例如任何由n