《利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性》教學設計

課題：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

教材：人教B版《數(shù)學》選修2-2

課時1課時

教學目標

1、知識目標：借助于函數(shù)的圖像了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；會判斷具體函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；會求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2、能力目標：培養(yǎng)學生的觀察能力、歸納能力，增強數(shù)形結合的思維意識。

3、情感目標：通過實例探究函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系的過程，體會知識間的相互聯(lián)系和運動變化的觀點，提高理性思維能力。

重點與難點

教學重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

教學難點：提高靈活應用導數(shù)法解決有關函數(shù)單調(diào)性問題的能力。

教學方法

1．教學方法的選擇：1．自主探究法、比較法

2．教學手段的利用：本節(jié)課采用多媒體課件等輔助手段以加大課堂容量，通過數(shù)形結合，使抽象的知識直觀化、形象化，以促進學生的理解。

教學準備

多媒體（畫出函數(shù)①②③在同一個坐標系下的圖象）；

教學過程

（一）回顧與思考

1．如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？（引導學生回顧“定義法”與“圖象法”）

說明：通過本題使學生鞏固常用判斷單調(diào)性的方法（1）定義法（2）圖象法，為導數(shù)法的引入作好鋪墊作用。

2．如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？，呢？

3．還有其它方法嗎？（引出課題）學生思考、并舉手回答。

說明：通過本題使學生認識到（1）定義法（2）圖象法不再適用，培養(yǎng)學生提出問題的能力，從而為導數(shù)法的引入提供必要性和合理性，本例也是整節(jié)課學生思維開始活躍的開始，為思維的合理、有序的發(fā)展奠定了基調(diào)。

（二）觀察與表達

引例：觀察函數(shù)的圖像

問題：1．直觀判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么？

2．觀察單調(diào)性與函數(shù)圖像在相應區(qū)間上切線的斜率有何關系？

3．總結單調(diào)性與函數(shù)在相應區(qū)間上的導數(shù)有何關系？

（引導學生總結，教師板書）

函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)在相應區(qū)間上的導數(shù)的關系：在某個區(qū)間內(nèi)，

在內(nèi)單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減。

（三）知識與應用

應用導數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

例1．判斷函數(shù)的單調(diào)性（教師板書過程）

設計意圖：1．檢驗和剛才觀察的是否一致；

2．形象說明單調(diào)區(qū)間一般不能寫成并集形式；

3．了解三次函數(shù)的一般圖像特征；

4．總結導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟。

（1）求定義域；（2）求導數(shù)；（3），則為增（減）函數(shù)。

練習：求函數(shù)和的單調(diào)區(qū)間。（注：定義域優(yōu)先）（第二題學生板演）

利用導數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性：

例2.求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù).

利用導數(shù)求方程的根：

例3.已知方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是

試結合思考：若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上是否必有導數(shù)大于零？

拓展：已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.

說明：此處達到了整節(jié)課的高潮，全面、直觀的體現(xiàn)了導數(shù)法與函數(shù)單調(diào)性的邏輯關系，因為此問題的解決比較抽象，但現(xiàn)象很簡單，所以迂回解決的策略即“正難則反”。

除了解決的必要性以外，關鍵的是培養(yǎng)學生看問題的正確方法：矛盾的觀點（即一分為二），任何時候都要辨證的分析和處理。

總之，整堂課始終以“問題為中心”，圍繞著學生自我發(fā)現(xiàn)、自我解決，而教師起穿針引線的作用的思路展開的，學生的活動也比較充分、積極。但由于本課內(nèi)容屬于高等數(shù)學，故應有意識、有選擇的控制難度?；乇苣承┲R盲點，以引起不必要的無效爭論，弱化主題，在中學階段應明確其主要作用——應用。

（四）練習與鞏固

1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A．B．，C．D．

2．若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則的范圍()

A．B．C．D．

3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）

AB

CD

說明：通過本題培養(yǎng)學生應用、拓廣的能力，強化教學目標2、3，可拓廣為討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（此函數(shù)模型很重要，可解決均值定理取不到等號問題，在很多高考題中曾涉及）

