廣東省清遠(yuǎn)市英德九龍中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“?x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．?x∈R，x2+2x+2≤0 B．?x∈R，x2+2x+2≤0C．?x∈R，x2+2x+2＜0 D．?x∈R，x2+2x+2＞0參考答案：B【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則，可寫(xiě)出原命題的否定．【解答】解：原命題為：?x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命題為全稱命題，∴其否定為存在性命題，且不等號(hào)須改變，∴原命題的否定為：?x∈R，x2+2x+2≤0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定的寫(xiě)法，常見(jiàn)的命題的三種形式寫(xiě)否定：（1）“若A，則B”的否定為“若￢A，則￢B”；（2）全稱命題的否定為存在性命題，存在性命題的否定為全稱命題；（3）切命題的否定為或命題，或命題的否定為切命題．本題考查第二種形式，屬簡(jiǎn)單題．2.已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)．則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)空間直線與直線，平面與平面位置關(guān)系的幾何特征，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．【解答】解：當(dāng)“直線a和直線b相交”時(shí)，“平面α和平面β相交”成立，當(dāng)“平面α和平面β相交”時(shí)，“直線a和直線b相交”不一定成立，故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件，故選：A3.在中，，則以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A4.在某次高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，隨機(jī)抽取90名考生，其分?jǐn)?shù)如圖所示，若所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D經(jīng)計(jì)算得平均值,眾數(shù)為,中位數(shù)為,故,選D.

5.已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且對(duì)任意的正整數(shù)m，n，都有am＋n＝am＋an，則等于()A.

B.

C.

D．2參考答案：B令m＝1，得an＋1＝a1＋an，即an＋1－an＝a1＝，可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝，公差為d＝的等差數(shù)列，于是an＝＋(n－1)·＝n，即＝.故選B.

6.已知函數(shù)，，設(shè)，則下列說(shuō)法不正確的是A． B．C． D．參考答案：C7.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于A．

B． C．

D．參考答案：A，要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有，解得，選A.8.下列說(shuō)法正確的是（）A．“x＜1”是“l(fā)og2（x+1）＜1”的充分不必要條件B．命題“?x＞0，2x＞1”的否定是“”C．命題“若a≤b，則ac2≤bc2”的逆命題為真命題D．命題“若a+b≠5，則a≠2或b≠3”為真命題．參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)，分別利用充要條件，命題的否定，四種命題的逆否關(guān)系，判斷正誤即可．【解答】解：選項(xiàng)A：log2（x+1）＜1可得﹣1＜x＜1，所以“x＜1”是其必要不充分條件；選項(xiàng)B：“?x＞0，2x＞1”的否定是“”，不滿足命題的否定形式；選項(xiàng)C：命題“若a≤b，則ac2≤bc2”的逆命題是“若ac2≤bc2，則a≤b”，當(dāng)c=0時(shí)，不成立；選項(xiàng)D：其逆否命題為“若a=2且b=3，則a+b=5”為真命題，故原命題為真．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．9.將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，復(fù)旦大學(xué)，中國(guó)科技大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)共有(

)種． A．240 B．180 C．150 D．540參考答案：C考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．專題：排列組合．分析：每所大學(xué)至少保送一人，可以分類來(lái)解，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，共有C52C32A33，當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有C53A33，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．解答： 解：當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1或3，1，1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，共有C52C32A33=90種結(jié)果，當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有C53A33=60種結(jié)果，∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有90+60=150種，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了分組分配問(wèn)題，關(guān)鍵是如何分組，屬于中檔題．10.函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期是2πB．函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣+kπ，﹣+kπ]（k∈Z）上是增函數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)圖象的兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，得到四分之三個(gè)周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把圖象所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程做出初相，寫(xiě)出解析式，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【解答】解：由圖象可以看出正弦函數(shù)的四分之三個(gè)周期是﹣（﹣）=，∴T==π，故A不正確；∴ω=2，又由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)（，2）∴2=2sin（2×+φ）∴+φ=2kπ+，（k∈Z），即φ=2kπ﹣又由﹣＜φ＜，則φ=﹣，∴函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（2x﹣）．由g（x﹣）=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），故B不正確；由f（﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=﹣2，故C正確；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[﹣+kπ．kπ+]，k∈Z，故D不正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有部分圖象確定函數(shù)的解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是確定初相的值，這里利用代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出初相．屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列結(jié)論中正確命題的序號(hào)是

