專題3.2基本不等式

一、考情分析

-［重要不等式］

-［基砒知識卜一（基本不等式］

基本不等式與最值］

H基本不等式1--［利用基本不等式求函數(shù)的最

-［變形技巧：“1”的代換［

T基本題型卜

-1忽視等號成立的條件而致誤1

基本不等式

-［利用基本不等式比較數(shù)的大，」口

（---------,T和定積最大j

H基地知識H;［

1------------1y7丁和最小］

—基本不等式的應(yīng)用一證明與最值問題卜L（字母輪換不等式的證法］

-［基本題型卜一］求參數(shù)的取值范國問題］

T均值不等式在實(shí)際問題中的加］

二、考點(diǎn)梳理

【基本不等式（或）均值不等式】

2

【基本不等式的變形與拓展】

1.（1）若a,/?￡R,則/+〃2之2出?；（2）若￡/?,則"十"（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取

一2

2.（1）若。>0力〉0,則巴心之至；（2）若。>0乃>0,則。+〃之2而（當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)

2

取"="）；

a=b

⑶若a>0fb>0,則ab<（審J（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取

3?若x>0,則x+，22（當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=〃）；若x<0,則x+,?—2（當(dāng)且僅當(dāng)工=一1

XX

時(shí)取"="）；若XHO,則x+222,即龍+,22或％+，4-2（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取

XXX

若ah>0,則且+222(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=")；若曲。0,則q+222,即

4.

hababa

或0+2K—2(當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)取

ba

5.一個(gè)重要的不等式鏈:

6.函數(shù)“力=依+々。>0力〉0)圖象及性質(zhì)

⑴函數(shù)/(x)=ax+—(4、6>0)圖象如右圖所示:

X

(2)函數(shù)/(x)=ox+—(a、b>0)性質(zhì):

x

①值域：(-oo,-2,+8卜

7.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求

它們的積的最小值,正所謂"積定和最小，和定積最大"；

(2)求最值的條件"一正，二定，三相等"；

⑶均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有

廣泛的應(yīng)用.

三、題型突破

(-)利用基本不等式求最值

2

例1.(1)若x>0,則尤+—的最小值為.

x

【答案】2拒

【解析]\-x>0^x+->2y[2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2nx=&時(shí)取等號.

XX

(2)、(2021?浙江?高二學(xué)業(yè)考試)已知正實(shí)數(shù)X、>滿足個(gè)=2,則x+y的最小值是()

A.B.2及C.2D.72

【答案】B

【分析】

利用基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】

由基本不等式可得x+y22而=20，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)，等號成立.

因此，X+N的最小值是2夜.

故選：B.

【變式訓(xùn)練-1】、(2022?浙江?高三專題練習(xí))已知X/0,則x+3的取值范圍是()

X

A.(-oo,-4]B.[4,+oo)

C.y,-4]U[4,+8)D.R

【答案】C

【分析】

分別討論x>0和x<0兩種情況，根據(jù)基本不等式，即可求得答案.

【詳解】

4I~44

當(dāng)x>0時(shí)，x+->2,x--=4,當(dāng)且僅當(dāng)》=一，即x=2時(shí)等號成立，

X\XX

4

所以x+-￡[4,+co),

X

當(dāng)X<0時(shí)，x+-=-+<-2=-4,

xL(-幻」V(一幻

4

當(dāng)且僅當(dāng)-x=即x=-2時(shí)，等號成立，

-X

4

所以X+-G(YO,-4].

X

綜上：x+3的取值范圍是(-?),-41U[4,+a)).

X

故選：C

【變式訓(xùn)練『2】、(2020?江蘇省黃橋中學(xué)高二月考)當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)y=4x+_\的最小

X-1

值為()

A.8B.7C.6D.5

【答案】A

【分析】

根據(jù)給定條件配湊，再利用均值不等式求解即得.

【詳解】

當(dāng)x>l時(shí)，y=4x+—=4(x-l)+—+4>2J4(x-l)--+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)

x-\x-\Vx-1

13

4(x-l)=——，即》=一時(shí)取

x-\2

31

所以當(dāng)x=A時(shí)，函數(shù)y=4x+」7的最小值為8.

2x-1

故選：A

例2.(1)、(2020?浙江省杭州第二中學(xué)高一期中)(多選題)《幾個(gè)原本》中的幾何代數(shù)法

研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)

公理成定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上

的點(diǎn)，且AC=a,BC=b,。為A8的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交

半圓于3,連接。。，AD,BD,過點(diǎn)C作。。的垂線，垂足為E,則該圖形可以完成的

無字證明有()

A.b>0）B.cT+b2>2ab[a>0,b>0）

C,9Nj（a>0，&>。）D,<z竽（。>0,占>0）

【答案】AC

【分析】

直接利用射影定理和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】

解：根據(jù)圖形，利用射影定理得：CD2=DEOD,^OD=^AB=^a+h）,

CD2=ACCB=ab,

2

nP_CD_ah

所以訪=正

2

由于OD.CD,

所以土也...

