2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1

1.如圖，拋物線夕=。/+云的對稱軸為y軸，且經(jīng)過點（聲，P為拋物線上一點，A

9

3

（0,—

2

（1）求拋物線解析式；

（2）。為直線4P上一點，且滿足40=24P.當(dāng)尸運(yùn)動時，。在某個函數(shù)圖象上運(yùn)動，

試寫出。點所在函數(shù)的解析式；

（3）如圖2,以以為半徑作。P與x軸分別交于M（xi,0）,N（必0）（xi<X2）兩點,

當(dāng)為等腰三角形時，求點尸的橫坐標(biāo).

解：（1）拋物線的對稱軸為夕軸，則6=0,

11

將點（VH,代入尸=公2并解得：4=耳，

故拋物線的表達(dá)式為：），=#:

1

（2）設(shè)點0的坐標(biāo)為（x,y）,點P（w,記之），

①當(dāng)點。在點P下方時（點。位置），

'：AQ=2APf

二尸為力。的中點,

0

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整理得：y=^x2-1-；

②當(dāng)點。在點尸上方時(點。'位置)，

同理可得：y=--1x2+1；

。點所在函數(shù)的解析式為：尸某一方或尸一算+?；

(3)過點。作尸軸于點”，設(shè)點尸(加，1加2),

MH=NH=VP/V2-PH2=j1m4+1-（1m2）2=|,則MV=3,

QQ

設(shè)點〃（加一會0）,則N（"?+當(dāng)0）,

AM1—(,m—2+AN2—(m+1)2+pMN2=9,

①當(dāng)用0=/N時，

QQQQ

22

AM2={m—5)+7=(M+5)4-7,解得：加=0；

②當(dāng)/M=MV時，

同理可得：w=主非(負(fù)值已舍去)；

③當(dāng)AN=MN時，

同理可得：機(jī)=嗎3(負(fù)值已舍去)；

3V3+33V3-3

故點P的橫坐標(biāo)為：0或」y一或苛一.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形/8C。為正方形，已知點4(-6,0)、0(-7,3),

點8、C在第二象限內(nèi).

(1)點8的坐標(biāo)(-3,1)

(2)將正方形/8。以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移，秒，若存在某一時刻f,

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使在第一象限內(nèi)點8、。兩點的對應(yīng)點夕、D'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求

出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的情況下，問是否存在y軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點。,使得以

P、。、夕、D'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的

解：（1）過點8、。分別作軸、。匠，x軸交于點E、F,

%

:NDAF+NBAE=9Q°,NDAF+NFDA=9。。,:.NFDA=NBAE,

又NDFA=NAEB=90°,AD=AB,

:.4DE4咨AAEB(AAS),

：.DF=AE=3,BE=AF=1,

.?.點8坐標(biāo)為(-3,1),

故答案為(-3,1)；

(2)f秒后，點。'(-7+2/,3)、B'(-3+2/,1),

則%=(-7+2r)X3=(-3+2/)XI,

a

解得：t=2.則左=6,

則點。'(2,3)、B'(6,1)；

(3)存在，理由：

設(shè)：點0Cm,〃)，點尸(0,s),mn=6,

①當(dāng)8。為平行四邊形一條邊時，圖示平行四邊形"D'QP,

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點B'向左平移4個單位、向上平移2個單位得到點。'，

同理點。(加，〃)向左平移4個單位、向上平移2個單位為(川-4,”+2)得到點P(0,

s'),

即：m-4=0,n+2=s,mn=6,

解得：m—4,"=&，5=：，

37

故點Q(4,])、點尸(0,-)；

②當(dāng)8。為平行四邊形對角線時，圖示平行四邊形。'Q'B'P',

"、D'中點坐標(biāo)為(4,2),

該中點也是P'Q'的中點，

即：4=緊—=2,機(jī)"7=6,

解得：加=8,〃=*,s=竽，

313

故點0(8,7)、P(0,—)；

44

33713

故點。的坐標(biāo)為：。(4,-)或(8,了)，點P的坐標(biāo)為尸(0,-)(0,—).

2424

3.如圖，直線y=-x+4與x軸交于點與y軸交于點8.拋物線產(chǎn)-#+bx+c經(jīng)過4,

8兩點，與x軸的另外一個交點為C

(1)填空：b=1,c=4,點C的坐標(biāo)為(-2,0).

