2021年江蘇省蘇州市高考數(shù)學(xué)三模試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2021?蘇州三模）已知。為全集，非空集合4,B滿足40|?5）=0,貝I（）

A.A^BB.BQA

c.（〃）n（4）=0D.（j）u（*）=。

2.（5分）（2021?蘇州三模）設(shè)隨機變量。服從正態(tài)分布N（l,4）,則P（g<3）的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：+0-）=0.6526,P{u-2CT<^<M+2<r）=0.9544）

A.0.1737B.0.3474C.0.6837D.0.8263

3.（5分）（2021?蘇州三模）歐拉公式整=cos?+isin。（其中i為虛數(shù)單位）是把復(fù)指數(shù)

函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來的一個公式，其中e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位.它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而

且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.當(dāng)0=7時，恒等

式*+1=0更是被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)上述材料可知|*-5"|的最大值

為（）

A.1B.2C.V2D.4

4.（5分）（2021?蘇州三模）為了更好地管理班級，班主任決定選若干名學(xué)生擔(dān)任班主任助

理，于是征求語、數(shù)、英三科任課教師的意見.語文老師：如果不選小李，那么不選小宋；

數(shù)學(xué)老師：如果不選小宋，那么選小李；英語老師：小宋和小李兩人中至少選一個并且至多

選一個.若班主任同時采納了三人的建議，則作出的選擇是（）

A.選小宋，不選小李B.選小李，不選小宋

C.兩人都選D.兩人都不選

5.（5分）（2021?蘇州三模）已知（x+l）6=旬+%（x-l）+…+%（x-l）6，則。3=（）

A.15B.20C.60D.160

4.7-x

6.（5分）（2021?蘇州三模）函數(shù)=j十/—的圖象大致為（）

ln（ylx2+\-x）

第1頁（共26頁）

7.（5分）（2021?蘇州三模）如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團花紋金杯，

杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近

似看作是雙曲線。：5-4=1（4>0/>0）的右支與〉軸及平行于*軸的兩條直線圍成的曲

邊四邊形zavw繞V軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為竽，

下底座外直徑為2叵，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最

3

細之處的周長為（）

A.2在1B.31C.2百1D.44

8.（5分）（2021?蘇州三模）若函數(shù)g（x）在區(qū)間。上，對Va,b,ceD,g（a）,g（b）,

g（c）為一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)g（x）為“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)/Xx）=^+加在

X

區(qū)間［3工?］上是“穩(wěn)定函數(shù)”，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.（2e+-,+a>）B.（2e2+-,+<?）C.（4e+-,+oo）D.（4e2+-,+<?）

eeee

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）（2021?蘇州三模）已知A48C是邊長為2的正三角形，該三角形重心為點G,點

第2頁（共26頁）

尸為A4BC所在平面內(nèi)任一點，下列等式一定成立的是（）

A.|您+就|=2B.AB-AC=2C.PA+PB+PC=3PG

D.\'AB+'BC\=\'AB+CB\

10.（5分）（2021?蘇州三模）若實數(shù)X,y滿足x>y>0,則（）

A.—>—B.ln（x—y）>Iny

yx

C.x+y<y］2（x2+y2）D.x-y<ex-e1'

11.（5分）（2021?蘇州三模）定義：若存在非零常數(shù)左，7,使得函數(shù)“X）滿足

/（x+T）=/（x）+%對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)/（x）為“4距周期函數(shù)“，其

中7稱為函數(shù)的“類周期''.貝心）

A.一次函數(shù)均為“左距周期函數(shù)”

B.存在某些二次函數(shù)為“A距周期函數(shù)”

C.若“1距周期函數(shù)”/（x）的“類周期”為1,且/（1）=1,則/（x）=x

D.若g（x）是周期為2函數(shù)，且函數(shù)/（x）=x+g（x）在［0,2］上的值域為［0,1］,則函

數(shù)/（x）=x+g（x）在區(qū)間（2〃，2〃+2］上的值域為（2〃，2〃+1］

12.（5分）（2021?蘇州三模）斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家.他在自己的著作《算

盤書》中記載著這樣一個數(shù)列：1,I,2,3,5,8,13,21,34,其中從第三個數(shù)起，

每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列與代數(shù)和幾

何都有著不可分割的聯(lián)系.現(xiàn)有一段長為〃米的鐵絲，需要截成〃（〃>2）段，每段的長度不

小于1加，且其中任意三段都不能構(gòu)成三角形，若〃的最大值為10,則a的值可能是（）

A.100B.143C.200D.256

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（2021?蘇州三模）寫出一個長軸長等于離心率8倍的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

2

14.（5分）（2021?蘇州三模）已知等差數(shù)列也,｝的前n項和為｛S,｝，公差為d,若S2?-2S?+n,

則d=.

