高中數(shù)學(xué)課件系列數(shù)列精講第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六數(shù)列綜合應(yīng)用數(shù)列數(shù)列的概念等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式遞推公式an與Sn的關(guān)系等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列求和與函數(shù)的關(guān)系等差、等比數(shù)列的基本應(yīng)用數(shù)列的定義知識(shí)結(jié)構(gòu)第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六方法要點(diǎn)1．本單元的主要內(nèi)容是數(shù)列的有關(guān)概念和兩種特殊數(shù)列——等差、等比數(shù)列.其中重點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)、數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的求法以及數(shù)列知識(shí)在實(shí)際方面的應(yīng)用.2.處理等差、等比數(shù)列的常用思路.3．?dāng)?shù)列通項(xiàng)、求和的常用方法.4．本章常用的數(shù)學(xué)思想和方法.第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六復(fù)習(xí)要求概述

數(shù)列單元復(fù)習(xí)中首先應(yīng)掌握基礎(chǔ)性知識(shí)，深刻理解本單元的基本知識(shí)點(diǎn)，基本數(shù)學(xué)思想和方法.然后要重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列通項(xiàng)的求法和特殊數(shù)列的求和，真正掌握基本方法的運(yùn)用.最后還應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透.數(shù)列部分的單元復(fù)習(xí)可分成如下四個(gè)方面展開：重現(xiàn)函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用.掌握等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及可化為等差、等比的簡單問題.同時(shí)重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用.進(jìn)一步加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，能應(yīng)用數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決生產(chǎn)、生活中的一些實(shí)際問題.通過設(shè)計(jì)一些新穎的題目和綜合性問題，尤其是開放性、探索性問題，突出“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維模式.第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六學(xué)生常見錯(cuò)誤剖析典型錯(cuò)誤1：對(duì)于與的關(guān)系考慮不周.例1數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.錯(cuò)解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

錯(cuò)因剖析：已知，求，通常用，但這是在的前提條件之下；時(shí)，不能用此公式求.第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六典型錯(cuò)誤2：片面理解有關(guān)題意.

例2首項(xiàng)是，第10項(xiàng)起開始比1大的等差數(shù)列的公差d的范圍是（）A．B．C．D．錯(cuò)解：由題意，即，解得，故選A.錯(cuò)因剖析：錯(cuò)誤原因在于審題僅考慮到這一條件而沒有注意到題中“開始”這一關(guān)鍵字眼.當(dāng)然也有選C者，雖注意到這一點(diǎn)，但由來求d的范圍而造成錯(cuò)解.第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六典型錯(cuò)誤3：忽視等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的適用條件.

例3等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)的和為，若成等比數(shù)列，試問是否成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由.錯(cuò)解：由題意，故，

.顯然，否則，,不合題意.故.

，因此成等差數(shù)列.錯(cuò)因剖析：當(dāng)問題涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，忽視了對(duì)公比及兩種情形進(jìn)行討論而致誤.第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六典型錯(cuò)誤4：對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)認(rèn)識(shí)不透.

例4已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且對(duì)一切正整數(shù)n,都有，試求的值.錯(cuò)解：設(shè)，則，，所以.錯(cuò)因剖析：錯(cuò)解在利用條件，設(shè)時(shí)，把k誤認(rèn)為是與n無關(guān)的常數(shù).事實(shí)上，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，在公差的條件下是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為零.第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六典型錯(cuò)誤5：對(duì)存款利率問題概念模糊不清.

例5一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？錯(cuò)解：因?yàn)槟昀什蛔?，所以每年到期時(shí)的錢數(shù)形成一個(gè)等比數(shù)列，那18年時(shí)取出的錢數(shù)應(yīng)為以a為首項(xiàng)，公比為1+r的第19項(xiàng)，即.錯(cuò)因剖析：上述解法只考慮了孩子出生時(shí)存入的a元到18年時(shí)的本息，而題目的要求是每年都要存入a元，事實(shí)上，不是求，而是求.第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六典型錯(cuò)誤6：數(shù)列求和時(shí)項(xiàng)數(shù)計(jì)算出錯(cuò).

例6一個(gè)數(shù)列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和.錯(cuò)解：，構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列..錯(cuò)因剖析：在求和值時(shí)，將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都假設(shè)是含n個(gè)項(xiàng)，所以結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的.第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六說明：在這類數(shù)列求和問題中，一定要分情況討論（項(xiàng)數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù)），若n是奇數(shù)，則設(shè)n＝2m＋1，其中有（m＋1）項(xiàng)是奇數(shù)項(xiàng)，m項(xiàng)是偶數(shù)項(xiàng)；若n是偶數(shù)，則設(shè)n＝2m，其中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)都為m，在得出含有m的結(jié)論后，再用n反代進(jìn)去，就可得出本題的最終結(jié)果，這樣的間接計(jì)算操作，可達(dá)化難為易之效果.第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六典型錯(cuò)誤7：用導(dǎo)數(shù)工具解決數(shù)列單調(diào)性時(shí)失誤.

