單元質(zhì)檢八立體幾何(A)(時間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.下列命題錯誤的是()A.三角形的兩條邊平行于一個平面,則第三邊也平行于這個平面B.平面α∥平面β,a?α,過β內(nèi)的一點B有唯一的一條直線b,使b∥aC.平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,α,β,γ,δ所成的交線為a,b,c,d,則a∥b∥c∥dD.一條直線與兩個平面所成的角相等,則這兩個平面平行答案:D解析:A正確,三角形可以確定一個平面,若三角形兩邊平行于一個平面,則它所在的平面與這個平面平行,故第三邊平行于這個平面;B正確,平面α與平面β平行,則平面α中的直線a必平行于平面β,平面β內(nèi)的一點與這條線可以確定一個平面,這個平面與平面β交于一條直線,過該點在平面β內(nèi)只有這條直線與a平行;C正確,利用同一平面內(nèi)不相交的兩條直線一定平行判斷即可確定C是正確的;D錯誤,一條直線與兩個平面所成的角相等,這兩個平面可能是相交平面,故選D.2.如圖,一個透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個共底面的圓錐,且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上,已知圓錐底面面積是這個球面面積的316,則較大圓錐與較小圓錐的體積之比為(A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1答案:B解析:不妨設(shè)球的半徑為4,則球的表面積為64π,圓錐的底面積為12π,故圓錐的底面半徑為23.由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離、球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形,由此可以求得球心到圓錐底面的距離是42-(23)2=2,所以圓錐體積較小者的高為4-2=2,同理可得圓錐體積較大者的高為4+2=6.3.一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體外接球的表面積為()A.28π B.32π C.36π D.112答案:D解析:該幾何體是一個底面為正方形的四棱錐,其中一個側(cè)面為正三角形且與底面垂直,分別過正方形底面和正三角形側(cè)面的中心作面的垂線,交點為外接球球心,由勾股定理求得球的半徑為283,表面積為1124.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題:“今有筑城,上廣二丈,下廣五丈四尺,高三丈八尺,長五千五百五十尺,秋程人功三百尺.問:須工幾何?”意思是:“現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻,其中底面等腰梯形的上底為2丈,下底為5.4丈,高為3.8丈,直棱柱的側(cè)棱長為5550尺.如果一個秋天工期的單個人可以筑出300立方尺,問:一個秋天工期需要多少個人才能筑起這個城墻?”(注:一丈等于十尺)()A.24642 B.26011 C.52022 D.78033答案:B解析:根據(jù)棱柱的體積公式,可得城墻所需土方為20+542×38×5550=7803300(立方尺),一個秋天工期所需人數(shù)為7803300300=5.(2020廣西欽州一模)在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC,BD的中點,AD=6,BC=4,EF=2,則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.34 B.56 C.910答案:D解析:如圖所示,取CD的中點G,連接EG,FG,則FG∥BC,EG∥AD.∴異面直線AD與BC所成的角為∠EGF或其補角.∵FG=12BC=2,EG=12∴cos∠EGF=4+9-∴異面直線AD與BC所成角的余弦值為1112.故選D6.某幾何體的三視圖如圖所示,則在該幾何體中,面積最大的側(cè)面的面積為()A.22 B.52 C.62答案:B解析:由三視圖可知,幾何體的直觀圖如圖所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱錐A-BCDE的高為1,四邊形BCDE是邊長為1的正方形,則S△AED=12×1×1=12,S△ABC=S△ABE=12×1×2=22,S△ACD=1二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.已知矩形ABCD的邊AB=a,BC=3,PA⊥平面ABCD,若邊BC上有且只有一點M,使PM⊥DM,則a的值為.

答案:1.5解析:如圖,連接AM.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DM.若邊BC上有且只有一點M,使PM⊥MD,則DM⊥平面PAM,即DM⊥AM,故以AD為直徑的圓和BC相切即可.因為AD=BC=3,所以圓的半徑為1.5,要使線段BC和半徑為1.5的圓相切,則AB=1.5,即a=1.5.8.在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=2,點E是BC的中點,點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點,則該三棱錐外接球的表面積為.

答案:60解析:由題意知,△BCD為等腰直角三角形,點E是△BCD外接圓的圓心,點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點F,則BF=1+14=5設(shè)三棱錐A-BCD外接球的球心O到平面BCD的距離為h,球O的半徑為r,則r2=1+h2=14∴h=211,r=1+∴該三棱錐外接球的表面積為4π×1511三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.答案:(1)證明因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點,所以O(shè)P⊥AC,且OP=23.如圖,連接OB,因為AB=BC=22AC所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC且OB∩AC=O,OB,AC?平面ABC知,PO⊥平面ABC.(2)解如圖,作CH⊥OM,垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC=12AC=2,CM=23BC=423所以O(shè)M=253,CH=所以點C到平面POM的距離為4510.(15分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)證明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.答案:(1)證明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D為坐標(biāo)原點,DA的方向為x軸正方向,|DA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z),則CB所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECC1的法向量為m=(x,y,z),則C所以可取m=(1,1,0).于是cos<n,m>=n·m|所以,二面角B-EC-C1的正弦值為3211.(15分)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形,∠BAD=120°,AB=2,E,F分別為CD,AA1的中點.(1)求證:DF∥平面B1AE;(2)若AA1⊥底面ABCD,且直線AD1與平面B1AE所成角的正弦值為34,求線段AA1的長答案:(1)證明設(shè)G為AB1的中點,連接EG,GF,因為FG12A1B1又DE12A1B1,所以FGDE所以四邊形DEGF是平行四邊形,所以DF∥EG.又DF?平面B1AE,EG?平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.(2)解因為四邊形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC是等邊三角形.取BC的中點G,則AG⊥AD.因為AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AG,AA1⊥AD,建立如