PAGEPAGE211、以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，連接EB、FD，交點(diǎn)為G．（1）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)（如圖1），EB和FD的數(shù)量關(guān)系是_____________；（2）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)（如圖2），EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)加以證明；（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中求出∠EGD的度數(shù)．難度一般：證全等即可（第三問(wèn)，圖1中就能看出是45°。）解（1）EB=FD 。（2）EB=FD。 證：∵△AFB為等邊三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE為等邊三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD 即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE為等邊三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF設(shè)∠AEB為x°，則∠ADF也為x°于是有∠BED為（60-x）°，∠EDF為（60+x）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°2、已知：如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求證：四邊形ABFC是矩形．簡(jiǎn)單題證明：（1）如圖1．圖圖1在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．∵AB∥FC，∴四邊形ABFC是平行四邊形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC．∵AF=AD，∴AF=BC．∴四邊形ABFC是矩形．3、已知：△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠B=90°，AB=BC=1．（1）要在這張紙板上剪出一個(gè)正方形，使這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上．小林設(shè)計(jì)出了一種剪法，如圖1所示．請(qǐng)你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫(huà)出來(lái)．圖圖4圖3圖圖3圖2圖1（2）若按照小林設(shè)計(jì)的圖1所示的剪法來(lái)進(jìn)行裁剪，記圖1為第一次裁剪，得到1個(gè)正方形，將它的面積記為，則=___________；余下的2個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁剪（如圖3），圖2得到2個(gè)新的正方形，將此次所得2個(gè)正方形的面積的和記為，則=___________；在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的的剪法進(jìn)行第三次裁剪（如圖4），得到4個(gè)新的正方形，將此次所得4個(gè)正方形的面積的和記為；按照同樣的方法繼續(xù)操作下去……，第次裁剪得到_________個(gè)新的正方形，它們的面積的和=______________．圖2（題外題：把你剪出的正方形的面積與圖1中的正方形面積進(jìn)行比較。）本題相當(dāng)于中考12題的簡(jiǎn)單題解：（1）如圖2；1分（2），，，．6分4、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，它的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)D在軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A，D都不與原點(diǎn)重合），頂點(diǎn)B，C都在第一象限，且對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OP．（1）當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____________，∠POA=__________°；（2）當(dāng)OA<OD時(shí)，求證：OP平分∠DOA；（3）設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，則在點(diǎn)A，D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的取值范圍是________________．（第二問(wèn)：如果點(diǎn)P到OP“所平分的角”的兩邊的距離相等，即可。）（第二問(wèn)的題外題：當(dāng)OA＞OD時(shí)，求證：OP平分∠DOA；）解：（1）()，；圖3證明：（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥軸于點(diǎn)M，PN⊥軸于點(diǎn)N．（如圖3）圖3∵四邊形ABCD是正方形，∴PD=PA，∠DPA=90°．∵PM⊥軸于點(diǎn)M，PN⊥軸于點(diǎn)N，∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．∵∠NOM=90°，∴四邊形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．在△DPN和△APM中，∠PND=∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．≤．-5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（4,0），（0,3）．將△OCA沿直線(xiàn)CA翻折，得到△DCA，且DA交CB于點(diǎn)E．（1）求證：EC=EA；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）連接DB，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形DCAB的周長(zhǎng)和面積．（第二問(wèn)，有坐標(biāo)，用代數(shù)法勾股定理可得CE=AE的長(zhǎng)）（第三問(wèn)的證明：過(guò)D做DM⊥AC于M，過(guò)B做BN⊥CA于N，則由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具體數(shù)），CM=AN（具體數(shù)）還看得DB=MN（具體數(shù)）這樣即可求出周長(zhǎng)，有可求出面積。）證明：（1）如圖1．∵△OCA沿直線(xiàn)CA翻折得到△DCA，∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四邊形OABC是矩形，∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：（2）設(shè)CE=AE=．∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（4,0），（0,3），∴OA=4，OC=3．∵四邊形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°．在Rt△EBA中，，∴．解得．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為()．（3），．6、已知：△ABC的兩條高BD，CE交于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是AF，BC的中點(diǎn)，連接ED，MN．（1）在圖1中證明MN垂直平分ED；（2）若∠EBD=∠DCE=45°（如圖2），判斷以M，E，N，D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．圖圖2第一問(wèn)，連接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半得，ME=MD，NE=ND，所以點(diǎn)M、N都在線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)上。（有△ADF≌△BDC，得AF=BC，（還得∠MDA=∠NDB，證直角時(shí)用），進(jìn)而得菱形，再證一直角得正方形，）（1）證明：連接EM，EN，DM，DN．（如圖2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中點(diǎn)，∴EM=AF．同理，DM=AF，EN=BC，DN=BC．∴EM=DM，EN=DN．∴點(diǎn)M，N在ED的垂直平分線(xiàn)上．∴MN垂直平分ED．圖3（2）判斷：四邊形MEND圖3證明：連接EM，EN，DM，DN．