（五）反思與小結

1．導數(shù)法判定單調(diào)性的步驟：

（1）求定義域；（2）求導數(shù)；（3），則為增（減）函數(shù)；

2.實際應用；

3．已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍；

3．注意：則為增函數(shù)的充分不必要條件；

4．思想方法：數(shù)形結合、分類討論等。

(六)作業(yè)與思考

必做題:《教材》P27練習A：3、4

選做題：判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性

五．時間安排

回顧與思考5分鐘觀察與表達7分鐘

知識應用28分鐘課后小結3分鐘

作業(yè)設計2分鐘

六．板書設計

學情分析“函數(shù)單調(diào)性”，“導數(shù)”這兩個概念學生并不陌生，因為學生已經(jīng)系統(tǒng)的研究了一些基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)。之前又學習了導數(shù)的概念、計算、幾何意義等內(nèi)容，所以，在知識儲備方面，學生已經(jīng)具備足夠的認知基礎。但要將二者聯(lián)系到一起，學生對數(shù)學整體的認識以及進行抽象概括的能力還不夠，在教學中，還需要引導學生通過觀察圖形逐步得出函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)的正負關系，使學生充分體驗到用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時的有效性和優(yōu)越性。效果分析1、通過復習讓學生回顧用定義法和圖像法判斷函數(shù)的點調(diào)性，進而引入利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，便于學生的理解。2、先是學習函數(shù)與導數(shù)之間的關系，再學習利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后學習已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，知識點層層遞進，符合學生學習規(guī)律，是學生對本節(jié)課的重難點有了更深的認識。3、設置討論環(huán)節(jié)，學生進行小組討論，既能鍛煉學生的思維能力，又能活躍課堂氣氛。4、通過ppt進行教學，與現(xiàn)代教育手段相結合，使教授內(nèi)容便于理解。教材分析教材背景：微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣發(fā)應用，開創(chuàng)了近代數(shù)學過度的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導數(shù)是微積分的核心概念之一，是高中數(shù)學新教材新增知識，在研究函數(shù)性質(zhì)時有獨到之處，體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學思想.地位與作用：本節(jié)的教學內(nèi)容屬導數(shù)的應用，是在學習了導數(shù)的概念、運算和幾何意義的基礎上學習的內(nèi)容.學好它既可加深對導數(shù)的理解，又為研究函數(shù)的極值和最值打好基礎.教材的這種設計獨具匠心，起到了承前啟后的作用。由于學生在高一已經(jīng)掌握了單調(diào)性的定義，并能用定義判定在給定區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。通過本節(jié)課的學習，應使學生體驗到，用導數(shù)判斷單調(diào)性要比用定義判斷簡捷得多（尤其對于三次和三次以上的多項式函數(shù)，或圖象難以畫出的函數(shù)而言），充分展示了導數(shù)解決問題的優(yōu)越性。自我小測1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，－2)B．(－2,2) C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(2，＋∞)B．(0,3) C．(1,4)D．(－∞，2)3．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))B．(π，2π) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(5π,2)))D．(2π，3π)4．已知函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．(－2,1)D．[－1,2]5．已知f′(x)是f(x)的導數(shù)，且y＝xf′(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A．f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù) B．f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)C．f(x)在(－1,0)上是增函數(shù) D．f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)6．設f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，則當a＜x＜b時有()A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x) C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)7．函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋5的單調(diào)增區(qū)間為________，單調(diào)減區(qū)間為________________．8．如果函數(shù)f(x)＝－x3＋bx(b為常數(shù))在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，則b的取值范圍是__________．9．若函數(shù)y＝f(x)圖象上任意一點(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝(x0＋1)(x0＋3)2，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．10．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(其中a∈R，a＞0)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2,2)，試求其單調(diào)遞減區(qū)間．11．已知0＜x＜eq\f(π,2)，求證：tanx＞x.12．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的范圍；(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

