選修系列4高考舉例選修系列4高考舉例選修系列4高考舉例普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-1幾何證明選講簡介一、內(nèi)容與要求1．復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。2．證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理。3．證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。4．了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。5．通過觀察平面截圓錐面的情境，體會圓錐曲線的來歷，并能證明交線為橢圓時(shí)的一些幾何性質(zhì)（如橢圓的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率e，等等。）主要內(nèi)容及培養(yǎng)的能力復(fù)習(xí)相似圖形的性質(zhì)。證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理。進(jìn)一步探索圓錐曲線的性質(zhì)。提高學(xué)生空間想象能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力。二、課時(shí)安排及說明1．本專題分三講，共18課時(shí)，具體分配如下（供參考）：第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)約６課時(shí)第二講直線與圓的位置關(guān)系約８課時(shí)第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討約３課時(shí)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告約１課時(shí)（1）三講的內(nèi)容相對獨(dú)立，每一講的內(nèi)容自成體系，都依托于自身的邏輯起點(diǎn)而展開

2．對內(nèi)容安排的幾點(diǎn)說明一、平行線等分線段定理

二、平行線分線段成比例定理

三、相似三角形的判定及性質(zhì)

四、直角三角形的射影定理第一講以“平行線分線段成比例定理”為起點(diǎn)，給出相似三角形定義后，逐步討論相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。其中，基本數(shù)學(xué)思想方法是比例及其性質(zhì)的應(yīng)用。第二講以“圓周角定理”和“圓的切線概念”為起點(diǎn)，采用從特殊到一般的思想方法，得出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定定理的猜想及其證明，圓的切線的性質(zhì)和判定的有關(guān)定理。一、圓周角定理

二、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

三、圓的切線的性質(zhì)及判定定理

四、弦切角的性質(zhì)

五、與圓有關(guān)的比例線段第三講以“平行射影”為起點(diǎn)，充分利用圖形直觀，對圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行討論，用綜合幾何的方法認(rèn)識圓錐曲線，這是以往教材中沒有涉及的內(nèi)容。一、平行射影

二、平面與圓柱面的截線

三、平面與圓錐面的截線例如，在討論“與圓有關(guān)的比例線段”（相交弦定理、割線定理、切割線定理）時(shí)，用到了相似三角形的判定定理；證明第三講中的定理1、定理2時(shí)，用到了切線長定理．這樣就形成了一個(gè)系統(tǒng)的知識系．這個(gè)系統(tǒng)中的知識點(diǎn)，由邏輯關(guān)系相互關(guān)聯(lián)而形成緊密的聯(lián)系。（2）三講內(nèi)容有緊密的邏輯聯(lián)系平行線分線段成比例性質(zhì)相似三角形判定射影定理相似三角形性質(zhì)圓的切線性質(zhì)與判定圓周角性質(zhì)弦切角性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定與圓有關(guān)的比例線段平面與圓柱面的截線平面與圓錐面的截線三、編寫中考慮的幾個(gè)問題1．突出數(shù)學(xué)思想方法的滲透和理解本專題中的主要數(shù)學(xué)思想方法包括：特殊化思想方法、化歸思想方法、分類思想方法、運(yùn)動變化思想方法，涉及到觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等合情推理的方法，也涉及到演繹推理、反證法、同一法等邏輯推理的方法．

首先，通過一組實(shí)例，采用“操作確認(rèn)”的方法，讓學(xué)生在觀察、測量的基礎(chǔ)上用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，得出猜想。這個(gè)過程滲透了從特殊到一般、化歸等方法。案例1平行線等分線段定理

平行線分線段成比例定理案例2弦切角在獲得平行線等分線段定理的猜想后，分如下步驟進(jìn)行證明：先討論特殊情形——直線構(gòu)成平行四邊形；再討論一般情形——將一般情形化歸為特殊情形。在獲得“等分”情形下的證明后，再推廣到“非等分”，即“成比例”的情形。而平行線分線段成比例定理的證明采用“非等分”化歸為“等分”的方法。先用運(yùn)動變化思想，從圓內(nèi)接四邊形運(yùn)動到極端情形（有兩個(gè)頂點(diǎn)重合），由“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”猜想“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”。再用分類思想，把弦切角分為三類（以弦過圓心為分界點(diǎn)），先證明弦過圓心時(shí)命題成立，再把其他兩種情形化歸為弦過圓心時(shí)的情形。案例2弦切角定理2．強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)生發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力

在融合知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的認(rèn)知過程的基礎(chǔ)上，通過展示“過程”，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟定理產(chǎn)生的背景，經(jīng)歷知識發(fā)展的過程，從而提高學(xué)生觀察問題、提出問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。案例3圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

類比“任意三角形都有外接圓”，提出“任意四邊形是否都有外接圓”的問題引發(fā)思考。引導(dǎo)學(xué)生從正方形、矩形等特殊四邊形出發(fā)，考察內(nèi)接于圓的四邊形會有怎樣的共同特征，得出圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的猜想和證明?？疾炱淠婷}是否成立，即證明圓內(nèi)接四邊形的判定定理。編寫特點(diǎn)：知識的發(fā)生是在類比“任意三角形都有外接圓”而提出的，做到了自然而水到渠成；從性質(zhì)到判定，因有較多的條件可用，易于發(fā)現(xiàn)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)的特征，方向性好；性質(zhì)定理的考察中，運(yùn)用了從特殊到一般的思路；判定定理的證明要同時(shí)用到分類討論和反證法，教科書采取啟發(fā)式講授法，先講證明，再歸納總結(jié)思想方法；讓學(xué)生獨(dú)立證明判定定理的推論。

3．加強(qiáng)推理能力的培養(yǎng)

推理包括邏輯推理與合情推理措施：加強(qiáng)幾何定理的產(chǎn)生過程，使合情推理的成分得到有效滲透，在得到幾何定理的猜想中訓(xùn)練合情推理能力；給出證明幾何定理的嚴(yán)格的邏輯推理過程示范，讓學(xué)生有學(xué)習(xí)和模仿的范例；及時(shí)總結(jié)和概括推理的思想方法，如分析法、綜合法、反證法、同一法等，以及分類思想、化歸思想、猜想與證明、從特殊到一般等等。4．加強(qiáng)幾何直觀能力的培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)在直觀圖形背景中的直觀思考，給學(xué)生提供觀察圖形、建立聯(lián)系、獲得幾何定理猜想的基礎(chǔ)；強(qiáng)調(diào)運(yùn)動變化過程中的圖形直觀，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)動過程中圖形的不變性；在從平面到空間的推廣過程中，通過圖形的變異提供圖形直觀的機(jī)會，加強(qiáng)空間想象能力的培養(yǎng)。四、對教學(xué)的兩個(gè)建議1．把握教學(xué)要求，控制教學(xué)難度主要目的是通過證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理，以及對圓錐曲線性質(zhì)的探索，提高學(xué)生空間想像能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力，并不是要對幾何證明進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)和提高，因此，教學(xué)中一定要注意控制難度，不在幾何難題上做文章。注意根據(jù)教科書安