15.（5分）（2021?蘇州三模）如圖，三根繩子上共掛有6只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1,

2,3,每槍只能打破一只氣球，而且規(guī)定只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，則將這些

氣球都打破的不同打法數(shù)是—.

第3頁（共26頁）

16.（5分）（2021?蘇州三模）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬

4&C7H,杯深8c機，稱為拋物線酒杯.

①在杯口放一個表面積為36萬的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為cm；

②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為一（單

位：cm）.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）（2021?蘇州三模）的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

11小

—F—=—（Zr>0）.

abc

（1）若左=2忘,C=2,求/的值；

2

（2）若k=2,求當(dāng)C最大時AJ8C的形狀.

n

18.（12分）（2021?蘇州三模）在①S-2S.+2,?an+l-an=2,③=。用-2這三個

條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

已知數(shù)列｛”,｝的前〃項和為S,,,首項為2,且滿足

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）在風(fēng)與之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為a的等差數(shù)列，求證:

第4頁（共26頁）

19.（12分）（2021?蘇州三模）在平面直角坐標(biāo)系中，己知雙曲線C:=-4=l（〃力＞0）

ab~

的左、右頂點分別為N,B,其圖象經(jīng)過點（百，1）,漸近線方程為y=±x.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)點E,尸是雙曲線C上位于第一象限的任意兩點，求證：ZEAF=NEBF.

20.（12分）（2021?蘇州三模）如圖，在多面體力8COE中，平面NCDE_L平面/8C,四邊

形/CDE為直角梯形，CD//AE,ACLAE,ZABC=60°,CD=\,AE=AC=2,尸為

BE的中點.

（1）當(dāng)8C的長為多少時，。尸，平面N8E.

（2）求平面/8E與平面88所成的銳二面角的大小.

B

21.（12分）（2021?蘇州三模）為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場

上兩種設(shè)備的使用壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取"型和8型設(shè)備各100臺，得到如圖頻率

分布直方圖：

（1）將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過2500小時不超過2500小時總計

4型

8型

總計

第5頁（共26頁）

根據(jù)上面的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)？

（2）用分層抽樣的方法從不超過2500小時/型和3型設(shè)備中抽取8臺，再從這8臺設(shè)備

中隨機抽取3臺，其中4型設(shè)備為X臺，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完

成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備（更換設(shè)備時間忽略不計），/型和8型設(shè)備每

臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電

價為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費，你認為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備，請說明理由.

參考公式：K2=----------------------,n=a+b+c+d.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

參考數(shù)據(jù):

P（K2灑）0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

k。

22.（12分）（2021?蘇州三模）已知函數(shù)/（R）=e'sinx-似左$7?）（其中e為自然對數(shù)的底

數(shù)）.

（1）若對任意成立，求實數(shù)上的取值范圍；

（2）設(shè)看,9€（03），且占+》2=1，求證：吧1+”

2x2x}4

第6頁（共26頁）

2021年江蘇省蘇州市高考數(shù)學(xué)三模試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2021?蘇州三模）已知U為全集，非空集合4,8滿足=貝I"）

A.B.BQA

c.（/）n（/）=0D.（/）u（4）=u

【考點】交、并、補集的混合運算

【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用并集、交集、補集的定義直接求解.

【解答】解：???[/為全集，非空集合4,8滿足以]（。5）=0,

AQB.

故選：A.

【點評】本題考查集合的運算，考查補集、交集、并集定義、集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查

運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2021?蘇州三模）設(shè)隨機變量g服從正態(tài)分布N（l,4）,則P&<3）的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：尸（〃一。<〃+<7）=0.6526,尸（u-2cr<g<〃+2cr）=0.9544）

A.0.1737B.0.3474C.0.6837D.0.8263

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求解即可.

