河南省商丘市中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則()A．－3

B．－1

C．1

D．3參考答案：C略2.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以，得出，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出?！驹斀狻拷猓?，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義。若，，，，在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，分子分母同時(shí)應(yīng)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)。3.函數(shù)f（x）=（﹣1）sinx的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值，判斷即可．【解答】解：∵f（x）的函數(shù)的定義域?yàn)镽，∴f（﹣x）=（﹣1）sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=﹣（2﹣﹣1）sinx=（﹣1）sinx=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=（﹣1）sin1＜0，故選：B．4.下列特稱命題中，假命題是

（

）A．?x∈R，x2－2x－3＝0

B．至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除C．存在兩個(gè)相交平面垂直于同一直線

D．?x∈{x|x是無理數(shù)}，使x2是有理數(shù)參考答案：C5.給定公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}，設(shè)b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…，則數(shù)列{bn}(

)

(A)是等差數(shù)列

(B)是公比為q的等比數(shù)列

(C)是公比為q3的等比數(shù)列

(D)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列參考答案：C由題設(shè)，an=a1qn-1，則

因此，｛bn｝是公比為q3的等比數(shù)列．6.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列=（

）

A．2

B．33

C．84

D．189

參考答案：C略7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為63,則判斷框中應(yīng)填

A． B．

C．

D．參考答案：D略8.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

參考答案：A略9.已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且，，則的最大值為（

）A.5 B.4 C.3 D.2參考答案：C【分析】先根據(jù)已知分析出，再分析出,檢驗(yàn)即得解.【詳解】因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以,因?yàn)闉閳D象的對(duì)稱軸，所以（1）+（2）得，因?yàn)?(2)-(1)得,當(dāng)時(shí)，如果，令，當(dāng)k=2時(shí)，x=,與已知不符.如果，令，當(dāng)k=1時(shí)，x=,與已知不符.如果如果，令，當(dāng)k=1時(shí)，x=,與已知不符.如果，令，與已知相符.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知的展開式中的系數(shù)為，則的值等于（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)在曲線:上，點(diǎn)在曲線:上，點(diǎn)在曲線:上，則的最大值是

▲

．參考答案：12.設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)虛根.若，則實(shí)數(shù)

．參考答案：413.已知，則________．參考答案：

14.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1處取得極大值10，則a+b的值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】方程思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分別檢驗(yàn)a，b，由極大值的定義，即可得到所求和．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2+2ax+b，由在x=1處取得極大值10，可得f（1）=10，且f′（1）=0，即為1+a+b﹣a2﹣7a=10，3+2a+b=0，將b=﹣3﹣2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，解得a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．當(dāng)a=﹣2，b=1時(shí)，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），可得f（x）在x=1處取得極小值10；當(dāng)a=﹣6，b=9時(shí)，f′（x）=3x2﹣12x+9=（x﹣1）（3x﹣9），可得f（x）在x=1處取得極大值10．綜上可得，a=﹣6，b=9滿足題意．則a+b=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，注意運(yùn)用極值的定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，注意檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．15.已知函數(shù)y=sin4x+cos4x（x∈R）的值域是[，1]，則（1）函數(shù)y=sin6x+cos6x（x∈R）的值域是_________；（2）類比上述結(jié)論，函數(shù)y=sin2nx+cos2nx（n∈N*）的值域是_________．參考答案：（1）[，1]；（2）[，1]略16.若球的半徑為a，球的最大截面面積為，則二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________。參考答案：2417.若函數(shù)，則____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點(diǎn)，平面，，是中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：(1)證明：由題意，∥，= ∴四邊形為平行四邊形，所以. 又∵，

∴∥又平面，平面∴∥平面

………4分同理，∥平面，又∴平面∥平面.

…………6分（2）設(shè)求點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)閂三棱錐A-PCD=V三棱錐P-ACD即.

………12分

略19.（12分）對(duì)于函數(shù)f（x）=x2﹣lnx．（1）求其單調(diào)區(qū)間；（2）點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離；（3）若g（x）=8x﹣7lnx﹣k，f（x）與g（x）兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）根據(jù)題意得f（x）的定義域?yàn)閤＞0，通過f′（x）即得單調(diào)區(qū)間；（2）由題，令f′（x）==1，解得x=1或（舍），此時(shí)y=1﹣ln1=1，即曲線上過P（1，1）的切線平行于直線y=x﹣2時(shí)，有最小距離d==；（3）令f（x）=g（x），記G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，討論G′（x）即得結(jié)論．解：（1）根據(jù)題意，得f（x）的定義域?yàn)閤＞0，所以f′（x）=2x﹣=，故當(dāng)x∈（0，）時(shí)f′（x）＜0，即在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)f′（x）＞0，即在此區(qū)間里單調(diào)增；（2）由題，知直線y=x﹣2的斜率為k=1，令f′（x）==1，得2x2﹣x﹣1=（2x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或（舍），此時(shí)y=1﹣ln1=1，即曲線上過P（1，1）的切線平行于直線y=x﹣2時(shí)，那么這一點(diǎn)到直線的距離最小，此最小距離d==；（3）令f（x）=g（x），即x2﹣lnx=8x﹣7lnx﹣k，得k=﹣x2+8x﹣6lnx，記G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）===0，解得，x1=1，x2=3，不難判斷x1=1是極小點(diǎn)，x2=3是極大點(diǎn)，故Gmin（x）=G（1）=﹣1+8=7，Gmax（x）=G（3）=﹣9+24﹣6ln3=15﹣6ln3，又當(dāng)x→0時(shí)，G（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，G（x）→﹣∞，故要使f（x）與g（x）兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，必須有：7＜k＜15﹣6ln3．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，點(diǎn)到直線的距離，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（I）求函數(shù)在上的最小值；

（II）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（III）求證：對(duì)一切，都有參考答案：（I）f′（x）＝lnx＋1，當(dāng)x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（，＋∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

……2分①0＜t＜t＋2＜，t無解；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時(shí)，f（x）min＝f（）＝－；③≤t＜t＋2，即t≥時(shí)，f（x）在［t，t＋2］上單調(diào)遞增，f（x）min＝f（t）＝tlnt；所以f（x）min＝．

……5分（II）2xlnx≥－x2＋ax－3，則a≤2lnx＋x＋，

……6分設(shè)h（x）＝2lnx＋x＋（x＞0），則h′（x）＝，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，x∈（1，＋∞），h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）min＝h（1）＝4，因?yàn)閷?duì)一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min＝4．

……10分（III）問題等價(jià)于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），由（I）可知f（x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取到．設(shè)m（x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m′（x）＝，易得m（x）max＝m（1）＝－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到，從而對(duì)一切x∈（0，＋∞），都有l(wèi)nx＞－．

……14分略21.已知函數(shù)f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內(nèi)有極值．（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]時(shí)，求證：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．參考答案：（I）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0．令或，

則0＜a＜2．(II）由（I）得：，設(shè)ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的兩根為α，β，則，得．當(dāng)x∈（0，α）和（β，+∞）時(shí)，，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈和（2，β）時(shí)，，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，則f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），則f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ﹣alnα﹣==（利用）令，x＞2則，則函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，h（x）≥h（2）=2ln2+，∴，∵，則，∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．22.已知函數(shù).（Ⅰ）求