例7已知遞增數(shù)列滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.錯(cuò)解：看成函數(shù)，定義域?yàn)?，由題意，在區(qū)間是增函數(shù)，

.錯(cuò)因剖析：事實(shí)上，函數(shù)為離散函數(shù)，其圖象是上的一串孤立點(diǎn).圖象上看，拋物線的對(duì)稱軸為應(yīng)在x＝1的左側(cè)，又因?yàn)閿?shù)列為離散函數(shù)，故只要對(duì)稱軸在的左側(cè)即可，而并非一定要在x＝1的左側(cè).第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六正解：看成函數(shù)，定義域?yàn)?，由題意，為遞增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為，拋物線的對(duì)稱軸為，應(yīng)在x＝1的左側(cè)，再注意到此函數(shù)為離散函數(shù)，故只要對(duì)稱軸在的左側(cè)即可，于是第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六說明：本題中可舉例說明滿足題意.當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式是一個(gè)二次函數(shù)時(shí)，若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不一定是正整數(shù)時(shí)，應(yīng)結(jié)合其圖象來確定最值（在離對(duì)稱軸較近的那個(gè)自然數(shù)取得最值）.若用導(dǎo)數(shù)法討論數(shù)列的單調(diào)性，不能直接對(duì)求導(dǎo)，應(yīng)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后再分析的單調(diào)性.這樣才能真正使學(xué)生弄清數(shù)列的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性的共性和個(gè)性，深刻認(rèn)識(shí)其本質(zhì)的區(qū)別在于定義域不同.第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六教學(xué)設(shè)計(jì)：數(shù)列的單調(diào)性問題

【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，會(huì)求數(shù)列的an或Sn的極值.2、能運(yùn)用函數(shù)、不等式的思想，解決有關(guān)數(shù)列問題.3、逐步學(xué)會(huì)對(duì)比較復(fù)雜、抽象的問題進(jìn)行等價(jià)變換等數(shù)學(xué)的思想方法.【教學(xué)重點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法，an或Sn的極值求法.【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)比較復(fù)雜、抽象的問題進(jìn)行等價(jià)變換的思想方法及含參數(shù)問題的討論.第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六【復(fù)習(xí)引入】

1.數(shù)列的概念對(duì)照兩種定義，強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn)下的數(shù)列定義，明確數(shù)列的有序性是數(shù)列定義的靈魂，有助于理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).2.函數(shù)視角看數(shù)列在函數(shù)觀點(diǎn)下，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式，數(shù)列可看作定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，故可用函數(shù)觀點(diǎn)來研究數(shù)列，如遞增、遞減、最大項(xiàng)、最小項(xiàng)等.第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六【講授新課】1.數(shù)列的單調(diào)性定義在數(shù)列中，如果對(duì)都成立，那么就稱數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；如果對(duì)都成立，那么稱數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.數(shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來刻畫.第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六2.等差、等比數(shù)列的單調(diào)性

對(duì)于等差數(shù)列而言，其增減性較簡單，簡述如下：公差為遞增數(shù)列;公差為常數(shù)列;公差為遞減數(shù)列.相比較而言，等比數(shù)列的增減性稍顯復(fù)雜，我們可以考察的值來研究，易得如下的結(jié)論：在等比數(shù)列中，公比為q，則或遞增數(shù)列;

或遞減數(shù)列;

非零常數(shù)列;

擺動(dòng)數(shù)列.第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六思考：對(duì)于一般的數(shù)列，如何來研究其增減性呢？從等比數(shù)列增減性研究過程中，不難發(fā)現(xiàn)，其一般方法是先作差（或作商），再變形，最后判斷n為何值時(shí)，差為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，至此，數(shù)列的增減性就清楚了.第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六【例題分析】例1設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性.第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六例2已知且數(shù)列是首項(xiàng)為公比也為的等比數(shù)列，令問是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出相應(yīng)a的范圍；若不存在，說明理由.第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六【有關(guān)應(yīng)用】(1)求數(shù)列的最值例3已知，試問：數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六2)求參數(shù)的取值范圍例4已知不等式對(duì)一切大于1的正整數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六3)證明有關(guān)不等式例5證明:對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，恒有第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六【提煉總結(jié)】1)數(shù)列是一種