第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

目錄

1.函數(shù)的概念及其表示..............................................................................3

1.1.函數(shù)的概念...................................................................................3

1.1.1.函數(shù)的概念..............................................................................3

1.1.2.誤區(qū)警示.................................................................................8

1.2.課堂測試......................................................................................9

1.3.函數(shù)的概念...................................................................................10

1.3.1.單項(xiàng)選擇題..............................................................................11

1.3.2.多項(xiàng)選擇題..............................................................................12

1.3.3.填空題...................................................................................12

1.3.4.解答題...................................................................................13

1.4.函數(shù)概念的應(yīng)用...............................................................................14

1.4.1.自主預(yù)習(xí)，明概念........................................................................14

1.4.2.微思考...................................................................................15

1.4.3.合作探究，明概念........................................................................16

1.4.4.反思感悟.................................................................................16

1.4.5.反思感悟................................................................................17

1.4.6.反思感悟.................................................................................18

1.4.7.明易錯，誤區(qū)警示.......................................................................19

1.5.課堂測試.....................................................................................20

1.5.1.單項(xiàng)選擇題..............................................................................21

1.5.2.多項(xiàng)選擇題.............................................................................22

1.5.3.填空題.................................................................................23

1.5.4.解答題..................................................................................23

1.6.函數(shù)的表示法.................................................................................26

1.6.1.自主預(yù)習(xí)，明概念.......................................................................26

1.7.函數(shù)的表示法.................................................................................27

1.7.1.自主預(yù)習(xí)，明概念........................................................................27

1.7.2.反思感悟................................................................................28

1.7.3.反思感悟................................................................................29

第1頁共124頁

1.7.4.反思感悟................................................................................31

1.7.5.明易錯，誤區(qū)警示.......................................................................32

1.8.課堂測試.....................................................................................33

1.9.函數(shù)的表示法.................................................................................34

1.9.1.單項(xiàng)選擇題..............................................................................35

1.9.2.多項(xiàng)選擇題..............................................................................36

1.9.3.填空題..................................................................................36

1.9.4.解答題...................................................................................37

1.10.分段函數(shù)...................................................................................46

1.10.1.單項(xiàng)選擇題.............................................................................46

1.10.2.多項(xiàng)選擇題.............................................................................47

1.10.3.填空題.................................................................................48

1.10.4.解答題.................................................................................49

2.函數(shù)的基本順..................................................................................51

2.1.單調(diào)性與最大（?。┲?.........................................................................51

2.1.1.函數(shù)的單調(diào)性............................................................................51

2.2.抽象函數(shù)的單調(diào)性...........................................................................57

2.3.課堂測試...................................................................................58

2.3.1.單項(xiàng)選擇題.............................................................................59

2.3.2.多項(xiàng)選擇題.............................................................................60

2.3.3.填空題.................................................................................61

2.3.4.解答題..................................................................................61

2.3.5.單項(xiàng)選擇題.............................................................................73

2.3.6.多項(xiàng)選擇題.............................................................................74

2.3.7.填空題.................................................................................75

2.3.8.解答題.................................................................................75

2.4.奇偶性......................................................................................77

2.4.2.單項(xiàng)選擇題.............................................................................87

2.4.3.多項(xiàng)選擇題.............................................................................88

第2頁共124頁

2.4.4.填空題.................................................................................89

2.4.5.解答題.................................................................................89

3.黑函數(shù)..........................................................................................92

3.1.1.微提醒.................................................................................93

3.1.2.微思考.................................................................................93

3.1.3.單項(xiàng)選擇題..............................................................................99

3.1.4.多項(xiàng)選擇題............................................................................100

3.1.5.填空題................................................................................101

3.1.6.解答題................................................................................101

4.函數(shù)的應(yīng)用（一）..................................................................................103

4.1.微思考.....................................................................................103

4.2.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測（二十四）函數(shù)的應(yīng)用（一）......................................................109

4.2.1.單項(xiàng)選擇題............................................................................109

4.2.2.多項(xiàng)選擇題............................................................................111

4.2.3.填空題................................................................................112

4.2.4.解答題................................................................................113

5.第三章測評卷....................................................................................116

5.1.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。..............................................................................................116

5.2.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選

對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。.................................................118

5.3.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。......................119

