微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題

【秒殺總結(jié)】

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從

而求得極最值.只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其

中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)

有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作.

【典型例題】

例1.(2023秋?江蘇泰州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=e，-5ax3(。為非零常數(shù))，記

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，+i(x)=，'(x)("wN),J(x)=/(x).

(1)當(dāng)x>0時，〃x)Z0恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大值;

(2)當(dāng)。=1時，設(shè)g“(x)=f/；(x),對任意的"23,當(dāng)x=時，尸g“(x)取得最小值，證

/=2

明：g?(/?)>0且所有點(diǎn)g,g.(/?))在一條定直線上；

(3)若函數(shù)為(X),工卜)，力(x)都存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例2.(2023秋?遼寧葫蘆島?高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)

k+xx

〃x)=e(kGR)

k-x

⑴若無=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程;

(2)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)上40,若函數(shù)/(x)在區(qū)間(百,20)上存在極值點(diǎn)，求無的取值范圍.

例3.(2023秋?山東濰坊?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=e=ax2-cosx-ln(x+l).

(1)若。=1,求證；函數(shù)/(X)的圖象與x軸相切于原點(diǎn)；

⑵若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x2-2x+alnx(“>0).若函數(shù)/(x)有兩個

極值點(diǎn)再,々(再<當(dāng))，且不等式/(占)2加匕恒成立，試求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例5.(2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)[(x)=ae"+hu

-1(aGR).

⑴當(dāng)aVe時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)/(x)恰有兩個極值點(diǎn)X/,X?(x/<X2),且X/+X2021n3,求二■的最大值.

X]

例6.(2023?重慶?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=(2x-3)e*-ax+q(aeR),設(shè)〃(x)為/(x)的導(dǎo)

函數(shù)/(%).

(1)討論力(x)的零點(diǎn)個數(shù)；

(2)當(dāng)a20時,記/(X)的最小值為g(a),求g(a)的最大值.

例7.(2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)y(x)=(x+l)(；+Mx).

(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求。的最大值；

(2)若函數(shù)/(外在定義域上有兩個極值點(diǎn)々和巧，若x2>4%,求g的最大值.

例8.(2023秋?山西運(yùn)城?高三統(tǒng)考期末)已知〃x)=-ln(l-x)-x.

⑴求證：/(力40恒成立；

21,1)上的極值點(diǎn)個數(shù).

⑵令g（x）=x+—cos7tx,討論尸（》）=〃"+8（》）在xe

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【過關(guān)測試】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃》)=(工-2貯+6若口)=°(52-工］，其中a為大

于0的常數(shù)，若尸(x)=/(x)-g(x).

⑴討論尸(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若尸(x)在x=/(/wl)取得極小值，求g(。的最小值.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+2)1nx+ax2-4x+7a.

(1)若a=g,求函數(shù)/(x)的所有零點(diǎn)；

(2)若。2；,證明函數(shù)“X)不存在極值.

3.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=ax+cosx(0?xW肛awR)

(1)當(dāng)a=*時，求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

3

(2)若函數(shù)/(x)恰有兩個極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為〃、加，求證：

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/+ax+21nxs為常數(shù))，且/口)在定義域

內(nèi)有兩個極值點(diǎn).

(1)求4的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)“X)的兩個極值點(diǎn)分別為4%(王<%)，求〃網(wǎng))--伍)的范圍.

5.(2023?四川攀枝花,統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(*)=x?-alnx+x(aeR).

⑴當(dāng)a=3時,求函數(shù)/(x)的極值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-x,若g(x)有兩個零點(diǎn)為，x2(x,<x2),且為g(x)的唯一極值點(diǎn),

求證：xl+x2>2x0.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(X)=3。犬-(〃+l)x+lnx,a>0.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=1時，設(shè)g(x)=/(x)+(3-加)x-(x+l)lnx,(meR),函數(shù)g(x)有兩個極值點(diǎn)

>x2(Xj<x2).

①求m的取值范圍；

②若3演2々，求1呻+lnw+2加的取值范圍.

7.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中校考期末)已知函數(shù)/(x)=e，-g/-ax有兩個

極值點(diǎn)為，x.〉

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：/(X,)+/(X2)>2.

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+#-x-；.

⑴若函數(shù)〃x)有兩個極值

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)求f(x)極大值的取值范圍.

⑵對于函數(shù)g(x)N甌、X2€/,都有g(shù)(X)；g(X2)4g(土黃)則稱g(x)在區(qū)間/上是凸函

數(shù).利用上述定義證明，當(dāng)。>0時，/(x)在(0,9］上是凸函數(shù).

9.(2023秋?黑龍江綏化?高三?？计谀?已知實(shí)數(shù)。>0,函數(shù)/(x)=xlna-alnx+(x-e)-,

e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)a=e時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(》)存在極值點(diǎn)與，并求飛的最小值.

10.(2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)="e，+cosx+gx2,其中。為實(shí)數(shù)，e是

自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)。=0時，求曲線〃x)在點(diǎn)信,/創(chuàng)處的切線方程；

⑵若g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，g(x)在(0,兀)上有兩個極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

II.(2023?福建?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=e"—竺,a>0.

⑴討論/(x)的極值點(diǎn)個數(shù)：

(2)若/(X)有兩個極值點(diǎn)外/2,且玉<》2，當(dāng)e<a<5時，證明：/(^)+2/(%2)<-^.

12.(2023秋?安徽合肥?高三?？计谀?已知函數(shù)/(x)=lnx+x+q(aeR),g(x)=《.

xX

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若〃(x)=g(x)+W(x),且當(dāng)。=2時,函數(shù)〃(x)恰好有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

13.(2023春洞北邯鄲?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/*)=?*—(2x+l)e*,aeR.

⑴當(dāng)a=1時,求曲線歹=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(2)若。＜0,且/(x)在區(qū)間(-2,+*)上有極值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

14.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=,+("；)『+2Inx,?eR.

⑴當(dāng)。=-4時，求/(x)的極值：

(2)當(dāng)0＜。＜；時，設(shè)函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為為，々，證明：/(xJ[〃X2)L+2a.

2AT|3C2J

15.(2023秋?河南開封?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)="-“l(fā)n(x+l).

⑴討論函數(shù)g(x)=/&)-Inx的單調(diào)性；

(2)若x=0是函數(shù)〃(x)=/(x)-sinx+xcosx(-1＜X＜1)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.

16.(2023秋?廣東?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(》)=即-*+/.

⑴若x=l是〃x)的極值點(diǎn)，求a；

(2)若馬,%分別是/(x)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，當(dāng)。>0時,證明：ln*<x；-xo+l.

17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21n(x-l)+%e"2(AGR).

⑴若x=2是/(x)的一個極值點(diǎn)，求/(力的極值；

(2)設(shè)人口)=嗎”的極大值為〃(%),且“X)有零點(diǎn)，求證：4(與-1)2-總.

ee

18.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=e'(x-a)2.

⑴若/(x)在--1處的切線與x