(2)如圖1,若點尸是第一象限拋物線上的點，連接OP交直線N8于點。，設(shè)點尸的

橫坐標(biāo)為mP。與。。的比值為“求y與切的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并求出尸。與0。的比值

的最大值.

(3)如圖2,若點尸是第四象限的拋物線上的一點.連接P8與/P,當(dāng)NPBA+NCBO

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解：(1)???直線歹=-x+4與x軸交于點4與y軸交于點8.

：.A(4,0),B(0,4).

又.??拋物線過8(0,4)

.??c=4.

把4(4,0)代入y=--^x2+bx+4得,

0=-1X42+4/>+4,解得，b=l.

拋物線解析式為，夕=-#+，葉4.

令―#+戶4=0,

解得，x=-2或X=4.

：.C(-2,0).

(2)如圖1,

分別過。、2作PE、0。垂直于入軸交x軸于點E、D.

I

設(shè)尸(〃?，一2〃尸+加+4),Q(小-〃+4),

則PE=-2勿/+〃?+4,QD=-〃+4.

PQm-n

乂?—OQ=--n---=y'.

?m

??77=??

y+1

ePEOE口『,一如2+M+4M

又:一=—,即二--------=-

QDOD一九+4n

把〃一2^代入上式得，

y+1

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2

-1m4-m4-4m

-------F4----

y+1y+1

整理得，4y=—%?2+2〃?.

???y=-g1W24.-1那.

0-G）21

ymax=--<-=亍

4AX（-1）2

即PQ與OQ的比值的最大值為;.

（3）如圖2,

圖2

,/AOBA=NOBP+NPBA=45°

NPBA+NCBO=45°

：?/OBP=/CBO

此時尸3過點（2,0）.

設(shè)直線P8解析式為，y=kx+4.

把點（2,0）代入上式得，0=2左+4.

解得，上=-2

?,?直線PB解析式為，y=-2x+4.

令-2x+4=—#+x+4

整理得，^2-3X=0.

解得，x=0（舍去）或x=6.

當(dāng)x=6時，-2x+4=-2X6+4=-8

：.P（6,-8）.

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過P作PH±y軸于點H.

11

貝Ijs四邊形?！坝?*(OA+PH)-OH=^(4+6)X8=40.

S&OAB=^OA?O8=：X4X4=8.

11

S&BHP=^PH'BH=.X6X12=36.

:?S&PBA=S四邊形O///JI+SCO/B-SaB〃p=40+8-36=12.

4.在RtZXNBC中，ZACB=90°,0/平分N84c交8c于點O,以。為圓心，OC長為

半徑作圓交8c于點。.

（1）如圖1,求證：為。0的切線；

（2）如圖2,48與。0相切于點E,連接CE交。/于點凡

①試判斷線段。4與CE的關(guān)系，并說明理由.

②若OF：FC=1：2,0c=3,求tang的值.

解：（1）如圖，過點。作0G_L/8,垂足為G,

；OA平分ABAC交8C于點O,

：.OG=OC,

...點G在OO上，

即與。O相切;

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???/8與oo相切于點E,/C與00相切于點C,

：.AE=AC,

?：OE=OC,

??OA垂直平分CE；

②*：OF：FC=1：2,OC=3,

則R7=2OE在△OCF中，。產(chǎn)+(2OF)2=32,

解得：OF二半,則CF=等，

由①得：OA1.CE,

則/0。/+/。。尸=90°,又NOC尸+N/CF=90°,

：.ZCOF=ZACF,而NCFO=NZCO=90°,

：./\OCF^Z\OAC,

3V56V5

PCOFCF

OA~OC~AC'

解得：AC=6f

?.78與圓O切于點￡

；?NBEO=90°,AC=AE=6,而NB=NB,

:?△BEOS^BCA,

BEOEBO

設(shè)BE=y,

BC~AC~AB1

EV3X

則=-=——,

3+x6y+6

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可-r，得曰：值（6y=39y++31x8，

解得：即8。=5,BE=4,

.…0E3

??tan5=BE=4-

5.如圖，在Rtz\/8C中，NACB=90°,以斜邊上的中線CD為直徑作00,與