5.4.解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。................120

1.函數(shù)的概念及其表示

1.1.函數(shù)的概念

1.1.1.函數(shù)的概念

第3頁共124頁

情境導(dǎo)入課程標(biāo)準(zhǔn)

1.在用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的

許多事物都是動態(tài)變化的，我們可以感受它們的變化?；A(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函

早晨，太陽從東方冉冉升起；氣溫隨時(shí)間悄悄的改變;數(shù)，建立完整的函數(shù)概念。

小樹隨著時(shí)間的變化不斷長高……在這些變化的現(xiàn)象2.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)

中都存在著兩個(gè)變量，當(dāng)一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變概念中的作用，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能

量也隨之發(fā)生變化。這兩個(gè)變量之間存在著函數(shù)關(guān)系。求簡單函數(shù)的定義域。

1.1.1.1.自主預(yù)習(xí)，明概念

1.函數(shù)的概念

設(shè)A,8是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,按照某種確定的對

定義應(yīng)關(guān)系了,在集合3中都有唯二確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/：A—8為從集合

A到集合8的一個(gè)函數(shù)

三對應(yīng)關(guān)系y=/W

要定義域工的取值范圍A

素值域與x的值相對應(yīng)的y值的集合m

2.常見函數(shù)的定義域和值域

反比例二次函數(shù)

函數(shù)一次函數(shù)

函數(shù)a>0a<0

k

y=cuc+byq

對應(yīng)關(guān)系y=ajr+bx+c（a^0）+加:+c（存0）

（訪⑼

（原0）

定義域RRR

值域R§鐘尹

1.1.1.2.微提醒

對于函數(shù)的定義，需注意以下幾點(diǎn):

第4頁共124頁

（1）集合A,8都是非空的實(shí)數(shù)集；

（2）集合A中元素的無剩余性；

（3）集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函數(shù)的值域，但函數(shù)的值域一定是8的子集。

1.1.1.3.微思考

1.在函數(shù)的概念中，如果函數(shù)產(chǎn)/仁）的定義域與對應(yīng)關(guān)系確定，那么函數(shù)的值域確定嗎？

提示：確定。

2.如果函數(shù)y=/U）的定義域、值域確定，那么對應(yīng)關(guān)系確定嗎？

提示：不確定，例如函數(shù)的定義域?yàn)?={-1,0,1）,值域?yàn)锽={0,1},則對應(yīng)關(guān)系為段）=/或於）=|R

均可。

1.1.1.4.合作探究，明概念

類型一函數(shù)的概念

【例1】（1）下列集合A到集合8的對應(yīng)/是函數(shù)的是（A）

A.A={-1,0,1},B={0,1},/：A中的數(shù)平方

B.A={0,1},B={-1,0,1},）：A中的數(shù)開方

C.A=Z,B=Q,/：A中的數(shù)取倒數(shù)

D.A=R,8={正實(shí)數(shù)},/：A中的數(shù)取絕對值

解析按照函數(shù)定義，選項(xiàng)B,集合A中的元素1對應(yīng)集合8中的元素±1,不符合函數(shù)定義中

一個(gè)自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項(xiàng)C,元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中

集合A中任意元素都對應(yīng)唯一函數(shù)值的要求；選項(xiàng)D,集合A中的元素0在集合8中沒有元素與其

對應(yīng)，也不符合函數(shù)定義中集合A中的任意元素都對應(yīng)唯一函數(shù)值的要求，只有選項(xiàng)A符合函數(shù)定

義。

（2）下列圖形中，不能確定y是x的函數(shù)的是（D）

第5頁共124頁

D

解析任作一條垂直于x軸的直線移動直線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至

多有一個(gè)交點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng)可知D不滿足要求，因此不表示函數(shù)關(guān)系。

1.1.1.5.反思感悟

⑴根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法。①任取一條垂直于x軸的直線/;②在定義域內(nèi)平

行移動直線/;③若/與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)

以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)。(2)根據(jù)概念判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法。

—I兩非空實(shí)數(shù)集A.B|——作

出

|函數(shù)的概念|—T一對一或多對一］------

判

f|A中不能有剩余元素|一斷

【變式訓(xùn)練】⑴若函數(shù)啟2的定義域?yàn)镸=3-2M2},值域?yàn)镹={y|g乃2},則函數(shù)刊x)

的圖象可能是(B)