參考答案1．解析：f′(x)＝x2－4，令x2－4＜0，得－2＜x＜2，即單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)．答案：B2．解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，即ex(x－2)＞0，得x＞2，故單調(diào)遞增區(qū)間是(2，＋∞)．答案：A3．解析：y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，當x∈(π，2π)時，－xsinx＞0，故函數(shù)y＝xcosx－sinx在(π，2π)上為增函數(shù)．答案：B4．解析：假設函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)，則由y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，得Δ＝(2b)2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.又因為y′不恒大于0，故實數(shù)b的取值范圍為b＜－1或b＞2.答案：A5．解析：由已知圖象可知：當x∈(－∞，－1)，(－1,0)，(0,1)，(1，＋∞)時，分別有f′(x)＞0，f′(x)＜0，f′(x)＞0，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)和(－1,1)上無單調(diào)性，在(－1,0)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，故選D.答案：D6．解析：記F(x)＝eq\f(fx,gx)，則F′(x)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).∵f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，∴F′(x)＜0，即F(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)．又a＜x＜b，∴F(x)＞F(b)，∴eq\f(fx,gx)＞eq\f(fb,gb)，∴f(x)g(b)＞g(x)f(b)．答案：C7．解析：y′＝－x2＋2x，令y′＞0，得0＜x＜2，令y′＜0，得x＜0或x＞2，故函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋5的單調(diào)增區(qū)間為(0,2)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)．答案：(0,2)(－∞，0)，(2，＋∞)8．解析：∵f′(x)＝－3x2＋b≥0(0＜x＜1)恒成立，∴b≥3x2(0＜x＜1)恒成立，故b≥3.答案：[3，＋∞)9．解析：依題意得f′(x)＝(x＋1)(x＋3)2，由f′(x)≥0得x≥－1，所以單調(diào)遞增區(qū)間是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)10．解：由于a＞0，所以f(x)的定義域是R，且f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,x2＋a2)＝eq\f(－x2＋a,x2＋a2)，令f′(x)＞0，即eq\f(－x2＋a,x2＋a2)＞0，得x2－a＜0，其解集為(－2,2)，故a＝4，這時f′(x)＝eq\f(－x2＋4,x2＋42).令f′(x)＜0，得x＜－2或x＞2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間應是(－∞，－2)和(2，＋∞)．11．證明：令f(x)＝tanx－x，顯然f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是連續(xù)的，且f(0)＝0.∵f′(x)＝(tanx－x)′＝eq\f(1,cos2x)－1＝tan2x，∴當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f′(x)＞0，即在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)f(x)是增函數(shù)．故當0＜x＜eq\f(π,2)時，f(x)＞f(0)＝0，即tanx－x＞0.故當0＜x＜eq\f(π,2)時，tanx＞x.12．解：(1)由題意得，f′(x)＝ex－a，令f′(x)≥0，得ex≥a，當a≤0時，有f′(x)≥0在R上恒成立；當a＞0時，有x≥lna.綜上，當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋∞)，當a＞0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[lna，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，lna]．(2)由于f′(x)＝ex－a，依題意，應有ex－a≥0在R上恒成立，即a≤ex.當x∈R時，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.(3)f′(x)＝ex－a.若f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立，即a≥ex，而當x∈(－∞，0]時，ex≤1，∴a≥1；若f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立．即a≤ex，而當x∈[0，＋∞)時，ex≥1，∴a≤1.綜上可得a＝1，故存在a＝1滿足條件．課后反思1、學生在做已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍題型時有一定的困難，課后還需要加強練習。2、做題時應規(guī)范學生的做題步驟和提高學生的做題速度。課標分析《利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性》是人教B版選修2-2"導數(shù)的應用"中的第一節(jié)內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容隸屬于導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，是在學生學習了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的概念、運算、幾何意義的基礎上進行的。一方面，函數(shù)單調(diào)性是高中階段刻劃函數(shù)變化的一個最基本