【解答】解：因為隨機變量g服從正態(tài)分布N（I,4）,

所以u=1,b=2,

由正態(tài)分布的對稱性可得，<3）=0.5+1P（1-2<^<1+2）=0.5+0.6526=0.8263.

故選：D.

【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布的對稱性，屬于基

礎(chǔ)題.

3.（5分）（2021?蘇州三模）歐拉公式/=cos?+isin。（其中i為虛數(shù)單位）是把復(fù)指數(shù)

第7頁（共26頁）

函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來的一個公式，其中e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位.它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而

且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.當(dāng)。=〃時，恒等

式*+1=0更是被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)上述材料可知|ei0-eirt\的最大值

為（）

A.1B.2C.V2D.4

【考點】歐拉公式的應(yīng)用

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用歐拉公式化簡,再利用模的計算公式、倍角公式、同角三角函數(shù)基本

關(guān)系式即可得出結(jié)論.

【解答】解：e*-*=cosO+isinJ+l,

I-------------------------------------------------0

:\e,ff-e'R|=V（cos+Ip+sin2O=j2+2cos。=2|sin^|^2,

可得||的最大值為2.

故選：B.

【點評】本題考查了歐拉公式的應(yīng)用、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、復(fù)數(shù)的三角形

式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2021?蘇州三模）為了更好地管理班級，班主任決定選若干名學(xué)生擔(dān)任班主任助

理，于是征求語、數(shù)、英三科任課教師的意見.語文老師：如果不選小李，那么不選小宋；

數(shù)學(xué)老師：如果不選小宋，那么選小李；英語老師：小宋和小李兩人中至少選一個并且至多

選一個.若班主任同時采納了三人的建議，則作出的選擇是（）

A.選小宋，不選小李B.選小李，不選小宋

C.兩人都選D.兩人都不選

【考點】進行簡單的合情推理

【專題】分類討論；分析法；推理和證明；邏輯推理

【分析】分別針對三位老師的話進行分析，即可得到答案.

【解答】解：由英語老師的話可知，兩人中選且只選一人，

由語文老師的話可知，要么選小李（小宋可選可不選），要么兩人都不選，

由數(shù)學(xué)老師的話可知，要么選小宋（小李可選可不選），或不選小宋選小李，

第8頁（共26頁）

綜上所述，班主任作出的選擇應(yīng)該是選小李，不選小宋.

故選：B.

【點評】本題考查了簡單的合情推理的應(yīng)用，考查了推理論證能力、應(yīng)用意識以及創(chuàng)新意識,

考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2021?蘇州三模）已知（x+l）6=4+q（x-l）+…+%（x-l）6,則%=（）

A.15B.20C.60D.160

【考點】二項式定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)［2+（》-1）］6=即+%（》-1）+-+&（尤—1）6,利用通項公式求得名的值.

【解答】解：（x+l）6=［2+（x-l）］6=4+q（x-l）+…+/（x-l）6,

貝1］%=或"=160,

故選：D.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬

于中檔題.

6.（5分）（2021?蘇州三模）函數(shù)〃x）=—一的圖象大致為（）

ln（y/x2+1-x）

【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用/（1）的符號進行判斷即可.

第9頁（共26頁）

【解答】解：函數(shù)的定義域為{x|xwO},

設(shè)g(x)=2*+2T,

則g(-x)=2*+2-x=g(x)，即g(x)是偶函數(shù),

設(shè)h(x)=/n(7x2+1-x)>

則/i(-x)+h{x)=ln(yjx2+1+x)ln(^x~+1-x)=ln(yjx2+1+x)(Vx2+1-x)=Ini=0,

即h(-x)=i(x),則h(x)是奇函數(shù),

.?./（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除/,C,

2+1

f(1)=—7=^—<0,排除。,

/?(V2-1)

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，以及函數(shù)值的

符號，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2021?蘇州三模）如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團花紋金杯，

杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近

V2V2

似看作是雙曲線C：—=1（4>0,6>0）的右支與y軸及平行于X軸的兩條直線圍成的曲

邊四邊形Z8MN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為竽，

下底座外直徑為2叵，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最

3

細之處的周長為（）

A.2?rB.3"C.2缶D.4〃

【考點】雙曲線的性質(zhì)

【專題】方程思想；消元法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算

【分析】把點M，N的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，解得a,b,即可得出答案.