解析A項(xiàng)，定義域不是{九卜2M2},C項(xiàng)，圖形不滿足唯一性，D項(xiàng)，值域不是{y|0W_yS2}。故

選B。

(2)已知集合加={-1,1,2,4},N={T,2,4},給出下列四個(gè)對應(yīng)關(guān)系，其中能構(gòu)成從M到N

的函數(shù)的是(D)

A.y=}rB.y=x+1

C.y=x-1D.y=|x|

解析只有廣兇是符合題意的對應(yīng)關(guān)系。故選D。

第6頁共124頁

類型二求函數(shù)的定義域

【例2】求下列函數(shù)的定義域。

⑴盧

(2)y=Vx-1-V1-x；

⑶十臺；

(4)y=Vx2—3+V5—x2o

-%>0,

解(1)由題意，知

2x2—3x—2H0,

x<0,

即1

無。2,且xW——,

2

所以其定義域?yàn)榱质蟇0,且xH-4。

二段所以H所以其定義域?yàn)橛桑?/p>

(2)由題意，知

I.即%K0,

(3)由題意，知

1-x20,x<1,

所以其定義域?yàn)?后1,且燈0｝。

二射即x>A/3,或XW-V3,

(4)由題意，知

—V5<x<y/5,

所以其定義域?yàn)椋嚭蠖€遙，flE-V5<^<-V3)o

1.1.1.6.反思感悟

求函數(shù)定義域的關(guān)鍵在于列全限制條件并準(zhǔn)確求解方程或不等式(組)。

【變式訓(xùn)練】(1)函數(shù)式x)=?T五的定義域?yàn)?/p>

X-Z

A.{中工-于

B.{平"}

C.{%|—|<x<2,或x>2}

D.{%|一萬4％V2)

第7頁共124頁

解析要使函數(shù)有意義，則20，解得應(yīng)4,且存2,即函數(shù)的定義域?yàn)閧1-為<2,或

x>2o故選Co

(2)(2022?北京卷)函數(shù)取)=9萬方的定義域是(-8,0)u(0,1］。

v>^5(")

'解得xe(-8,o)u(O,l］。

{1-%>0,

類型三函數(shù)求值問題

【例3】已知/U)=±(JCGR,且#-1),g(x)=9+2aeR)。

(1)求貝2),g(2)的值;

(2)求Qg(3))的值。

解(1)因?yàn)殪?=士,所以12)=?總

22

因?yàn)間(Jc)=x+2,所以g(2)=2+2=6o

(2)因?yàn)閮?)=32+2=11,

所以德⑶)y11)=高=專。

1.1.1.7.反思感悟

已知於)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得/的值；已知g(x)的表達(dá)式時(shí)，先求g(a)

的值m,再求人〃?)的值即得;(g(a))的值，即遵循由里往外的原則求人g(a))的值。

【變式訓(xùn)練】(1)已知函數(shù)；U)=SF=I。若/(a)=3，則實(shí)數(shù)a=10。

解析—a)=，a-1=3,a-1=9,a=10o

(2次犬尸筌，則歡1))=_|_。

XTZ0

2

解析然1))=/?考衿

3

1.1.2.誤區(qū)警示

1.1.2.1.函數(shù)的三要素

【典例】請根據(jù)教材P61問題3中的圖象指出函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系分別是什么？

第8頁共124頁

o(

)v

據(jù)

建

明

r晦

國

岷

看

【解】定義域是川03二24｝,值域是｛7]0</<150｝,對應(yīng)關(guān)系是AQI的值隨時(shí)間變化的圖象。

1.1.2.1.反思感悟

函數(shù)三要素從不同側(cè)面反映了函數(shù)所具有的特性，三者缺一不可。認(rèn)識函數(shù)首先要認(rèn)識它的三

要素，它也是判斷函數(shù)關(guān)系的依據(jù)。

【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)產(chǎn)/U）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域?yàn)?-23*或5云8｝,

值域?yàn)閔4-4s03｝。

解析根據(jù)函數(shù)y=*x）的圖象可看出，段）的定義域?yàn)椋鹸|-2<x<4或5s后8｝，值域?yàn)椋鹹|-4<><3｝?

