設(shè)lim(x2a)x8,則a xx設(shè)一平面經(jīng)過原點及點(6,-3,2),且與平面4xy2z8 微分方程y2y2yex的通解 函數(shù)uln(x y2z2)在A(1,0,1)點處沿A點指向B(3,2,2)點方向的方向?qū)?/p>

2 設(shè)A是43矩陣,且A的秩r(A)2,而B 0,則r(AB) 3 5315(xay)dx

(x

為某函數(shù)的全微分,則a等 (A)- (B) (C) (D)f(xf(0)0lim

f(x)1, |xf(0f(xf(0f(x(0,f(0yf(xf(0f(x(0,f(0yf(x設(shè)a0(n1, ),且a收斂,常數(shù)(0,),則級數(shù)

(1)(n(

(A)絕對收 (B)條件收 (C)發(fā) (D)收斂性與有f(xf(0)0f(0)0F(xx(x2t2f(t)dtx0時,F(x)與xk是同階無窮小,則k等 (A) (B) (C) (D) 00

的值等 0

求心形線ra(1cos)的全長,其中a0x110xn1

6xn(n1 )(2xz)dydzzdxdySzx2y2(0z1)Szux2

2 2 2

222ux

0

0azz(x,y 求級數(shù)(n21)2nx0yf(x)上點(x,f(xyxf(t)dtf(xxf(x在[0,1上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足條件|f(x|a|f(x|babc是(0,1)內(nèi)任一點,證明|f(c|2ab2設(shè)AET,其中E是n階單位矩陣,是n零列向量,T是的轉(zhuǎn)置,證明A2A的充要條件是T1；(2)當(dāng)T1Af(xxx5x25x2cx22xx6xx6xx 1 1 2求參數(shù)cf(x1x2x31設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,發(fā)現(xiàn)是次品,則該次品屬A生產(chǎn)的概率是 12設(shè)、是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N )2)的隨量,則隨12的數(shù)學(xué)期望E() 設(shè)是相互獨立且服從同一分布的兩個 量,已知的分布律為Pi13i=1,2,3,Xmax(,),Ymin(,寫出二維隨量(X,Y)的分布律XY123123求隨量X的數(shù)學(xué)期望E(X)【答案】ln

lim(x2a)x

xa)3axa

x

x令x

txt0 xa

x

)

lim(1t)tetx

lim )xexxaex

e3axx由題設(shè)有e3a8a1ln8ln23x 2ax

12a

xlim12a2ax2a

x

x

lim x

lim

e3ax

xa

1ax

a

lim1a

x(aa

e x

x x 由題設(shè)有e3a8a1ln8ln23【答案】2x2y3z【解析】方法一：所求平面過原點OM0632,其法向量nOM0632；平面垂直于已知平面4xy2z8nn0412； n//OM0n0 24i4j n2i2j3k,則所求的平面方程為2x2y3z0)OM0632,另一是平面4xy2z8的法向量n0412 20, 2x2y3z0 【答案】ex(ccosxcsinx y2y2yexr22r20,解之得

1iyex(Ccosx

sinx) 由于非齊次項ex,1y*(xaex y2y2yexa1y*(x)exyex(CcosxCsinx)exex(Ccosx

sinx1) y*(xyP(xyQ(xyf(x的一個特解.YxyP(xyQ(xy0yY(xy*(xYxyP(xyQ(xy0Px、Q(x1ypyqy0.其特征方程寫為r2prq0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個特征根rr1兩個不相等的實數(shù)根rryCerx1Cer2x1 兩個相等的實數(shù)根rryCCxerx1

iyexCcosx

sinx其中 yP(xyQ(xyf(xy*(x)f(x)P(x)exy*(x)

