考點梳理1．直線的方向向量與平面的法向量第6講立體幾何中的向量方法(Ⅰ) ——證明平行與垂直非零向量(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?___________.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個實數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?___________.(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?___________.2．用向量證明空間中的平行關(guān)系v1∥v2v⊥uu1∥u2(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?_____________.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?__________.(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?________________________.3．用向量證明空間中的垂直關(guān)系v1·v2＝0v∥uu1⊥u2?u1·u2＝0一個命題規(guī)律空間向量與立體幾何知識的結(jié)合為每年的必考內(nèi)容，通常有一道綜合題，難度不是很大，運用向量法解決可以降低思維難度，一般可采用傳統(tǒng)方法與向量法求解．主要考查運算能力和空間想象能力．【助學(xué)·微博】1．已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是________．

解析∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.

答案平行2．已知平面α內(nèi)有一個點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量是n＝(6，－3,6)，給出下列四個P點，則點P在平面α內(nèi)的是_______．①P(2,3,3)；②P(－2,0,1)；③P(－4,4,0);④P(3，－3,4)．考點自測答案①答案充分不必要4．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，則下列給出的四個結(jié)論．①a∥c，b∥c；②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b；④以上都不對．其中正確結(jié)論的序號是________．解析∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.

答案③【例1】如圖銀所示舍，已濃知直然三棱冬柱AB迎C－A1B1C1中，煤△AB曉C為等矮腰直找角三婦角形誰，∠BA曉C＝90襲°，且AB＝AA1，D、E、F分別兔為B1A、C1C、BC的中凍點．騎求證爺：(1施)DE∥平鍛面AB緞C；(2毀)B1F⊥平怎面AE捐F.考向匪一利用每空間薪向量掙證明回平行道問題證明如圖銳建立親空間盜直角班坐標(biāo)他系A(chǔ)－xy暗z，令A(yù)B＝AA1＝4，則A(0越,0異,0禿)，E(0滔,4熟,2嗽)，F(xiàn)(2疑,2奔,0繩)，B(4妥,0葉,0已)，B1(4鋤,0灣,4央)．(1沉)取AB中點拋為N，連意接CN，則N(2匯,0舍,0小)，C(0秧,4凳,0公)，D(2冊,0短,2曲)，[方法份總結(jié)]證明押直線稈與平攀面平萄行，堂只須與證明自直線宋的方埋向向子量與膠平面勵的法家向量吃的數(shù)逝量積煉為零幸或證找明直僻線的壯方向咸向量徑與平骨面內(nèi)點的不織共線賢的兩暈個向撓量共擺面，栗然后水說明融直線局在平尺面外辨即可援．這那樣就后把幾醉何的機證明盼問題夜轉(zhuǎn)化避為向團量的銳計算慌問題攏．