有界磁場(chǎng)區(qū)域面積、寬度、半徑計(jì)算

●例1

如圖4－12甲所示，質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為v0．現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求(1)熒光屏上光斑的長(zhǎng)度．(2)所加磁場(chǎng)范圍的最小面積．圖4－12甲一、磁場(chǎng)范圍為圓形【解析】(1)如圖4－12乙所示，要求光斑的長(zhǎng)度，只要找到兩個(gè)邊界點(diǎn)即可．初速度沿x軸正方向的電子沿弧OA運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)；初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的Q點(diǎn)．設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R

，由牛頓第二定律得：

ev0B＝m，即R＝由幾何知識(shí)可得：PQ＝R＝．圖4－12乙

(2)取與x軸正方向成θ角的方向射入的電子為研究對(duì)象，其射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：

x＝－Rsinθ

y＝R＋Rcosθ即x2＋(y－R)2＝R2又因?yàn)殡娮友豿軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)；沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，故所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以(0，R)為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖乙中實(shí)線(xiàn)圓弧所圍區(qū)域，所以磁場(chǎng)范圍的最小面積為：

S＝πR2＋R2－πR2＝(＋1)()2．

[答案]

(1)

(2)(＋1)()2

【點(diǎn)評(píng)】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的試題基本上是年年考，大概為了求新求變，在2009年高考中海南物理卷(第16題)、浙江理綜卷(第25題)中都出現(xiàn)了應(yīng)用這一推論的題型．

★同類(lèi)拓展

如圖4－13甲所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形．質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域．在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)．電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)．不計(jì)重力，求：(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小．(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．[2009年高考·海南物理卷]圖4－13甲

【解析】(1)若要使由C點(diǎn)入射的電子從A點(diǎn)射出，則在C處必須有磁場(chǎng)，設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，令圓弧是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道，電子所受到的磁場(chǎng)的作用力f＝ev0B，方向應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外．圓弧的圓心在CB邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)上．依題意，圓心在A、C連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a．按照牛頓定律有：

f＝m聯(lián)立解得：B＝OR

(2)由(1)中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其他點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中，因而，圓弧是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界．為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界,我們來(lái)考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交角為θ(不妨設(shè)0≤θ＜)的情形．該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡QPA如圖4－13乙所示．圖中，圓弧的圓心為O，PQ垂直于BC邊，由上式知,圓弧的半徑仍為a．過(guò)P點(diǎn)作DC的垂線(xiàn)交DC于G，由幾何關(guān)系可知∠DPG＝θ，在以D為原點(diǎn)、DC為x軸、DA為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)為：

x＝asinθ，y＝acosθ即這意味著，在范圍0≤θ≤內(nèi)，P點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周,它是電子做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線(xiàn)，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界．因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周和所圍成的，其面積為：

[答案](1)方向垂直于紙面向外

(2)圖4－13乙例2

在xoy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電量為e），從坐標(biāo)O不斷以相同速率?0沿不同方向射入第一象限，如圖7所示。現(xiàn)加一個(gè)垂直于xoy平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖8所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓O1和圓O2為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓O2在ｘ軸上方1/4個(gè)的圓弧odb就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線(xiàn)必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1OmO2。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)知電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)?？勺C明，磁場(chǎng)下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線(xiàn)（圖中虛線(xiàn)O1O2）向上平移一段長(zhǎng)度為的距離即圖9中的弧ocb就是這些圓的最高點(diǎn)的連線(xiàn)，即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場(chǎng)區(qū)域面積：

還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場(chǎng)的下邊界。設(shè)某電子的速度V0與x軸夾角為θ，若離開(kāi)磁場(chǎng)速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），從圖10中看出，，即（x＞0，y＞0），這是個(gè)圓方程，圓心在（0，R）處，圓的1/4圓弧部分即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。

點(diǎn)評(píng)：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)生通過(guò)分析確定磁場(chǎng)的形狀和范圍，磁場(chǎng)下邊界的處理對(duì)學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力和分析能力要求較高。由以上題目分析可知，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和運(yùn)動(dòng)形式，扣住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界點(diǎn)，應(yīng)用幾何知識(shí)，找出運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的部分軌跡，確定半徑，再用題目中規(guī)定形狀的最小磁場(chǎng)覆蓋粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和相應(yīng)物理規(guī)律分析解出所求的最小面積即可。

例3．(12分)如圖甲所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于坐標(biāo)平面向內(nèi)的有界圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域(圖中未畫(huà)出)；在第二象限內(nèi)存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一粒子源固定在x軸上的A點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－L,0)．粒子源沿y軸正方向釋放出速度大小為v的電子，電子恰好能通過(guò)y軸上的C點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2L)，電子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好垂直通過(guò)第一象限內(nèi)與x軸正方向成15°角的射線(xiàn)ON(已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用)．求：