1.2.課堂測試

1.（多選）下列圖象中能作為函數(shù)圖象的是（ACD）

解析B中的圖象與垂直于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然不滿足函數(shù)的定義。故選ACD。

2.設(shè)函數(shù)/(x)=ax+b,若＜1)=-2,火-1)=0,則(B)

A.a=1,b=-lB.〃=-1,b=-l

C.a=-1,h=lD.Q=1,b-\

第9頁共124頁

/(I)=a+b=-2,

解析由

/(—l)=-a+b—0,

3.若?^)=言7且犬。)=2，則a=:或2。

解析_/(。)=翟『2,即2/-5a+2=0,解得“=%或。=2。

4.函數(shù)ZU)=g署的定義域?yàn)椋?lt;2,且2-1｝。

2-V>0

'得x<2,且#-1。所以函數(shù)於)的定義域?yàn)椋?lt;2且#-1｝。

｛%+1H0,

5.已知函數(shù)兀0=蕓|，g(x)=%

(1)求/3)，/4)，Hg(3))及/g(4))的值。

⑵求人g(x)),并證明兀r)t/(g(x))是常數(shù)。

解(1)X3)=-=--,14)=訴二不,

刎4))=尼)=點(diǎn)?

\4/

_____Oy21

(2)因?yàn)?(X)=WPg(x)=7

所以加工))=?=需=奇。

證明：因?yàn)槲?+母(加=蕓嗡

=筆*=2,所以加)切的))是常數(shù)。

1.3.函數(shù)的概念

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

第10頁共124頁

-而虔日i

1.3.1.-貝丹抨這

解析A中至少存在一處如戶0,一個(gè)橫坐標(biāo)對應(yīng)兩個(gè)縱坐標(biāo)，這相當(dāng)于集合A中至少有一個(gè)元素在

集合8中對應(yīng)的元素不唯一，故A不是函數(shù)圖象，B,C,D均符合函數(shù)圖象定義。

2.函數(shù)於)=(%-不2的定義域?yàn)?

A.{x|-2<x<|jB.{x|x>-2}

C.^x|x>—2,且xH：}D.^x|x>|j

x—HO,x豐一,1

解析依題意得2解得2即42,且*。故選C。

x+2>0,[x>-2,

3.函數(shù)y=-喂的定義域是(B)

yjx2+l

A.{x|x<—或x>1}B.{x|xW—或x21}

Cl4r<1,或x>2}D.{x|x<-^或x>l}

解析由題意，可得2-蕓必，即空會加，即改“1涉，解得啟[或后1。故選B。

4.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年時(shí)提出：“如果對于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對

應(yīng)，則y是x的函數(shù)”，這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵。只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的

每一個(gè)x，都有一個(gè)確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式、圖象、表格還是其他形式,

已知函數(shù)火處由表格給出，則/(lQ/(?)的值為(D)

XX<1l<x<2x>2

危)123

A.OB.lC.2D.3

解析由圖表可知，所以J(IQ/(?)y10)=3。

5.若函數(shù)?r)=o?-l,a為一個(gè)正數(shù)，且式A-l))=-l,那么a的值是(A)

A.lB.OC.-lD.2

解析因?yàn)樨！?=加-1,所以式1)月3-1)=奴”-1)2-]=一1。所以加1)2=0。又因?yàn)閍為正數(shù),

第11頁共124頁

所以4=1。故選A。

6.已知函數(shù)兀r)=/-2018x,若書〃),m^n,則.外加+〃)等于(C)

A.2018B.-2018

C.0D.10020

解析由加)寸〃)知，"，〃關(guān)于函數(shù)12-2018x的圖象的對稱軸對稱，故根+〃=2018,12018)=0。

故選Co

1.3.2.

7.已知集合A={x|0登8},集合3={>|0怨4},則下列對應(yīng)關(guān)系中，可看作是從A到8的函數(shù)關(guān)系的

是(ABC)

Ay：尤一產(chǎn)與Bfx一y=3

■8

C.ftx一產(chǎn)夕D.f：x-^y=x

解析根據(jù)函數(shù)的定義，對于D,在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與它對應(yīng)，故不可

以看作是從A到3的函數(shù)關(guān)系。

8.下列函數(shù)中，滿足人2幻=2段)的是(ABD)

A.y(x)=klB<x)=x-|x|

C.J(x)=x+\D.於)=-尤

解析在A中，旭x)=|2x|=2國，2")=2國，滿足式羽=次。在B中，/(2x)=2x-|2x|=2aW)=次r),滿

足/(2x)=4(x)；在C中,f(2x)=2x+1,2/(x)=2(x+1)=2x+2,不滿足/(2x)=4(x)；在D中,/(2x)=-2r=2(-x)=4x),

滿足火2x)=">)。故選ABD。

1.3.3.