【訓(xùn)練1】如圖示所示貸，平殲面PA瞞D⊥平設(shè)面AB來CD，AB妨CD為正啊方形際，△PA點D是直頌角三艷角形碑，且PA＝AD＝2，E、F、G分別顧是線臟段PA、PD、CD的中嚼點．隆求證睛：PB∥平蓬面EF來G.證明∵平醒面PA固D⊥平腹面AB星CD且AB忌CD為正燈方形艱，∴AB、AP、AD兩兩代垂直瞧，以A為坐燃標(biāo)原政點，謙建立謠如圖箏所示價的空該間直自角坐存標(biāo)系A(chǔ)－xy餓z，則A(0變,0伍,0機)、B(2委,0鋼,0灶)、C(2奧,2至,0敞)、D(0獨,2千,0桶)、P(0粗,0釘,2效)、E(0伙,0亞,1殲)、F(0勻,1讓,1投)、G(1削,2質(zhì),0架)．【例2】如圖猜所示宰，在暗四棱次錐P－AB修CD中，PA⊥底峰面AB疤CD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠AB超C＝60塔°，PA＝AB＝BC，E是PC的中先點．躲證明拉：(1陳)AE⊥CD；(2袍)PD⊥平列面AB賞E.考向摟二利用乓空間挑向量匙證明教垂直戀問題證明AB、AD、AP兩兩除垂直景，建立到如圖前所示餃的空膛間直骨角坐碰標(biāo)系姜，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P(0銳,0擇,1漸)．(1歷)∵∠AB伸C＝60膚°，△AB畏C為正肢三角飄形．[方法落總結(jié)]證明沉直線橫與直燭線垂橋直，謀只需殖要證段明兩央條直祝線的胡方向撞向量荷垂直淡，而聲直線焦與平道面垂競直，進(jìn)平面互與平就面垂洞直可念轉(zhuǎn)化日為證沾明直蠻線與幣直線熊垂直蹄．解如圖五，以D為坐榨標(biāo)原棚點，產(chǎn)線段DA的長和為單懸位長商，射勵線DA為x軸的攜正半鑰軸建醉立空翼間直吩角坐慈標(biāo)系D－xy鼓z.考向相三利用浴空間扯向量短解決揮探索能性問頭題(1春)證明∵PA⊥面AB娘CD，∴PB與面AB役CD所成壩的角鄙為∠PB蟻A＝45湖°.∴AB＝1，由容∠AB鞠C＝∠BA邪D＝90籌°，由勾棚股定特理逆棵定理蹈得AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PA棉C，CD?平驕面PC兄D，∴平臂面PA團C⊥平倆面PC修D(zhuǎn).[方法羊總結(jié)]對于坡探索科性問染題，縣一般汪先假李設(shè)存藏在，雷設(shè)出共空間凳點坐搶標(biāo)，博轉(zhuǎn)化因為代徐數(shù)方書程是毀否有言解問胳題，侵若有刻解且富滿足紹題意表則存娘在，遷若有比解但先不滿岔足題埋意或煎無解壘則不嚼存在道．1．用當(dāng)向量擱證明另線面苦平行勻的方可法：(1航)證明削該直察線的憂方向市向量抽與平奔面的奶某一忍法向逢量垂遵直；(2所)證明齊該直附線的意方向啟向量努與平挖面內(nèi)吹某直習(xí)線的承方向洗向量羞平行匆；(3幫)證明冤該直院線的蓮方向械向量澡可以劉用平提面內(nèi)廁的兩滲個不去共線使的向賀量線邊性表宣示；2．利須用空寸間向方量證抗明兩桐條異淋面直敗線垂臉直：或在兩促條異廢面直迷線上展各取弱一個唉向量a、b，只時要證預(yù)明a⊥b，即a·b＝0即可復(fù)．規(guī)范疲解答14非標(biāo)緒準(zhǔn)圖抹形的諒建系帳問題3．證廁明線綢面垂滴直：凱直線l，平員面α，要涌證l⊥α，只予要在l上取執(zhí)一個神非零斃向量p，在α內(nèi)取癢兩個補不共訓(xùn)線的肌向量a、b，問誼題轉(zhuǎn)皇化為棉證明冬：p⊥a且p⊥b，也劈燕就是a·p＝0且b·p＝0.4．證丘明面或面平麻行、喘面面揪垂直搶，最白終都狀要轉(zhuǎn)量化為蒸證明菌線線壺平行距、線肌線垂捷直．【示例】蕩(2璃01墾1·全國叔改編)如圖梢，四搶棱錐S－AB茅CD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)旬面SA襯B為等助邊三雄角形梯，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1嶼)證明慘：SD⊥平關(guān)面SA晃B；(2讀)求AB與平延面SB鑰C所成大的角忽的正允弦值邊．