遼寧省鐵嶺市古于中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或白球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.75 D．0.7參考答案：B【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式．【分析】摸出黑球或白球的對立事件是摸出紅球，由此能求出摸出黑球或白球的概率．【解答】解：∵一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，∴摸出黑球或白球的對立事件是摸出紅球，∴摸出黑球或白球的概率p=1﹣0.45=0.55．故選：B．2.若直線y=kx﹣k交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3，則|AB|=（）A．12 B．10 C．8 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．【解答】解：直線y=kx﹣k恒過（1，0），恰好是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）拋物y2=4x的線準(zhǔn)線x=﹣1，線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3，x1+x2=6，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，故選：C．【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，主要解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離．3.等比數(shù)列{an}中，，，則（

）A.－4 B.4 C.±4 D.－5參考答案：A由等比數(shù)列性質(zhì)得因?yàn)榈缺葦?shù)列中，同號，所以，選A.4.已知直線y＝kx－2(k＞0)與拋物線C：x2＝8y相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝4|FB|，則k＝A．3

B．

C．

D．參考答案：B5.“a=2”是“函數(shù)f（x）=x2+ax+1在區(qū)間[﹣1，+∞）上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】函數(shù)f（x）=x2+ax+1在區(qū)間[﹣1，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出a的范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷充要條件即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2+ax+1在區(qū)間[﹣1，+∞）上為增函數(shù)，∴拋物線的對稱軸小于等于﹣1，∴﹣1，∴a≥2，“a=2”?“a≥2”，反之不成立．∴“a=2”是“函數(shù)f（x）=x2+ax+1在區(qū)間[﹣1，+∞）上為增函數(shù)”的充分不必要條件．故選A．6.四棱錐的側(cè)棱長均為，底面正方形的邊長為，為中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：C7.計(jì)算的結(jié)果為（

）A.0 B.1 C. D.參考答案：C【分析】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后分別代入積分上限和積分下限后作差得答案.【詳解】，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)定積分的運(yùn)算求解問題，屬于簡單題目.8.函數(shù)是（

）A．最小正周期為的偶函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：B9.下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（

）A．命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B．若命題，則命題是C．若為真命題，則，均為真命題D．“”是“”的充分不必要條件參考答案：C10.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i參考答案：C【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=ex（x＞0）的圖象上的動點(diǎn)，該圖象在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是．參考答案：（e+e﹣1）【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，em），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=m處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，求出切線方程，從而求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，將t用m表示出來，最后借助導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最大值即可．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，em）．∴該圖象在點(diǎn)P處的切線l的方程為y﹣em=em（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）em．過點(diǎn)P作l的垂線的切線方程為y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=em+me﹣m．∴線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t=[（2﹣m）em+me﹣m]．t'=[﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，t'＞0，當(dāng)m∈（1，+∞）時(shí)，t'＜0．∴當(dāng)m=1時(shí)t取最大值（e+e﹣1）．故答案為：（e+e﹣1）．12.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_______．參考答案：【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得切線斜率，即可求得切線方程.【詳解】，，即函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為1，所以切線方程為：.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出導(dǎo)函數(shù).13.若直線(3-a)x+(2a-1)y+7=0與直線(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，則a=______．參考答案：

a=14.觀察下列式子：，，，由此可歸納出的一般結(jié)論是

．參考答案：15.函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則

.參考答案：20

16.已知三點(diǎn)A（a,2）B(5,1)C(-4,2a)在同一條直線上，則a=

．參考答案：17.長方體ABCD-A1B1C1D1中，，，則異面直線與所成角的大小是

；與平面所成角的大小是

．參考答案：45°,30°畫出圖象如下圖所示，由圖可知，與所成角大小等于，;與平面所成角為,.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知A（1，2），B（a，1），C（2，3），D（﹣1，b）（a，b∈R）是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，且向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2．（Ⅰ）若z1+z2=1+i，求z1，z2（Ⅱ）若|z1+z2|=2，z1﹣z2為實(shí)數(shù)，求a，b的值．參考答案：【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】（I）向量=（a﹣1，﹣1），=（﹣3，b﹣3）對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=（a﹣1）﹣i，z2=﹣3+（b﹣3）i．利用z1+z2=（a﹣4）+（b﹣4）i=1+i．即可得出a，b．（II）|z1+z2|=2，z1﹣z2為實(shí)數(shù)，可得=2，（a+2）+（2﹣b）i∈R，即可得出．【解答】解：（I）向量=（a﹣1，﹣1），=（﹣3，b﹣3）對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=（a﹣1）﹣i，z2=﹣3+（b﹣3）i．∴z1+z2=（a﹣4）+（b﹣4）i=1+i．∴a﹣4=1，b﹣4=1．解得a=b=5．∴z1=4﹣i，z2=﹣3+2i．（II）|z1+z2|=2，z1﹣z2為實(shí)數(shù)，∴=2，（a+2）+（2﹣b）i∈R，∴2﹣b=0，解得b=2，∴（a﹣4）2+4=4，解得a=4．∴a=4，b=2．19.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，且c=2a，求cosB的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差關(guān)系的確定．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=2b，再利用正弦定理及誘導(dǎo)公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，將三邊長代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin=sin（A+C），則sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac，將c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．【點(diǎn)評】此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．20.(本題滿分10分)若實(shí)數(shù)、、滿足，則稱比接近.（1）若比3接近0，求的取值范圍；（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，求證：比接近。參考答案：(本題滿分10分)解：(1)∵比3接近0

∴

解得

∴的取值范圍為(-2,2)；

(2)對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，，

因?yàn)椋?/p>

所以，即a2b+ab2比a3+b3接近略21.(本小題12分)設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,(1)求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：(1)；(2).22.如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．分析：（Ⅰ）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)是兩條邊的中點(diǎn)，得到這條線是兩條邊的中位線，得到這條線平行于PC，根據(jù)線面平行的判定定理，得到線面平行．（Ⅱ）根據(jù)四個(gè)點(diǎn)是四條邊的中點(diǎn)，得到中位線，根據(jù)中位線定理得到四邊形是一個(gè)平行四邊形，根據(jù)兩條對角線垂直，得到平行四邊形是一個(gè)矩形．（Ⅲ）做出輔助線，證明存在點(diǎn)Q到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等，根據(jù)第二問證出的四邊形是矩形，根據(jù)矩形的兩條對角線互相平分，又可以證出另一個(gè)矩形，得到結(jié)論．解答：證明：（Ⅰ）∵D，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，∴DE∥PC，∵DE?平面BCP，∴DE∥平面BCP．

（Ⅱ）∵D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四邊形DEFG為