2

由于CD.QE,

rjrN而.?衛(wèi)2=一~^(。>。力>口)

所以a+h11

—?—

ah

故選：AC.

（2）.（2021?陜西省子洲中學(xué)高二開學(xué)考試（理））數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做

Proofswithoutwords,也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證

自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)

雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形AABC中，點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜邊

AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)=BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

oa+b\a~+b~A.八、

A.--->Q,b>0)丁氣~^~9>°力>。)

3^-<

C.>0,Z>>0)D.a2+b2>2>fab(a>0,b>0)

a+b

【答案】B

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別表示0C和CO,根據(jù)長度關(guān)系，判斷選項(xiàng).

【詳解】

由圖可知，OC=^AB=^-,OD=\OB-BD\=^--li

在中，CD=Joe?+on?=住也1,顯然OCWCD,

a+bla2+b2

即

2-v-T~

故選：B.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2021?浙江?金華市方格外國語學(xué)校高一月考）（多選題）己知。>0,b>0,

下列命題中正確的是（）

A.若a+b=2,則lga+lg方<0B.若ab-a-2b=0,則a+?29

C.若n+b=2,則3正D.+=.則而+“+%215+6布

bab22a+1b+23

【答案】AC

【分析】

對于AB選項(xiàng)，構(gòu)造合適的表達(dá)式，利用基本不是求最值即可；而對于CD選項(xiàng)，需要消元,

將表達(dá)式化簡成關(guān)于〃或人的表達(dá)式，接著整理化簡，最后利用基本不等式求解即可.

【詳解】

若a+b=2,則劭4學(xué)）一=1,當(dāng)且僅當(dāng)。=11=1時(shí)等號成立，所以lga+lgb40成立，故

A正確；

若而一a—2b=0,則〃0=a+?,a+2b=ab=—xax2b<—x（|,

22[2J

所以。+如28,當(dāng)且僅當(dāng)即。=4,6=2時(shí)等號成立.故B錯(cuò)誤;

,,,八?,a11a2+11_)+ii

右。+匕=2,則7+下-7=——

bab2ab2a(2-a)2

r-psici~+11ci~—2a+2a+112a+13

17sIyj---------=-----------------=----------

2a-a222a-a22la-er2

令/=2z+l,則，￡(1,5),

所以

2。+13t341343、43逐

2

2…22”1_(X)226t-t-526_(,+5)2-6-2石22,

當(dāng)且僅當(dāng)1=有即4=且二1/=匕5時(shí)等號成立，故C正確；

22

—+—!—=-,則3（。+1）+3（〃+2）=（a+1）S+2）,

a+\h+23

BPah=a+2h+7,顯然bwl,所以。=匚---，又

b-l

〃>0,所以6>1,

.71"r46+14,_3從+汕+7

右。/?+〃+/?=2。+36+7=-----+3a0+7=----------

b-lb-l

所以也任絲26+型+14*2后+14=14+6#,

b-lb-l

當(dāng)且僅當(dāng)人=#+l,a=2+域時(shí)等號成立，故D錯(cuò)誤；

2

故選：AC

【點(diǎn)睛】

在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是"一正一一各項(xiàng)均為正；

二定一一積或和為定值；三相等一一等號能否取得"，若忽略了某個(gè)條件，就會出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練2-2】.（2020?江蘇省南京市第十二中學(xué)高一月考）（多選題）下列命題正確的

是（）

c44

A.若a工0,則礦H—7N4B.若。<0,貝!Jan—N—4

aa

C.若a>0,Z?>0,則a+D.若avO,b<0,則2+

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)基本不等式〃一正，二定，三相等〃的原則即可得到答案.

【詳解】

易知C正確；

對A,因?yàn)椤?,所以/>o,則〃+3之242:=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=：na=±2時(shí)取

crVa-a~

正確；

4

對B,若。=—1,則。+—=-5,錯(cuò)誤；

a

對D,因?yàn)椤?lt;0,b<0,所以：>0,2>0,則：+222、解=2,當(dāng)且僅當(dāng)烏=2=>。=6時(shí)

baba\baba

取正確.

故選：ACD.

（二）不等式變形技巧：“1”的代換

21

例3.（1）（2020?六安市裕安區(qū)新安中學(xué)）已知都是正數(shù)，且一+—=1,則x+y的最小

%y

值等于

A.6B.472

C.3+2&D.4+2&

【答案】C

【詳解】（工+丁）（2+，］=互+2+322</1^^+3=2/+3，故選C.

