2016年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題解析一、填空題(每小題6分，共48分).3201除以100的余數(shù)為.解21.I由于第= 有32Olfi三(-l)looa+c；00s，(—L)100了T。(mod100),于是320]fi=21(mod100)..復(fù)數(shù)Z,Z滿足lzl=2,1zl=3,Iz+z1=4，則V的值是 ,1 2 1 2 1 2 z 2

;±宇匚設(shè)復(fù)數(shù)為,弱：與;±宇匚設(shè)復(fù)數(shù)為,弱：與+為在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4區(qū)匚，則四邊移a4cB構(gòu)成平行四邊強(qiáng).復(fù)數(shù)巴2 /的模為-,接下來電它的箱銜一在△U47中應(yīng)用余弦定理，有于是兇=進(jìn)而可售4爐+爐—磨3=ay”小李)小半3.用S(A)表示集合A的所有元素之和，且A={1,2,3,4,5,6,7,8},S(A)能被3整除，但不能被5整除，則符合條件的非空集合A的個(gè)數(shù)是于是使用S(A)能被3整除的非空集合A的小數(shù)有于是使用S(A)能被3整除的非空集合A的小數(shù)有接下來考慮5(A)能被15整除的非空集合A的小數(shù)，此時(shí)S(A)=15或S(A)=30.(1)S(A)=15.此時(shí)按最大元素分別為&7,6,5分類,分別有及4,3,1個(gè)，其計(jì)13小.(2)S(A)=30.此時(shí)只需要考慮取A)=G的情形.共有4小一綜上所述，符合梟件的非空巢合叢的個(gè)數(shù)為罰一13—4=70一將梟合4劃分為斗叢士={2,瓦S}：4={3jG),4.已知AABC中，sinA+2sinBcosC=0，則tanA的最大值是

由sinA—sin(B-f-C)—sinBcosC+cosBsin得3sinBcosC+cosZ?sinC=0,即3tanB+tanC-0.于是TOC\o"1-5"\h\z,r tanB+tanC2tanB 2 .y/3tanA=—tajifi?-C)=- -= =— 《1—tanB-tanC1+3tan2B1 ?.[.口8 3tanB等號(hào)當(dāng)tanB= .tanC=—>/3時(shí)取得.因此tanA的最大值為.5.若對(duì)任意實(shí)數(shù)％都有|2%一al+13%一2aI2a2，則a的取值范圍是.11313易知函數(shù)f(H)易知函數(shù)f(H)=|2i—a|4~|3i—2n.|在x=—處取得數(shù)小值八引=煤，于是解不等或國此。的取值范圍是6.若ae(—,—),國此。的取值范圍是6.若ae(—,—),be(0,1),%=(sina)iogbsina,y=(cosa)iogbcosa,則%^42y(填>尸,<)取環(huán)數(shù)，可得.In2silla.In2cosaIne=----—y=-----Inf?'?Intsina>cosa=>0sina>cosa=>0>Insina>Incosa=>In2sina<ln-minb=>hi2shift In2cosaInbIni?因此hiE>hi鞏從而h>y..梯形ABCD中，AB//CD,對(duì)角線AC,BD交于p,過p作AB的平行線交BC于點(diǎn)Q，AQ交BD于尸，過P作AB的平行線交BC于點(diǎn)Q，…，若AB=a,CD=b，貝UPQ=（用a,b,n表示）則取工=則取工=an=1n.數(shù)列｛an｝中，an是與量最接近的整數(shù)，解答題（第9小題滿分16分，第10、11小題滿分18分）.已知a,b,c>0,a+b+c=3，求 +-^2=+-^2=>3a+-?:bcb+caac+-:ab 2解由均值不等式，有解由均值不等式，有小4人一eye2a22a2因此原不等式得證一10?求所有函數(shù)f:N—N.，使得對(duì)任意正整數(shù)"y，0<|f(%).f(y)|<21%-y|.解=況一1,其中根據(jù)題意,取V=e+1,則有對(duì)任意HE網(wǎng)，均有口<|/任+1-<^ 1/（37+i）-y（x）1=1.考慮到對(duì)任意正整數(shù)工#隊(duì)I總工）一〃y）|>0，因此f為單射.這就意味著f（x-1）-f（x）=I或+1）—〃幻三一if否則淡然出現(xiàn)不同的自變量映射到同一個(gè)正整教，考慮到象的集合為網(wǎng)二因此/（H-1）-/（1）=!,進(jìn)而可得以凡）=f（l）+北一1,其中/（I）eN*.11.求方程2.5y.7z=1的所有非負(fù)整數(shù)解（兀y,z）.解（丁m4=也也0）/1口/）.模招題.寒，南（_1廣_（_1產(chǎn)，1&二］（mod3）,因此工為聲斑且V為偌藪,提了一Ojn—Lu一如.箕中m,n€N.于是原方程箸價(jià)于務(wù)產(chǎn)一如小下_1.若n#0..（hh1d嘰寺指,于是n?5此時(shí)原方程學(xué)■沛于3尸口一產(chǎn)一1.f"勞工=。，則m=0,因用佃4蘆）={LU,0）若在合題意的一紙解.⑻美工聲明則—（-1）'=1（uiixl好于是立為奇數(shù)，詼客L即+1