9.如圖，表示函數(shù)關(guān)系的是①②④。(填序號)

解析由于③中的2與1和3同時(shí)對應(yīng)，故③不表示函數(shù)關(guān)系。

10.如圖，函數(shù)式x)的圖象是曲線043,其中點(diǎn)0,48的坐標(biāo)分別為(0,0),(1,2),(3,1),那么

第12頁共124頁

的值等于N_。

-3)

解析因?yàn)?3)=1,京=1,所以/(京)yi)=2。

八八，

11.已知函數(shù)/(工戶'：，g(x)=4x-3),則8(彳)=直浮_,函數(shù)幺⑴的定義域是3史3,且。

X—1%—4

解析g(x)=*x-3)=W^,由X-3-0,得應(yīng)3,且中4。

X—4%—4。0,

1.3.4.

12.已知函數(shù)XX)=^-V%T5O

(1)求函數(shù)兀r)的定義域；

(2)求1-1),火12)的值。

解⑴根據(jù)題意知片1加，且x+5K),

所以應(yīng)-5,且中1,

即函數(shù)段)的定義域?yàn)閧x\x>-5，且/1}。

(2次-1)=5,/12)=^-V17O

13.試構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式)=/(xW{x|x>0})來描述。

解直角三角形的面積為5,

設(shè)一條直角邊長為X，

另一條直角邊長為>，那么)，哼。

其中，X的取值范圍是A={x|x>0},y的取值范圍是B={y|y>0}。

對應(yīng)關(guān)系/把每一個(gè)直角三角形的一條直角邊長x,

對應(yīng)到唯一確定的另一條直角邊長U。

X

第13頁共124頁

一素養(yǎng)提升-

14.已知集合A={1,2,k],B={4,7,10},xGA,y^B,使8中元素y和A中元素龍——對應(yīng)，對

應(yīng)關(guān)系為)=3x+l,則上的值為(C)

A.5B.4C.3D.2

解析根據(jù)對應(yīng)關(guān)系為y=3x+l,3xl+l=4,3x2+1=7,由題意可得3xZ+l=3Z+l=10,所以上3。

15.一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m,且炮彈距地面的高度以單

位：m)與時(shí)間f(單位:s)的關(guān)系為/?=130r-5戶①。求：

(1)①所表示的函數(shù)的定義域與值域，并用函數(shù)的定義描述函數(shù)；

(2?為何值時(shí)，。達(dá)至ij845m?

解(1)定義域?yàn)閧/|0田區(qū)26},值域?yàn)閧川0W區(qū)845},對于數(shù)集”|0WE26}中的任意一個(gè)數(shù)3在數(shù)集

{/i|0</i<845}中都有唯一確定的數(shù)h=130t-5t2與之對應(yīng)。

(2)當(dāng)仁乎7=13s時(shí)，/?=845mo

2x(-5)

1.4.函數(shù)概念的應(yīng)用

情境導(dǎo)入課程標(biāo)準(zhǔn)

設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速達(dá)350千米的京津城際列車呈現(xiàn)出超越世界的

“中國速度”，1.會判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一

個(gè)函數(shù)。

使得新時(shí)速旅客列車的運(yùn)行速度值界定在200千米/時(shí)與350千米2.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集。

加寸之間。用(200,350)表示列車的運(yùn)行速度，這就是我們本節(jié)要3.會求一些簡單函數(shù)的值域。

學(xué)習(xí)的知識。

1.4.1.自主預(yù)習(xí)，明概念

1.區(qū)間

設(shè)a,b^R,且a。，規(guī)定如下:

第14頁共124頁

定義名稱符號數(shù)軸表示

閉區(qū)

｛也心。｝

間abx

開區(qū)

{x\a<x<b}b)

間abx

半開

半

{x\a<x<h]b)

閉區(qū)abx

間

半開

半

{x\a<x<b}3，/

閉區(qū)abx

間

{Ax>a]——[a,+oo)

ax

{x\x>a}——(a,+oo)

ax

——(-oo,a]

ax

{x\x<a}—(-oo,a)ax

R——(-co,+oo)——

2.同一個(gè)函數(shù)