[審題蛛路線尿圖]本題多可以素通過庫計算泡邊邊遲關(guān)系朋證明SD⊥平廢面SA露B，第2問也戲可作使出AB與平勿面SB紡C所成送的角庸，利掙用解侍三角受形來豎計算檔，但摩這種蔬方法嬸必須史加輔轎助線菌，且抵易找渾錯角秘，故磁考慮君用向信量法欄，建乏立恰半當(dāng)?shù)钠菘臻g盆直角林坐標(biāo)汗系是鋪解題躲關(guān)鍵劫．[解答宇示范]以C為坐葛標(biāo)原悶點，壺射線CD為x正半況軸，雄建立巖如圖姻所示鑰的空弟間直艙角坐邁標(biāo)系C－xy惹z.設(shè)D(1單,0威,0陷)，則A(2策,2睬,0納)、B(0返,2筐,0金)．又設(shè)S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0睛.[點評]用向顯量知傲識證廟明立色體幾慌何問杜題有屢兩種陸基本題思路防：一簡種是西用向士量表銅示幾土何量先，利繪用向姻量的多運算峰進(jìn)行屠判斷弊；另紅一種他是用暗向量慣的坐胳標(biāo)表菜示幾攝何量肆，共伴分三樸步：(1飯)建立辱立體茶圖形咳與空軟間向心量的較聯(lián)系銀，用絲式空間飼向量(或坐格標(biāo))表示赴問題茄中所患涉及像的點念、線奔、面交，把火立體價幾何茫問題漠轉(zhuǎn)化社為向號量問征題；(2粗)通過第向量佩運算語，研而究點磨、線恨、面裕之間漢的位抄置關(guān)鴨系；(3傘)根據(jù)眾運算壩結(jié)果拾的幾悲何意牽義來閘解釋濟相關(guān)陵問題鈴．1．(2分01摩2·遼寧廈卷)如圖跪，直在三棱寒柱AB伴C－A′B′C′，∠BA夢C＝90鐮°，AB＝AC＝λA觸A′，點M，N分別其為A′B和B′C′的中陜點．(1汽)證明拔：MN∥平析面A′AC喜C′；(2依)若二紐奉面角A′－MN－C為直州二面猶角，瓦求λ的值隆．高考噴經(jīng)典折題組集訓(xùn)練解(1千)法一連結(jié)AB′，AC′，由凳已知富∠BA代C＝90揉°，AB＝AC，三謙棱柱AB傘C－A′B′C′為直逢三棱鴉柱，鋤所以M為AB′中點月．又因做為N為B′C′的中鉆點，辭所以MN∥AC′.又MN?平宴面A′AC恥C′，AC′?平雕面A′AC針C′，因此MN∥平直面A′AC狹C′.法二取A′B′中點P，連灣結(jié)MP，NP，而M，N分別猾為AB′與B′C′的中喉點，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所揮以MP∥平辜面A′AC容C′，PN∥平且面A′AC庸C′.又MP∩NP＝P，因此妥平面MP再N∥平研面A′AC或C′.而MN?平館面MP借N，因蓄此MN∥平流面A′AC劈燕C′.(2撲)以A為坐脖標(biāo)原配點，燈分別良以直純線AB，AC，AA′為x軸，y軸，z軸建待立空僻間直角昂坐標(biāo)譯系O－xy錘z，如紗圖所暖示．設(shè)AA′＝1，則AB＝AC＝λ，于臭是A(0錦,0妥,0孝)，B(λ，0,葵0)，C(0，λ，0)，A′(嫂0,幫0,翁1)，B′(λ，0,尼1)，C′(垃0，λ，1)，2．(2敞01倆2·廣東雙卷)如圖疏所示滅，在運四棱虧錐P－AB字CD中，短底面AB尾CD為矩載形，PA⊥平抽面AB臨CD，點E在線閑段PC上，PC⊥平擁面BD滲E.(1虜)證明氏：BD⊥平犬面PA樂C；(2療)若PA＝1，AD＝2，求傍二面企角B－PC－A的正購切值譜．(1凳)證明∵PA⊥平炭面AB者CD，BD?平微面AB腐CD，∴PA⊥BD.同理倚由PC⊥平蠻面BD聲E可證速得PC⊥BD.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平腫面PA貴C.(2恨)解法一如圖(1這)，設(shè)BD與AC交于該點O，連神接OE.∵PC⊥平威面BD陪E，BE、OE?平崗面BD付E，∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BE球O即為謎二面縮慧角B－PC－A的平勵面角付．由(1斬)知BD⊥平昏面PA確C.又OE、AC?