（XyjXy\Xy

（2）.函數(shù)y=ai（a>0,。彳1）的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線

7nx+〃y-1=0（根〃>0）上，則一+—的最小值為.

mn

【答案】4

【解析】函數(shù)丁="1（。>0,。聲1）的圖象恒過定點(diǎn)4（1,1）,lm+l-n-l=0,m+n=\,

m,n>0,

（方法一）：m+n>mn=>A2,2、/"22?2=4（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1

Vmnmn\mn2

時(shí)等號成立）.（方法二）：一+—=（一+一）?。77+〃）=2+—+—N2+2J--------=4（當(dāng)

mnmnmnvmn

且僅當(dāng)m二n=,時(shí)等號成立）.

2

19

（3）.（2021?江西宜春市?豐城九中高二期中（文））已知a>0,Z?>0,a+h=l,則一+：的

ab

最小值是?

【答案】16

【分析】

利用基本不等式求得上1+［Q的最小值.

ab

【詳解】

依題意，+2=m+力x'+2）=io+2+%之10+2J2?%=io+6=i6.

abababNab

當(dāng)且僅當(dāng)〃=:1，3時(shí)等號成立.

44

故答案為：16

【變式訓(xùn)練3-1】.（2018?河北石家莊市?石家莊一中高一期中（文））若正數(shù)滿足

L+1=1,則4"+/?的最小值為（）

ab

A.7B.1（）C.9D.4

【答案】C

【解析】

分析：由，+』=1,可得4。+匕=（4a+b）仕+」，進(jìn)而展開用基本不等式可得最小值.

ab\ab）

詳解：由，+」=1,可得44+8=（4。+人）（工+!）=4+色+2+125+21網(wǎng).2=9.

ah'b）ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)空=2,即a=3,b=3時(shí)4。+。有最小值9.

ba2

故選C.

【變式訓(xùn)練3-2】、（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)。，b滿足4+力=1,則（）

A.?有最小值4B.，石有最小值;

C.G+6有最大值&D./十〃有最小值g

【答案】ACD

【分析】

對于選項(xiàng)A：利用基本不等式中，結(jié)合"1"的靈活用法，即可求解；

對于選項(xiàng)BCD：使用基本不等式而494區(qū)尹即可求解.

【詳解】

選項(xiàng)A：—+—=（t?+Z?）（—+—）=2+—+—>2+2J—?—=4，取等號時(shí)a=b=—,故A正確；

ahabah\ab2

選項(xiàng)B：而4—=g,取等號時(shí)〃=%=g,所以而有最大值故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：（\[a+\/h）2=a+b+2y[ab=\+2y[ah<2,所以+或46,取等號時(shí)a=6=g,

故C正確;

選項(xiàng)D：由審=白產(chǎn)盧,化簡得，a2+h2>^,取等號時(shí)”=匕=3,故D正確.

故選：ACD.

【變式訓(xùn)練3-3】、（2020?浙江省淳安縣汾口中學(xué)高一月考）已知。>0,b>0,a+2b=3,

21

則的最小值為__________.

ab

Q

【答案】I

【分析】

171?11

將1=：（。+2）代入得至1」4+：=（二+:）（“+2份，再利用基本不等式可求最小值.

3abab3

【詳解】

解：b>0,。+%=3,

21211

「?-+-=（-+-）（?+2Z?）x-

abab3

.4ba

4+——+—

二ab

3

4214ba

"'3+3\'a~9b

=?,（當(dāng)且僅當(dāng)竺=￡即°=6=］時(shí)取等號），

3ab24

91Q

「?一+7?的最小值為w;

ab3

故答案為：g

(三)均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例4.(2020?江蘇省震澤中學(xué)高一月考)中歐班列是推進(jìn)"一帶一路"沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)

易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前

車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m,底面積為12m2,且背面靠

墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此，甲工程隊(duì)給

出的報(bào)價(jià)如下：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每

平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為

Am(2<x<6).

(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低？

(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為我警元伍>0)；

若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，求。的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為14400元.(2)

【分析】

(1)設(shè)總造價(jià)為元，列出y=90()(x+電)+72()().利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可.

X

(2)由題意可得，9005+”)+7200>迎也必對任意的xe[2,6]恒成立

XX

.竺孚〉。》+1+々+6>。恒成立，利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可.

X+lX+1

【詳解】

解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為y元，依題意左右兩面墻的長度均為由(2。4),則屋子前

面新建墻體長為1萼7相，

x

則y=3(150x2x+400x2)+7200=900U+—)+7200(2轟*6)

XX

O^j900(.r+—)+7200..900x2xL—+7200=14400.

xvx

當(dāng)且僅當(dāng)尤="，即x=4時(shí)等號成立.