(1)前提條件：①定義域相同;②對應(yīng)關(guān)系相同。

(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)。

1.4.2.微思考

1.函數(shù)有定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域三要素，為什么判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，只看定義域和對

第15頁共124頁

應(yīng)關(guān)系？

提示：由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系可以求出函數(shù)的值域，所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，只

看定義域和對應(yīng)關(guān)系即可。

2.區(qū)間可以表示一切數(shù)集嗎？

提示：不可以，如數(shù)集口}不能用區(qū)間表示。

1.4.3.合作探究，明概念

類型一區(qū)間的應(yīng)用

【例1]用區(qū)間表示下列數(shù)集：

(I){x|x>-1}；(2){x|x<0}；(3){x|-l<r<l}；(4)R；(5){x|0<x<l,或2g爛4}。

解(1){J|X>-1}=[-1,+oo)0

⑵{小<0}=(-8,0)o

(3){X|-1<X<1)=(-1,l)0

(4)R=(-oo,+oo)0

(5){鄧)<x<l,或2人4}=(0,1)U[2,4]o

1.4.4.反思感悟

用區(qū)間表示數(shù)集的原則：①數(shù)集是連續(xù)的；②左小右大；③區(qū)間的一端是開或閉不能弄錯。

【變式訓(xùn)練】用區(qū)間表示下列函數(shù)的定義域：

⑴尸矗；(2)>=V4-X2；

⑶廣〃+1+￡。

解(1)分母葉燈0,即|x|力，所以x<0。

故函數(shù)的定義域?yàn)?-孫0)。

(2)4-^>0,gp.r<4,所以-2/2。

故函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,2]0

第16頁共124頁

⑶要使函數(shù)有意義，必須有e+12

(2-xH01%H2。

故函數(shù)的定義域是[-1，2)U(2,+8)。

類型二相同函數(shù)的判斷

【例2】下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是(C)

X2

A../U)=x-1,g(x)=爰-l

B.西)=|x|,g(x)=(Vx)2

C.J(x)=x,g(x)=Vx^

D..*x)=2x,g(x)=V4%2

解析對于A選項(xiàng),./(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)椋“睿?穴x)與g(x)不表示同一個(gè)函數(shù)。

對于B選項(xiàng)，於)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)椋鹸應(yīng)0｝,故段)與g(x)不表示同一個(gè)函數(shù)。對于C

選項(xiàng)，1A%)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)镽，且g(x)=5；x),故人x)與g(x)表示同一個(gè)函數(shù)。對于D

選項(xiàng)，段)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)镽,g(x)=2b],對應(yīng)關(guān)系不同，故於)與g(x)不表示同一個(gè)函

數(shù)。故選C。

1.4.5.反思感悟

判斷兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，要看對于定義域內(nèi)任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩

個(gè)對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同。

【變式訓(xùn)練】下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是(C)

K.f(x)-y[x^,g(x)-y[x

2x2

B.7(x)=2x,^(x)=—

C.?r)=f+1,g(/)=r2+1

1

D../U)=x,g(x)=不

解析對于選項(xiàng)A,不是同一個(gè)函數(shù)，定義域不同，段)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閇0,+8)。

對于選項(xiàng)B,不是同一個(gè)函數(shù)，定義域不同,./W的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)椋?0｝。對于選項(xiàng)C,

是同一個(gè)函數(shù)，兩函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域都分別相同。對于選項(xiàng)D,不是同一個(gè)函數(shù)，定

第17頁共124頁

義域不同，犬X）的定義域?yàn)镽，g（x）的定義域?yàn)?#0｝。故選c。

類型三求函數(shù)的值域

【例3】求下列函數(shù)的值域。

⑴y=2x-l(x@N*)；⑵)=^^；

2

(3)J^=X-2X+3,龍￡[0,3)0

解⑴觀察法：值域?yàn)椋?，3,5,7,…｝。

⑵因?yàn)?+是2,所以0＜六4，即值域?yàn)椋?,

2+xz22

⑶(配方法)y=f-2x+3=(尤-1>+2,

由x￡[0,3）,再結(jié)合函數(shù)的圖象（如圖）,

可得函數(shù)的值域?yàn)?6）。

1.4.6.反思感悟

求函數(shù)值域的常用方法

（1）觀察法：通過對解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域。

⑵配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式，即可化為產(chǎn)加+法+或在0）型的函數(shù)，則可通過配方再結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)求值域，但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法。（3）換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)