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．①積分cosxdx的值為2；②若?＜0，則與的夾角為鈍角；③若a、b∈，則不等式a2+b2＜成立的概率是；④函數(shù)y=3x+3﹣x（x＞0）的最小值為2．參考答案：①③考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：閱讀型；簡(jiǎn)易邏輯．分析：①求出原函數(shù)sinx，再運(yùn)用積分公式即可；②利用數(shù)量積的定義去判斷夾角大小；③利用幾何概型公式求概率；④使用基本不等式，當(dāng)條件不成立時(shí)，則利用函數(shù)的單調(diào)性．解答： 解：①積分cosxdx=sinx=sin﹣sin（﹣）=1﹣（﹣1）=2，所以①正確；②當(dāng)與共線且方向相反時(shí)，滿足，但此時(shí)與的夾角為180°，所以②錯(cuò)誤；③若a，b∈，則不等式a2+b2＜成立的概率是p==，如圖．所以③正確；④因?yàn)楹瘮?shù)y=t+在t＞1時(shí)沒(méi)有最小值，所以函數(shù)y=3x+3﹣x（x＞0）沒(méi)有最小值．所以④錯(cuò)誤．所以正確的有①③．故答案為：①③．點(diǎn)評(píng)：本題考查各種命題的真假判斷，正確利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理，要求熟練進(jìn)行應(yīng)用．12.（5分）（2015?萬(wàn)州區(qū)模擬）要得到函數(shù)y=2sin2x的圖象，需將函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象向右平移至少m個(gè)單位（其中m＞0），則m=．參考答案：【考點(diǎn)】：兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得y=sin2x+cos2x=2sin2（x+），由三角函數(shù)圖象的變換可得．【解答】：∵y=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+）=2sin2（x+），∴要得到函數(shù)y=2sin2x的圖象只需將上面函數(shù)的圖象向右平移2kπ+，k∈Z個(gè)單位即可，∴只需當(dāng)k=0時(shí)圖象向右平移個(gè)單位即可，即m=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及三角函數(shù)圖象的變換，屬中檔題．13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，4)的直線與拋物線相交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)________.參考答案：略14.已知，其中，為虛數(shù)單位，則=__________.參考答案：415.計(jì)算：

。參考答案：16.數(shù)列中，，對(duì)于任意，都有，Sn是的前n項(xiàng)和，則________．參考答案：217.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12，則的最小值為_(kāi)__

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，，，又知(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)C到平面的距離；參考答案：（1）得，因?yàn)榈祝?，…?分，所以面，所以

……3分因?yàn)椋?，所以?/p>

……1分（2）（解法一）由（1）得，所以是菱形，……2分所以，，……2分由，得

……2分（解法二）作于點(diǎn)，連作，因?yàn)槠矫?，所以，，，所以平面?/p>

……2分又面，所以，，所以平面，……2分中，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以到面距離

……2分19.（12分）（2009?遼寧）已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：若a＜5，則對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

【專題】計(jì)算題；證明題；分類討論．【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義可知定義域?yàn)榇笥?的數(shù)，求出f′（x）討論當(dāng)a﹣1=1時(shí)導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a﹣1＜1時(shí)分類討論函數(shù)的增減性；當(dāng)a﹣1＞1時(shí)討論函數(shù)的增減性．（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+x，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍得到導(dǎo)函數(shù)一定大于0，則g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則利用當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)有g(shù)（x1）﹣g（x2）＞0即可得證．【解答】解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．（i）若a﹣1=1即a=2，則故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，則當(dāng)x∈（a﹣1，1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）單調(diào)減，在（0，a﹣1），（1，+∞）單調(diào)增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）單調(diào)減，在（0，1），（a﹣1，+∞）單調(diào)增．（2）考慮函數(shù)g（x）=f（x）+x=則由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)增加，從而當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)有g(shù)（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，有【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及基本不等式證明的能力．20.已知設(shè)在定義域上是增函數(shù)，與軸交于不同兩點(diǎn)，如為真，且為假，求的取值參考答案：略21.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，A、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）直線AP與直線交于點(diǎn)D，證明：以BD為直徑的圓與直線PF相切．參考答案：解析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為．由題意知解得．故橢圓的方程為．……4分（2）由題意，設(shè)直線的方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．由得．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．所以，．………6分因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．…8分當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.所以直線的方程為．點(diǎn)到直線的距離．…………10分又因?yàn)?，所以．故以為直徑的圓與直線相切．綜上得，以為直徑的圓與直線相切．………12分略22.已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：計(jì)算題；綜合題；壓軸題．分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．（2）先假設(shè)存在，然后對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當(dāng)a=e2能夠保證當(dāng)x∈（0，e]時(shí)g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx結(jié)合（2）中知F（x）的最小值為3，再令并求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)在0＜x≤e大于等于0可判斷出函數(shù)?（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，從而可求得最大值也為3，即有成立，即成立．解答：解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=①當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在