第10頁（共26頁）

【解答】解：由題意可得M(差，4),N(乎，-2),

所以雙曲線C過點M,N,

罔)「6

a2

所以解得a=6>b=3,

（爭

_±=1

a2b2~

所以身最細之處的周長為2x;rx6=2區(qū).

故選：C.

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

8.(5分)(2021?蘇州三模)若函數(shù)g(x)在區(qū)間。上，對Va,b,ceD,g(a),g(b),

g(c)為一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)g(x)為“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)/口)=如+用在

X

區(qū)間［/工?］上是“穩(wěn)定函數(shù)”，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(2e+-,+oo)B.(2e2+-,+oo)C.(4e+L+8)D.(4e2+-,+oo)

eeee

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算

【分析】求出函數(shù)/■)在上的最大值及最小值，結(jié)合題意可知需

4,e?］2/(x),?,“>f(x)max,

e

由此建立關(guān)于機的不等式，解出即可.

【解答】解：由于/8)=螭+小，則/"'(')=匕"，

XX

易知函數(shù)"X)在［］,e］上單調(diào)遞增，在(e,e2］上單調(diào)遞減，

e

112

而/(—)=m~2e2,/(e)=m+-,f(e2)=w+—,

eee~

：.j\x)=—+m在S，/］上的最大值為zn+L最小值為，“-Ze。，

xee

依題意，2/(x),>,即2(w-2e2)>m+~,解得m>4e2+~.

miee

故選：D.

【點評】本題以新定義為背景，旨在考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想

及運算求解能力，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

第11頁(共26頁)

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（5分）（2021?蘇州三模）已知448c是邊長為2的正三角形，該三角形重心為點G,點

尸為A4BC所在平面內(nèi)任一點，下列等式一定成立的是（）

A.\AB+AC\=2B.AB-AC=2C.PA+PB+PC=3PG

D.|而+小=］在+函

【考點】平面向量的基本定理

【專題】計算題；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用數(shù)量積的定義和性質(zhì)可判斷力，B,D,利用重心的性質(zhì)可判斷C.

【解答】解：A:.-\7B+AC\=^C4B+AC）2=^4+4+2x2x2x1=2^,錯誤，

B::AB-AC=|AB|-|AC\-cosy=2x2xg=2,:.B正確，

C:.-G為AJBC的重心，GA+GB+GC=0,

:.PA+PB+PC=GA-GP+GB-GP+GC-GP=-3GP=3PG,正確，

Dr.-\AB+BC|=|AC\=2,

\AB+CB\=yl（AB+CB）2=^4+4+2x2x2x1=2^,二。錯誤，

故選：BC.

【點評】本題考查向量的數(shù)量積運算和數(shù)量積的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力和推理能力,

屬于中檔題.

10.（5分）（2021?蘇州三模）若實數(shù)x,y滿足x>y>0,則（）

A.—>—B.In（x-y）>Iny

y%

C.x+y<D.x-y<ex

【考點】不等式比較大小

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，分別判斷各選項即可.

【解答】解：因為所以力正確；

y%

由于x-y與y的大小不確定，B不正確；

因為2（1+/）一（%+刃2=工2+y2_2xy=（X-J；）2>0,

第12頁（共26頁）

所以2(x?+y2)>(x+y)2,C正確；

令/(x)=e*-x,則r(x)=e'-l>0,

故/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

由x>y>0,得/(x)>/(y)，

所以e*-x>-y,

所以x—y<e*—e，，D正確.

故選：ACD.

【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小，屬

基礎(chǔ)題.

11.(5分)(2021?蘇州三模)定義：若存在非零常數(shù)A,T,使得函數(shù)/(x)滿足

/(x+7)=〃x)+左對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)〃x)為“％距周期函數(shù)”，其

中7稱為函數(shù)的“類周期'’.則()

A.一次函數(shù)均為“左距周期函數(shù)”

B.存在某些二次函數(shù)為“％距周期函數(shù)”

C.若“1距周期函數(shù)”/(x)的“類周期”為1,且/(1)=1,則/(x)=x

D.若g(x)是周期為2函數(shù)，且函數(shù)/(x)=x+g(x)在［0,2］上的值域為［0,1］,則函

數(shù)/(x)=x+g(x)在區(qū)間(2〃，2〃+2］上的值域為(2〃，2?+1］

【考點】三角函數(shù)的周期性

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析

【分析】由題意利用性定義，函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.