行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值

域。（4）分離常數(shù)法：此方法主要是針對分式函數(shù)，即將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)，的形式，便于

求值域。

【變式訓(xùn)練】求下列函數(shù)的值域：

（l）y=V16-%2；

第18頁共124頁

(2)J=X2-4A-+6(1<A<5)；

(3)y=~

Jx+1

(4)^=2x+4V1—xo

解⑴因?yàn)檫?6-x”16,所以0?16—％2",

即函數(shù)）=V16-x2的值域?yàn)椋?,4］0

(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,

因?yàn)樾迒?,由函數(shù)圖象可知值域?yàn)椋?,11］。

（3）（分離常數(shù)法）因?yàn)楫a(chǎn)*=1一上,

x+1x+1

且定義域?yàn)橥?｝,所以W和，即歸1。

所以函數(shù)尸喜的值域?yàn)椋鹹lydR，且歸1｝。

⑷

(換元法)令r=Vl-x(r>0),則x=l-?,

則尸2?+4/+2=-2(川)2+4(侖0),

結(jié)合圖象可得函數(shù)的值域?yàn)椋?8,4］。

1.4.7.明易錯，誤區(qū)警示

1.4.7.1.抽象函數(shù)的定義域

【典例】已知函數(shù)次x）的定義域?yàn)椋?4,4］,求函數(shù).*2x+l）的定義域。

第19頁共124頁

【思路分析】由-4W2x+lS4解出x的范圍即可。

【解】因?yàn)槎危┑亩x域?yàn)閇44],所以+1*4，解得*爛|。所以函數(shù)./（2x+l）的定義

+1>-4,22

域?yàn)閨]。

1.4.7.2.反思感悟

已知.八》）的定義域，求_Ag（x））的定義域的方法

若已知"x）的定義域?yàn)?,旬，則在.穴g（x））中,g（x）e[a，b],由產(chǎn)'）一解得x的范圍即為.*g（x））

―）>a,

的定義域。

【變式訓(xùn)練】（1）已知函數(shù)兀X）的定義域?yàn)椋?1，0）,則函數(shù)人3%+1）的定義域?yàn)椋―）

A.（-l,1）

Cd，。）D.（一|,-0

解析因?yàn)槎危┑亩x域?yàn)椋?1，0），所以-1<3x+1<0,解得故函數(shù)加/1）的定義域?yàn)椋?1，

故選D。

（2）若函數(shù)的定義域?yàn)椴穄2],則函數(shù)兀x-1）的定義域?yàn)開停，4]_0

解析由題意知則2+1W3,即段）的定義域?yàn)镋，3],所以2-1S3,解得|土%故於-1）

的定義域是[|，4],

1.5.課堂測試

1.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（D）

YY2—1

A.）=X+I和尸工丁

B.y=和y=（?）2

和g（%）=a+l）2

D：/W?^和ga）=不

解析A選項(xiàng)中定義域不同，B選項(xiàng)中定義域不同，C選項(xiàng)中對應(yīng)關(guān)系不同，故只有D項(xiàng)能表示同

第20頁共124頁

一個(gè)函數(shù)。

2.（多選）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?,+8）的是（CD）

A.y=2x+1(x>0)B.y=x2

2

C.y=2x(x>0)D.y=-(x>0)

3.已知函數(shù)的定義域是[-1,1],則yy2x-l)的定義域是(D)

A.[-3,1]B.r-i,i]

C.[-L0]D.[0,1]

解析由.y=/U）的定義域?yàn)椋?1,1］,所以），=A2x-l）的自變量x滿足-102x-iq,BP0<x<\o其定義域?yàn)?/p>

[0,1].

4.集合｛x應(yīng)-1,且*：0｝用區(qū)間表示為［-1,0）U（0,+00）。

5.求下列函數(shù)的值域：

(\)y=y/2x+1+1；

(2))=丹。

J1+X2

解（1）因?yàn)楹蟛籌NO,所以

即所求函數(shù)的值域?yàn)閁，+8）。

⑵因?yàn)楫a(chǎn)搐=1集

又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以/+G1,