的特解,其中Qm(xPm(x)相同次數(shù)的多項式,而k不是特征方程的根、是特征方0、12. 如果f(x)ex[P(xcosxP(xsinx yp(xyq(xyf(x y*xkex[R(1)(x)cosxR(2)(x)sinx mmR(1(xR(2(x是mmmaxln,而k按i(或imm方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或12l的方向余弦和uuuxyuucosucosucos

lAB|AB

3將函數(shù)uln(x

y2z2x,yz x y21A

2A

0 (x y2z2)y2y (x y2z2)y2zA

2

cos

cos

cos【答案】

120(2)111 B

0100B可逆,故rAB)rA)2 【相關(guān)知識點】rAB)min(rAr(BAr(AB)r(B)r(EB)r[A1(AB)]r(AB).從而rAB)r(B5315【解析】由于存在函數(shù)u(x,y)

du(xay)dx(x

,(xu

x(x

,u

,(xyx

a(xy)2(xay)2(xy)(a2)x

(x

(x

(x

.

由于yxxy連續(xù),所以yxxy(a2)xay(x

(x

a2,故應(yīng)選f(x有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且limf(x)10x0|xx0f(x)0f(x0f(x|x又由f(0)0,f(xx0x0f(x)的極小值點,即f(0是f(x)的極小值.應(yīng)選(B).【相關(guān)知識點】極限的局部保號性：設(shè)limf(xAA0A000xx0f(x0f(x0 【解析】若正項級數(shù)an收斂,則a2n也收斂,且當(dāng)n

tan )lim n

nn n

0

因為

收斂,所以lim

n 設(shè)un和vn都是正項級數(shù),且limnA

n 當(dāng)0Aun和vn A0時,若un收斂,則vn收斂；若vn發(fā)散,則un

A時,若vn收斂,則un收斂；若un發(fā)散,則vn【解析】

F(x)x2xf(t)dtxt2f(t)dt F(x)2xxf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xxf(t)dt 所 limF(x)lim

f(t)dtlim

f

xk洛

f 2fk2洛

k3x0(k x0(k1)(kF(xxkf(0)0,所以

2f

為常數(shù),即k3 limF(x)

2f

x0(k1)(kf(0)0

x0(k1)(k故應(yīng)選【相關(guān)知識點】設(shè)在同一個極限過程中,(x(x)若l0稱(x(x若l1稱(x(x在該極限過程中為等價無窮小,記為

lim(x)l(x)若l0稱在該極限過程中x(x的高階無窮小,記為(xo(x)若lim(x)不存在(不為),稱(x(x 1 所以選

a1 a

bb b13b1三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.) dsa

r2()r2()d2(1cos)d2acos2

d由于rr()a(1cos以2為周期,因而的范圍是[02又由于r()r( s2ds4acosd 666xn6

4x1xnxn16x6

xn6 6 6 設(shè)limxa,(a6 66

6limxn6

a a3a22.收斂數(shù)列的保 論：如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0),且limxna,a0(或a0SxOyyOz

:x2y2zz:1y1,y2z1,或0z1, y zzz1Oz1OyyOxz1zOyzdxdyxOy(2xz)dydzxOy P(xyz2xzQ(xyz0R(xyzzIPdydzRdxdyS這里,PQR213,若 求曲面積分I,則較簡單.因S不是封閉 【解析】方法一：xOyI(2xz)dydzzdxdy[(2xz)(z)(x2y2)]dxdy zx2y2Dx2y2z2xI4x2dxdy2x(x2y2)dxdy(x2y2)dxdy

2x(x2y2)dxdy0,4x2dxdy2(x2y2)dxdy所 I(x2y2)dxdy

1I2d1r3dr21r4 1 方法二：yOzxOyyOzS要分為前半部分

:x

與后半部分

:xzzz

I(2xz)dydz(2x 由題設(shè),對S1xS2xII

zyzzy

zy2dydz1 4134

340zy2dydz10z(這里z

zy2dy

z(x2y2dxdyz

I

方法三：S1z1(xy1 (2xz)dydzzdxdy 1DSxyx2y21SSzx2y2z1圍成區(qū)域SS的法向量指向內(nèi)部,所以在 滿 (2xz)dydzzdxdy3S