甲

(1)第二象限內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小．

(2)電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向的夾角θ．

(3)圓形磁場(chǎng)的最小半徑Rm．

【解析】(1)從A到C的過(guò)程中,電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有：

L＝t2

(1分)

2L＝vt

(1分)聯(lián)立解得：E＝．(1分)

(2)設(shè)電子到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為vC，方向與y軸正方向的夾角為θ．由動(dòng)能定理，有：

mvC2－mv2＝eEL

(2分)解得：vC＝v

cosθ＝(1分)

解得：θ＝45°．(1分)

(3)電子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖乙所示，電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝(1分)

電子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)120°后垂直于ON射出，則磁場(chǎng)最小半徑為：Rm＝＝rsin60°

(2分)

由以上兩式可得：Rm＝．(1分)

[答案](1)

(2)45°

(3)例、4如圖，帶電質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox

軸的速度v

從y

軸上的a

點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x

軸上的b

點(diǎn)以垂直于Ox

軸的速度v

射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。yOaxbv02RBOrrMN解：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r=mv/Bq。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是1/4圓周，如圖中M、N兩點(diǎn)間的圓弧。在通過(guò)M、N兩點(diǎn)的不同的圓中，最小的一個(gè)是以MN

連線(xiàn)為直徑的圓周。圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑qBmvMNR221==

如圖所示，一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面，在xy平面上磁場(chǎng)分布在以O(shè)為圓心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，一個(gè)質(zhì)量是m，帶電量是q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速度為v，方向沿x軸正方向，后來(lái)經(jīng)過(guò)y軸上的p點(diǎn)，此時(shí)速度方向和y軸夾角為30o，p到O點(diǎn)的距離是L，不計(jì)重力，求B的大小例5yxv30oOvLMNrrP解：做兩條速度的延長(zhǎng)線(xiàn)交于M點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)做角平分線(xiàn)交y軸N點(diǎn)，以N為圓心以r為半徑做圓，切于兩速度線(xiàn)，切點(diǎn)分別為O、P根據(jù)幾何關(guān)系：質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)半徑：由上式解得：yxv30oOvLMNrrP3．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域,不計(jì)重力,不計(jì)粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個(gè)圖是正確的?MNBOA2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域,由R=mv/qB,各個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均相同,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線(xiàn)示:各粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖實(shí)線(xiàn)示:帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域陰影部分如圖斜線(xiàn)示2RR2RMNO

例6一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以速度?0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感強(qiáng)度為B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從b處穿過(guò)x軸，速度方向與x軸正向夾角為30°，如圖1所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（3）b點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由Ｏ點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到b點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。可知，其離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的臨界點(diǎn)與Ｏ點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2，過(guò)b點(diǎn)逆著速度?0的方向作虛線(xiàn)，與y軸相交，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于x軸上，距O點(diǎn)距離和到虛線(xiàn)上a點(diǎn)垂直距離相等的o1點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，圓的半徑。由,得。弦長(zhǎng)oa為：，要使圓形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為L(zhǎng)的一半，即：，面積（2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為1200，時(shí)間（3）ob距離故B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線(xiàn)的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng)。二、磁場(chǎng)范圍為三角形例3如圖5，一個(gè)質(zhì)量為m，帶+q電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度?垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)（CM＝CN）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求：（1）粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌道半徑ｒ及周期T；（2）該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)；

（2）由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場(chǎng)中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線(xiàn)方向并垂直于半徑，如圖6作出圓O，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧GDEF，圓弧在Ｇ點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫(huà)出三角形abc，其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切，并與圓Ｏ交于F、G兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場(chǎng)區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知∠FOG＝600，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間解析：（1）由和得（3）連接a0并延長(zhǎng)與bc交與Ｈ點(diǎn)，由圖可知

點(diǎn)評(píng)：這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交后根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識(shí)才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長(zhǎng)時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場(chǎng)的內(nèi)切圓。30°OPAv0變式：如圖，傾角30o的斜面OA的左側(cè)有一豎直檔板，其上有小孔P，質(zhì)量m=4×10－20kg，帶電量q=+2×10－14C的粒子，從小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T、方向垂直紙面向里的一正三角形區(qū)域。該粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不碰及豎直檔板，且在飛出磁場(chǎng)區(qū)域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計(jì)。求：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小邊長(zhǎng)。abco160°egf解：（1）由得：30°OPAv0abco160°egf（2）畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，可知（3）由數(shù)學(xué)知識(shí)可得：

得：變式：一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場(chǎng)后沿BC射出，求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。最小面積解：根據(jù)牛頓第二定律：畫(huà)出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：由圖示知（2012年陜西寶雞第一次質(zhì)檢）

（18分）如圖所示，k是產(chǎn)生帶電粒子的裝置，從其小孔a水平向左射出比荷為1.0×l03C/kg的不同速率的帶電粒子，帶電粒子的重力忽略不計(jì)．Q是速度選擇器，其內(nèi)有垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為3.0×l0-3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)（電場(chǎng)線(xiàn)未畫(huà)出）．（