X

所以當(dāng)x=4時(shí)，加=14400,

即當(dāng)左右兩面墻的長度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為14400元.

(2)由題意可得，900*+?)+7200>900"。*刈對任意的xe[2,6]恒成立.

XX

即（x+4）-+從而。+4）-即X+I+2+6〉”恒成立，

XXx+1x+1

x+1H----+6..2、/（x+1）----+6=12.

x+\vx+\

9

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=——，即x=2時(shí)等號成立.

x+1

所以0<"12.

【變式訓(xùn)練4-1】.（2021?江蘇高三一模）甲、乙兩地相距1000km,貨車從甲地勻速行駛

到乙地，速度不得超過80km/h,已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（單位：元）由可變成本和固

定成本組成，可變成本是速度平方的5，固定成本為。元.

（1）將全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度u（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大的速度行駛？

【答案】（1）y=1000（；v+$,定義域?yàn)椋?,80]；（2）.見解析

【分析】

（1）由題意貨車每小時(shí)的運(yùn)輸可變成本為固定成本為。元，求和后乘以時(shí)間即可；

4

（2）利用基本不等式求最小值，當(dāng)u=40時(shí)等號成立，即知當(dāng)火車以40km/h的速度行駛，

全程運(yùn)輸成本最小.

【詳解】

（1）由題意，得可變成本為?一,固定成本為。元，所用時(shí)間為幽，

4v

所以>=華（5+4=10004+力，定義域?yàn)椋?,80].

（2）y=1000f-1v+-^]>1000-2^|=1000>/?（元），

當(dāng)了丫二一，得v=2?,

因?yàn)?<三80,

所以當(dāng)0<“41600時(shí)，貨車以v=2&km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最?。?/p>

當(dāng)。21600時(shí)，貨車以8（）km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最小.

（四）不等式的綜合應(yīng)用求參數(shù)的取值范圍問題

例5.（1）、（2021?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高一月考）（多選題）若不等式x+4而4M3x+），）對所有

正數(shù)x,y均成立，則實(shí)數(shù)機(jī)可為（)

14

A.5-C.2D.4

【答案】BCD

【分析】

由題意可知刀2"+4而對所有正數(shù)x,y均成立，即〃i2，然后結(jié)合均值不

3x+y

等式求出x+4而的最大值即可.

3x+y

【詳解】

:x+4，^Wm（3x+y）對所有正數(shù)x,y均成立，

二山2山逗對所有正數(shù)x,y均成立，

3x+y

3x+y」

、/max

x+4y[xy_x+4y[xyx+4yjxy_x+4y[xy4

又3x+y%+（>+'>+2歷1+3而3，

9

當(dāng)且僅當(dāng)=y時(shí)等號成立，

4

4

m>—,

3

故選：BCD

,1?2

（2）.（2021?阜陽市耀云中學(xué)高二期中）設(shè)若』+恒成立，則k的最

大值為.

【答案】6+4應(yīng)

【分析】

由基本不等式求得不等式左邊的最小值即可得參數(shù)范圍.

【詳解】

因?yàn)?vm<g,

所以2+221-21-m+口

=—+-----=2m+=23+1

m1-27?m1mm

-----m?-——m——m

2227

tn\-2m-,,k

-----x------F3=6+4y12

1m

2~m)

Jm_1—2m

即機(jī)=立史時(shí)等號成立.

當(dāng)且僅當(dāng)1—二丁］

——m2

2

所以k46+4&.

故答案為：6+4A/2.

Q

【變式訓(xùn)練5-1】、（2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式2x+m+—；>（）對一切工￡（1,?。?/p>

X—1

恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.m<—8B./%<—10C.HI>—8D.>-10

【答案】D

【分析】

OQ

由參變量分離法可得r〃<2x+—利用基本不等式求出當(dāng)xe（l,E）時(shí)，2x+一、的最

x-1x-l

小值，由此可求得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】

由參變量分離法可得-機(jī)<2x+士，當(dāng)x?l,+oo)時(shí)，,

X-1IX-1人in

當(dāng)xe(1,+co)時(shí)，X—1>0,2JCH-----=2(x—1)H-----+2W2^2(x—1)j-+2=10,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，等號成立，故-m<10,解得”2>-10.

故選：D.

2

【變式訓(xùn)練5-2】.（2021?江蘇省海州高級中學(xué)高一月考）不等式2x+m+三>0對一切

x-1

xe（l,+<?）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】m>-6

【分析】

2?

不等式2R+/%H---->?；癁?(x—1)H----->—m-2,利用基本不等式即可得解.

x-lX-1

【詳解】

22

解：不等式2x+wd---->0化為：2(x-1)H----->-