230dzdxdy30zdz 2D(zD(zx2y2z,面積為z SI2(2xz)dydzzdxdy22S1 z z xuxvxuvzzuzv2zaz u v 2 2z 2 2z 所 x2x(u)x(v)u2xuvxv2xvu2z

22

2v22z

2z 2z 2z 2z

) ) y y u2 uv v2 vu

2

(a

2

2zav2, )2 )

)

y

y ) 2z )

2z

2 u2 2 2

22

v2

vu4u24auv

v22

2 2代入

0

2 2 2

2

22

(6aa

0

于是,令6aa20a3a22a2時,105a0a3時,105a0,因此僅當(dāng)a3時化簡為uv0【相關(guān)知識點】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：若uu(x,y和vv(x,y在點(x,y處偏導(dǎo)數(shù)存zf(uv在對應(yīng)點(uv)zf[u(x,yv(x,y)]點(x,yzfu

v,zfufv u

vx u

vA

1(11n2(n2

n2

n

n11

11

1n2

n

n2

n

n12n2

n32n

2n2n

A2

12nn, AA1A2(1)n1由熟知ln(1x冪級數(shù)展開式,即ln(1x

x(1x1n 1 1

A12n2n4

(2

ln(1) ln2

1A22nn

(

( 1( 1 1 () ()ln(1) ln2

AA1

53ln2 yf(x)上點(x,f(xYf(x)f(x)(Xx)X0y軸上的截距Yf(xf(x)x1xf(t)dtf(x)f(x)xxx,得x求導(dǎo),得

xf(t)dtxf(x)f(x)x2 0f(x)f(x)xf(x)2xf(x)x2f(x) xf(x)f(x)0在(*)x0得00f(xxyy0xyy0xyy0xy0xyC1x0yC1x

yf(x)C1lnxC2yP(xyPxPP0yPC1xyf(xC1lnxC2【解析】由于問題涉及到f,f與f的關(guān)系,自然應(yīng)當(dāng)利用,而且應(yīng)在點c展開f(xf(cf(x)(xcf()(xc)2在cxx0,1f(0)f(c)f(c)(0c)

f(0(0c)2在c與0

f(c)f(c)(1c)

f(1(1c)2在c與1

f(1)f(0)f(c)1[f()(1c)2f

)c2], 于 f(c)f(1)f(0)1[f()(1c)2f

)c2]. 由 f(c)

f(0)122a1b[(1c)2c2]2ab12 【解析】(1AETT為數(shù),T為nA2(ET)(E

A2AE(2T因為是非零列向量,所以T0A2AT10即T(2)反證法.當(dāng)T1時,由(1)A2AAAA1A2A1AEAET

A 3A 3 c

rfrA2 3 3 3 3 可得c3A |EA 求得二次型矩陣的特征值為049 (2)因為二次型經(jīng)正交變換可化為4y29y2 f(xxx1,即4y29y2 【相關(guān)知識點】主軸定理：對于任一個nf(x,x ,x)xTAx xQyQ為nxTAxyT(QTAQ)yy2y2 y21 2 n其中1,2, ,n是實對稱矩陣A的n個特征值,Q的n個列向量1,2, ,n是A對應(yīng)于特征值1,2, ,n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.37D【解析】設(shè)C“抽取的產(chǎn)品是次品”, D“抽取的產(chǎn)品是工廠A生產(chǎn)的”, 表示“抽取的產(chǎn)品是工廠B生產(chǎn)的”,依題意有DP(D)0.60,P(D)0.40,P(C|D)0.01,P(C|D)0.02應(yīng)用可以求得條件概率P(D|C)P(D|C) P(D)P(C| 3P(D)P(C|D)P(D)P(C| 0.60.010.4 ,設(shè)試驗E的樣