【解答】解：對于f(x)=ax+b,貝11/。+7)=依+6+。7=/(幻+。7,

其中％=aT,為常數(shù)，滿足條件，故/正確，

對于8,設(shè)/(x)=ox2+fer+c,(a#0),

則f(x+T)=a(x+T)2+b(x+T)+c^ax2+(2aT+b)x+aT2+bT+c^f(x)+aT,

若/(x)是“左距周期函數(shù)”，則2江=0,即7=0,與條件T*0,矛盾，即8錯誤，

對于C,若1距周期函數(shù)”/(x)的“類周期”為1,且/(1)=1,

則/(x+l)=/(x)+l,則/(1)=/(0)+1=1,即/(0)=0,

第13頁(共26頁)

f(2)=f(1)+1=1+1=2,依次類推，/(x)=x,xeZ,則C錯誤，

對于。，：g(x)是周期為2函數(shù)，；.g(x+2)=g(x),

貝！I/(x+2)=x+2+g(x+2)=x+2+g(x)=/(x)+2,

若函數(shù)〃x)=x+g(x)在［0,2)上的值域為［0,1),

則/(x)在［2,4)上的值域為［2,3),在［4,6)上的值域為［4,5),

依次類推，/(x)=x+g(x)在區(qū)間［2”，2〃+2)上的值域為［2〃，2"+1),故。正確，

故選：AD.

【點評】本題主要考查新定義，函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.(5分)(2021?蘇州三模)斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家.他在自己的著作《算

盤書》中記載著這樣一個數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,--其中從第三個數(shù)起,

每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列與代數(shù)和幾

何都有著不可分割的聯(lián)系.現(xiàn)有一段長為a米的鐵絲，需要截成"5>2)段，每段的長度不

小于1m,且其中任意三段都不能構(gòu)成三角形，若〃的最大值為10,則a的值可能是()

A.100B.143C.200D.256

【考點】數(shù)列的應(yīng)用

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理

【分析】本題分析得到要使”取最大值，則截成的各段長度應(yīng)該構(gòu)成斐波那契數(shù)列，將該數(shù)

列前n項相加即可得到a的范圍.

【解答】解：由題意，一段長為。米的鐵絲，截成〃段，且其中任意三段都不能構(gòu)成三角形,

當(dāng)〃取最大值時，每段長度從小到大排列正好為斐波那契數(shù)列，

而數(shù)列的前10項和為：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143,

前11項和為：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232,

只需143(。<232,3C均符合要求.

故選：BC.

【點評】本題考查的是數(shù)列求和的內(nèi)容，結(jié)合了三角形兩邊之和大于第三邊的知識，題目較

為新穎，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(2021?蘇州三模)寫出一個長軸長等于離心率8倍的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

第14頁(共26頁)

【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的性質(zhì)

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想：綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：邏輯推理：數(shù)學(xué)運算

【分析】利用已知條件，推出4、C,的關(guān)系，設(shè)。求出C,推出6,即可得到一個橢圓方程.

【解答】解：由題意可知2Q=8?￡,即/=4c,令〃=2,則c=l,b=VJ,

a

所以橢圓方程為：—+4=i.

43

故答案為：—+4=>-

43

【點評】本題考查橢圓方程的求法，簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

2

14.（5分）（2021?蘇州三模）已知等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前“項和為｛SJ,公差為d,若S2n=2S?+n,

貝|Jd=1.

【考點】數(shù)列遞推式

【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算

【分析】由等差數(shù)列的前〃項和公式寫出邑.，5”，代入S2.=2S,+〃2,整理后結(jié)合等差數(shù)

列的通項公式可得d值.

【解答】解：52?=（%+丁2〃=+%,）,

_（q+%）?"

“-2

22

又S2n=2Sn+n,n（a[+a2n）=n（at+a?）+n,

即a,+a2ll=q+a?+n,

a2n=an+n,則=w,即d=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項公式及前〃項和，是基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2021?蘇州三模）如圖，三根繩子上共掛有6只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1,

2,3,每槍只能打破一只氣球，而且規(guī)定只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，則將這些

氣球都打破的不同打法數(shù)是60.

第15頁（共26頁）

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；邏輯推理

【分析】將6只氣球進行編號為1,2,3,4,5,6號，根據(jù)下方氣球號碼小于上方氣球號

碼的排列方法數(shù)就是打破氣球的方法數(shù)，然后分步進行計算即可.

