第三章測度論§1外測度§2可測集§3可測集類引言引言：

19世紀的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認識到，古典的黎曼積分在理論上有很大的局限性，為了解決分析中提出的許多問題，有必要改造和推廣原有的積分定義。注意到黎曼積分與長度、面積、體積等度量有密切的關(guān)系，所以積分概念的推廣，自然要想到對Rn中的點集給于一種度量，使之成為長度、面積、體積等概念的推廣，這就產(chǎn)生了測度的概念。測度論的思想和方法已經(jīng)是近代分析、概率論及其他學(xué)科必不可少的工具。

實變函數(shù)論部分的主要目的，就是介紹在理論和應(yīng)用上都十分重要的勒貝格測度與勒貝格積分理論。長度公理：設(shè)有實數(shù)直線上的一些點集所構(gòu)成的集合族，若對于每一個，都對應(yīng)一個實數(shù)（在上定義了一個實函數(shù)使得（1）非負性：（2）有限可加性：如果兩兩不相交，那么（3）正則性：

該長度公理實際上只給出了區(qū)間的長度，黎曼積分中劃分之后區(qū)間的長度就是一個點集，已經(jīng)不是一個區(qū)間，再如[0,1]中有理數(shù)集合的長度或是無理數(shù)集合的長度也無法確定，這就是點集測度的由來。勒貝格測度公理：設(shè)有實數(shù)直線上的一部分集合族，使得每一個，都對應(yīng)一個實數(shù)（在上定義了一個實函數(shù)，滿足（1）非負性：（2）可列可加性：如果兩兩不相交，那么（3）正則性：

問題：是否每一個集合都有測度？內(nèi)填外包法（測量不規(guī)則圖形的面積）內(nèi)填：內(nèi)部填滿圖形的那些格子的面積之和中的最大者，即不足近似值。外包：外部包圍圖形的那些格子的面積之和中的最小者，即過剩近似值。當(dāng)格子越來越密時，小正方形的面積趨于0，過剩和不足近似值能夠趨于同一個數(shù)值，這個值便是圖形的面積?！螮

↓閉集

↓取包含E的那些開集的測度的下確界→外測度

↓用來填上E的內(nèi)部的閉集的測度的上確界→內(nèi)測度

↓外測度和內(nèi)測度相等→可測

↓開集§1外測度1、勒貝格外測度設(shè)E為中任一點集，對于每一列覆蓋E的開區(qū)間，做出它的體積總和（可以等于，不同的區(qū)間列一般有不同的），所有這一切的組成一個下方有界的數(shù)集，它的下確界（由E完全確定）稱為E的勒貝格外測度，簡稱L外測度或外測度，即例題1：有限點集的外測度是0.例題2：可數(shù)點集的外測度為0.設(shè)E為[0,1]中的全體有理數(shù)，則可得到：有理數(shù)所成之集是零測集。2、勒貝格外測度性質(zhì)（1）（2）非負性：（3）單調(diào)性：設(shè)，則（4）次可數(shù)可加性例題3：可數(shù)個零測積之和集是否為零測集？例題4：康托集是零測集。（3）正則性：包含在中的所有有限開區(qū)間。3、勒貝格外測度涵義優(yōu)點：任何集合都有外測度。例題5：對于區(qū)間I有缺點：外測度只具有次可數(shù)可加性，不具有可數(shù)可加性。對外測度加以限制，設(shè)法在中找出某一集合類，在上滿足（1）封閉性：對某些運算應(yīng)該封閉；（2）可數(shù)可加性：問題：如何從中挑出集合類呢？如下構(gòu)造：從可加性條件加以思考，附加一個判斷中集合屬于的條件即可。設(shè)，如果，由于中任何開區(qū)間I都屬于，由的運算封閉性，則所以有（1)反之，如果存在某個開區(qū)間I，使上式不成立，則E自然不應(yīng)該屬于引理：設(shè)，則(1)是對中任何開區(qū)間都成立的充要條件是對中的任何點集T都有§2可測鉛集1、勒船貝格款測度設(shè)E為伏中的勉點集鈴，如妖果對奪任一竊點集T都有則稱E是L可測的，著這時E的L外測欣度即稱暢為E的L測度，記莊為2、勒峽貝格劈燕測度癥運算串性質(zhì)（1）集裂合E可測壟對于,總有（2）S可測綢可秩測。（3）設(shè)責(zé)可宣測，綁則藝也蠢可測宣，并皂且當(dāng),對于滿任意轉(zhuǎn)集合T總有推廣浙：設(shè)闖可測誼，則婚也五可測衛(wèi)，并該且當(dāng),對于帥任意蔽集合T總有（4）設(shè)校可氏測，盜則婚也繳可測調(diào)。推廣禾：設(shè)碧可儀測，袋則州也蛾可測淺。（5）設(shè)非可侮測，軌則料也幣可測跌。（6）設(shè)箭是咸一列排互不跡相交孩的可申測集濫，則殿也變是可開測集享，且推廣歡：設(shè)急是討一列書可測竹集，救則什，員也是板可測臘集。（7）設(shè)奪是歐一列沒遞增思的可羞測集屠：令尸，殃則（8）設(shè)寧是慶一列騰遞降獨的可塵測集洲：令邪，輪則當(dāng)蔥時，3、勒侄貝格宴測度部性質(zhì)（1）（2）非嘗負性預(yù)：（3）單渣調(diào)性政：設(shè)拜可場測，稍且沙，憐則（4）可憲列可泛加性閥：設(shè)度是沫一列惱互不晃相交咽的可呼測集§3可測泉集類1、零脅測集凡外乳測度干為0的集終合都院是可檢測集儀，稱衡為零測鋼集。零測紋集性刷質(zhì)：（1）零卸測度罩集的抖任何蜜子集趟都為伙零測使度集撈。（2）有蒼限個水或可虜數(shù)個奮零