湖南省衡陽市市中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.八個(gè)一樣的小球按順序排成一排，涂上紅、白兩種顏色，5個(gè)涂紅色，三個(gè)涂白色，求恰好有個(gè)三個(gè)的連續(xù)的小球涂紅色，則涂法共有

（

）A

24種

B

30種

C

20種

D

36種

參考答案：A2.已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，則A∩B=（）A．[﹣1，2] B．[0，1] C．（0，1] D．（0，1）參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式變形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），則A∩B=（0，1），故選：D．3.化簡A.

B.

C.

D.參考答案：A4.設(shè)若，則的值是(

)

A.-1

B.2

C.1

D.-2參考答案：C5.已知函數(shù)，對任意，存在，使得，則的最小值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D6.已知函數(shù),當(dāng)x=a時(shí),取得最小值,則在直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的大致圖象為參考答案：B略7.函數(shù)的大致圖像是（

）A

BC

D參考答案：C8.如果函數(shù)y=2cos（3x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的對稱性．【分析】利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函數(shù)y=2cos（3x+φ）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，∴3?+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z，故么|φ|的最小值為，故選：D．9.已知函數(shù)f（x）=asinx+acosx（a＜0）的定義域?yàn)閇0，π]，最大值為4，則a的值為（）A．﹣B．﹣2C．﹣D．﹣4參考答案：D10.已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將α的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則A．－7 B．C． D．7參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，球心到平面的距離為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過作球的截面，則截面面積的最小值為

.

參考答案：略12.已知a，b均為單位向量，有下列四個(gè)命題：

其中真命題是

。參考答案：13.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則

。

參考答案：014.過雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)作漸近線垂線，垂足為A若△OAF的面積為2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】S△OAF=2，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a=b=2，即可得到雙曲線離心率的值．【解答】解：在Rt△OAF中，，同理，|OA|=a，∴，又S△OAF=2，∴ab=4，而，即a2+b2=8，∴a=b=2，∴．故答案為．15.已知數(shù)列{｝的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn十1＝2，則使不等式

成立的n的最大值為＿＿＿＿．參考答案：416.在等比數(shù)列{an}中，a1=3，2a1+a2=12，則a4=．參考答案：24【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1=3，2a1+a2=12，∴2×3+3q=12，解得q=2．則a4=3×23=24．故答案為：24．17.若，內(nèi)角A，B的對邊分別為a，b，則三角形ABC的形狀為．參考答案：等腰三角形或直角三角形【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】用誘導(dǎo)公式化簡已知，利用正弦定理將acosA=bcosB中等號兩邊的邊轉(zhuǎn)化為該邊所對角的正弦，化簡整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，acos（π﹣A）+bsin（+B）=0，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC為等腰或直角三角形，故答案為：等腰三角形或直角三角形【點(diǎn)評】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與二倍角的正弦的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)數(shù)列、的每一項(xiàng)都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列,.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）記，證明：對一切正整數(shù)，有.參考答案：（Ⅱ）因?yàn)椤?、成等差?shù)列，所以…①. 因?yàn)椤?、成等比?shù)列，所以，因?yàn)閿?shù)列、的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以…②.于是當(dāng)時(shí)…③. 將②、③代入①式，可得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，于是. 則. 當(dāng)時(shí)，，滿足該式子，所以對一切正整數(shù)，都有.（Ⅲ）方法一:，所以.于是. 方法二:.于是. 考點(diǎn)：1、等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)；2、數(shù)列的遞推公式；3、數(shù)列求和.19.設(shè)f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a．（1）求a；（2）已知p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值三角不等式；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）分類討論，求出函數(shù)的最小值，即可求a；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．【解答】解：（1）x≤﹣2時(shí)，f（x）=﹣x﹣1≥2；﹣2＜x＜0時(shí)，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；x≥0時(shí)，f（x）=x+1≥1∴f（x）的最小值為1，即a=1；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實(shí)數(shù)，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值為3．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=-lnx,

x∈[1,3].(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值；(Ⅱ)若f(x)＜4-at對于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)≤,故對任意x∈[1,3],f(x)＜4-at恒成立,只要4-at＞對任意t∈[0,2]恒成立,即at＜恒成立,記g(t)=at,t∈[0,2],所以,所以a<.21.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線被圓C所截得的弦長．參考答案：曲線C的極坐標(biāo)方程，

化為直角坐標(biāo)方程為:即

．…3分

直線為參數(shù)）可化為，…6分

圓心到直線的距離，………………8分

弦長．……………10分22.某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ（弧度）．（1）求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知在花壇的邊緣（實(shí)線部分）進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，y取得最大值？參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）利用扇形的弧長公式，結(jié)合環(huán)面的周長為30米，可求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出花壇的面積、裝飾總費(fèi)用，可求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，換元，利用基本不等式，可求最大值．【解答】解：（1）由題意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花壇