【解答】解：將6只氣球進行編號為1,2,3,4,5,6號，則下方氣球號碼小于上方氣球

號碼的排列方法數(shù)就是打破氣球的方法數(shù)，

將編號為1--6號的6只氣球掛上3根繩子，按下方氣球號碼小于上方氣球號碼的排列，

分3步進行：

（1）第一步掛有1只氣球的繩子，有C：=6種掛法；

（2）第二步，掛有2只氣球的繩子，有=10種掛法；

（3）第三步，掛有3只氣球的繩子，有種掛法；

所以由分步計數(shù)原理得，共有種方法，

因為一種掛法就是一種排列方法，也就是打破球的方法，

所以將這些氣球都打破的不同打法數(shù)為60種方法，

【點評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，將小球進行編號，按照按下方氣球號碼小于上方氣

球號碼的排列，結(jié)合定序問題組合法是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

16.（5分）（2021?蘇州三模）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬

4JEcw,杯深8。用，稱為拋物線酒杯.

①在杯口放一個表面積為36萬c/的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為小5；

②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為—（單

第16頁（共26頁）

位：cm).

【考點】直線與拋物線的綜合

【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算

【分析】①如圖以杯子的底部為原點。，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得4,8的坐標(biāo),

設(shè)拋物線的方程，代入方程，解得p,可得拋物線的方程，由球的表面積公式可得求得球

的半徑，結(jié)合圖形，可得所求最小值；

②如圖球G的橫截面的圓的方程為/+3-廠)2=,，r>0,聯(lián)立拋物線的方程，解得y=0

或y=2/*-1,由題意可得方程組只有一解y=0,2r-K0,解不等式可得所求范圍.

【解答】解：①如圖以杯子的底部為原點。，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

貝4/(-2返，8),8(20,8),

設(shè)拋物線的方程為x?=2勿(p>0),

可得=2px8,解得p=g,

所以拋物線的方程為x?=y,

設(shè)球的半徑為R,由4萬&=36萬，解得R=3,

由直角三角形。8G中，GB=3,=2V2,

可得CQ="32-(2近>=1,

所以球面上的點到杯底的最小距離為8+1-3=6；

②如圖球G的橫截面的圓的方程為V+(y-r)2=r2,r>0,

聯(lián)立,x,',，可得y=0或y=2r-l,

x2+(y-r)2=r2

要使球觸及酒杯底部，則只需拋物線與圓相切于頂點(0,0),

第17頁(共26頁)

可得聯(lián)立拋物線和圓的方程只能有1解y=0,另一個解為負數(shù)或零,

所以y=2r-K0,解得0＜心，

所以玻璃球的半徑的范圍為(0,

故答案為：6,(0,；］.

【點評】本題考查拋物線和圓的方程的求法和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)(2021?蘇州三模)A48C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

11k八、

-+-=—(ZIk＞0).

ahc

(1)若k=2幾C=土,求/的值：

2

(2)若A=2,求當(dāng)C最大時AJ8C的形狀.

【考點】三角形的形狀判斷

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算

【分析】(1)由已知利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求sin(/+?)=sin24,從

而/+工=2/,或/+工+24=%，即可解得力的值.

44

(2)由題意可得c=2也，進而利用余弦定理，基本不等式即可求解cosC2L,當(dāng)且僅當(dāng)

a+b2

a=6時取等號，此時。=巴，即可判斷得解.

3

【解答】解：(1)因為人+1=/因＞0),k=2-j2,C=-,

abc2

所以1+1=2也，由正弦定理可得」—+—?一=2叵=2近，

abcsmA疝弓-/)sin|

即+―'―=2后，

sinAcosA

第18頁(共26頁)

所以sin4+cosA=2近sinAcosA，可得y/2sin(4+—)=V2sin24，

4

-rr

可得sin(力+—)=sin2A,

從而/+工=2Z,或4+巴+2/=乃，

44

解得/=巳.

4

(2)由題意可得1+1=2,則竺2=2,即e=2也，

abcabca+b

,a2+b2_J^_

所以cose--------(￡W=1[￡+^_^^]^1[2__J^_]=1(

lab2ab2ha(a+b)'2(2y/ab)22

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，此時C=工，故A48c為正三角形.

3

【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式在解

三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.(12分)(2021?蘇州三模)在①S,+1=2S,+2,②。用-?！?2",③S“=a"”-2這三個

條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

已知數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S,,,首項為2,且滿足.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)在凡與“向之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為力的等差數(shù)列，求證：

【考點】數(shù)列遞推式

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算

【分析】(1)若選①：利用數(shù)列的第〃項與前〃項和之間的關(guān)系以及等比數(shù)列的定義和通項

公式求解即可；

若選②：利用迭加法求解數(shù)列的通項公式即可；

若選③：利用數(shù)列的第n項與前〃項和之間的關(guān)系以及等比數(shù)列的定義和通項公式求解即可;

(2)先求出力=人，然后利用二項式定理以及不等式的放縮法進行證明即可.

n+\

【解答】(1)解：若選①：

因為S用=2S,+2,當(dāng)〃22時,S”=2S,_1+2,兩式相減可得,a?+1=2an,

第19頁(共26頁)

當(dāng)〃=1時，52=2S]+2,即《+%=2q+2,又％=2,所以。？=4，

故。2=2%也適合an+l=2an>

所以%+i=(neN*)，且％=2工0,

故數(shù)列｛“〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

故(=2〃；

若選②：

因為％+1-?！?2〃，

所以Q“-q—3,-q)+(%-Q,)-----(Q〃—〃“_])=2+22+…+2"?=—-----------=2〃-2,

1—2

故an=2"；

若選③：

因為S〃=a〃+[-2,當(dāng)〃22時，S〃_]=〃4-2,兩式相減可得a〃=a〃+]-。〃，即％+]=2。〃，

當(dāng)〃=1時，5]=〃]=。2-2,所以。2=4,也滿足a〃+[=2a〃,

a

所以n+\=2冊5wN*),且％=2w0,

故數(shù)列｛%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

故%=2"；

2〃

(2)證明：由題意可得%+i=a“+(〃+l)d”,解得d〃=------，

n+1

當(dāng)〃=1時，d,=1>—；

12

當(dāng)〃》2時，

n(n-1)n(n-1)n(n+1)

2"_a+i)"_W+C+…+c;c；+c：+c；1+〃+^^"+

ci----------------------------------------夕---------------------........................>------------------——

n+177+1n+1n+1n+1n+1n+12

綜上所述，dn>-.

【點評】本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及了等比數(shù)列的定義，數(shù)列的前〃項和與第〃項之

間關(guān)系的運用，迭加法求通項公式的運用，等比數(shù)列求和公式的運用，二項式定理的運營業(yè)，

第20頁(共26頁)

綜合性強，涉及知識點多，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

19.（12分）（2021?蘇州三模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知雙曲線=1（。力＞0）

a~h~

的左、右頂點分別為Z,B,其圖象經(jīng)過點（6，1），漸近線方程為y=±x.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)點E,尸是雙曲線C上位于第一象限的任意兩點，求證：NEAF=NEBF.

【考點】直線與雙曲線的綜合

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算

【分析】（1）由題意列關(guān)于a,b,c的方程組，求解a與6的值，則雙曲線方程可求：

（2）由直線斜率與角的正切值的關(guān)系，結(jié)合兩角差的正切證明tanNE4F=tanNE8F,即可

證得NE4F=NEBF.

31

/下=1

【解答】（1）解：由題意，-=1,解得/=/=2

a

a2+b2=c2

則雙曲線C的方程為V-4=2；

（2）證明：設(shè)反耳，必），F(xiàn)（X2,y2）（不妨設(shè)E在尸上方）,

畤4,AA，

tan/EAB-tan/FAB

tanZ.EAF=tan(Z.EAB-NFAB)=

1+tanZ.EAB-tanNFAB

必必

Xj+y/2,尢2+

tan/EBA-tan/FBA

tanNEBF=tan(NE84-NFBA)=

1+tanZ.EBA-tanZ.FBA

以?外

X「五馬一亞二須丁2一%2%+向丫1一%)

1+—Y_X/2+必丁2一拒(演+/)+2

X]-yfo.X?-

22

丁x,-2=必2,x2-2=，

X1—y/2,yx-V2

必2=2

x+V2y

玉+V2必22

第21頁（共26頁）

必y?玉—^2x2—y/2

mi.玉+后心+后