（如圖3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，（Rt∠）DF=DC，∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=AF=AM，DN=BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四邊形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四邊形MEND是正方形．7、（6分）如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)結(jié)BP、BH。（1）求證：∠APB＝∠BPH；（2）求證：AP＋HC＝PH；（3）當(dāng)AP＝1時(shí)，求PH的長(zhǎng)。第一問(wèn)，設(shè)∠EPB=∠EBP=m，則∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因?yàn)椤螦PB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。第二問(wèn)的題外題：將此題與北京141之東城22和平谷24放在一起，旋轉(zhuǎn)翻折共同學(xué)習(xí)；此題中用旋轉(zhuǎn)把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°不能到達(dá)目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分△BQH與△BCH也可全等，即可到達(dá)目的，還有意外收獲：證得∠PBH=45°。第三問(wèn)，代數(shù)方法的勾股定理。（1）證明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC?！唷螦PB＝∠BPH。（2分）（2）證明：過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q，由（1）知，∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。（4分）（3）由（2）知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。設(shè)QH＝HC＝，則DH＝。在Rt△PDH中，，即，解得，∴PH＝3.4（6分）8、（6分）如圖，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，若∠EFC＝60°，聯(lián)結(jié)GD，判斷△AGD的形狀并證明。（也可問(wèn)∠ADG的度數(shù)。）判斷：△AGD是直角三角形。證明：如圖聯(lián)結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)HF、HE， ∵F是AD的中點(diǎn)，，∴∠1＝∠3。同理，HE//CD，HE＝，∴∠2＝∠EFC?！逜B＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC?！摺螮FC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等邊三角形。 ∴AF＝FG∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD是（特殊）直角三角形。 （GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜邊，這樣證全等。）10、閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問(wèn)題：AD是△ABC的中線(xiàn)，點(diǎn)M為BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)M作一直線(xiàn)，使其等分△ABC的面積．他的做法是：如圖1，連結(jié)AM，過(guò)點(diǎn)D作DN//AM交AC于點(diǎn)N，作直線(xiàn)MN，直線(xiàn)MN即為所求直線(xiàn)．D圖1D圖1MBANC請(qǐng)你參考小明的做法，解決下列問(wèn)題：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AE平分ABCD的面積，M為CD邊上一點(diǎn)，過(guò)M作一直線(xiàn)MN，使其等分四邊形ABCD的面積（要求：在圖2中畫(huà)出直線(xiàn)MN，并保留作圖痕跡）；圖3圖2（2）如圖3，求作過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)AE，使其圖3圖2（第二問(wèn)，把△ABC的面積接到DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上。）11、已知：四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在AD邊上，且AF＝DE．（1）如圖1，判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)果，并加以證明；（2）如圖2，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O．BD、AC分別與AE、BF交于點(diǎn)G，點(diǎn)H．①求證：OG＝OH；②連接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的長(zhǎng)．ABABCDOPEF圖2GHABCDEFP圖圖1【第二問(wèn)①，證△AOG≌△BHO，第二問(wèn)②，（在OB上截取BQ=AP，則△APO≌△BQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得∠OPG=∠OQP，又∠EPB=90°，最終得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，從而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根號(hào)13.）】12、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，且，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)．（1）求證：CM⊥DM；（2）求點(diǎn)M到CD邊的距離．（用含，的式子表示）（我認(rèn)為答案的思路不是最好。本題還有這樣的思路：過(guò)M做BC的平行線(xiàn)，交DC于Q，則可證MQ=DQ=CQ，MD平分∠ADC，MC平分∠BCD，及∠DMC=90°，；M到CD的距離也就是Rt△DMC斜邊的高M(jìn)N，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，）證明：（1）延長(zhǎng)DM，CB交于點(diǎn)E．（如圖3）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠BEM．圖3∵點(diǎn)M是AB圖3∴AM=BM．在△ADM與△BEM中，∠ADM=∠BEM，∠AMD=∠BME，AM=BM，∴△ADM≌△BEM．∴AD=BE=，DM=EM．∴CE=CB+BE=．∵CD=，∴CE=CD．∴CM⊥DM．圖4解：（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)N，F(xiàn)．圖4∵CE=CD，DM=EM，∴CM平分∠ECD．∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，∴MN=MB．∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．∵∠DFB=90°，∴四邊形ABFD為矩形．∴BF=AD=，AB=DF．∴FC=BC－BF=．∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴==．∴DF=．∴MN=MB=AB=DF=．即點(diǎn)M到CD邊的距離為．13、已知：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（6，0），（0，2）．點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)＝－＋交折線(xiàn)O－A－B于點(diǎn)E．（1）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上時(shí)，矩形OABC關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)的圖形為矩形O′A′B′C′，C′B′分別交CB，OA于點(diǎn)D，M，O′A′分別交CB，OA于點(diǎn)N，E．探究四邊形DMEN各邊之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明；（3）問(wèn)題（2）中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為_(kāi)___________．圖2圖2圖1本題難度對(duì)于初二學(xué)生相當(dāng)于25題?！竞煤脤W(xué)習(xí)第一問(wèn)的解題方法，第二問(wèn)由兩組平行可得平行四邊形，∠OED=∠O1ED（對(duì)稱(chēng)性質(zhì)），得菱形。第三問(wèn)，E在OA上時(shí)，DE的長(zhǎng)度不變，為2倍根號(hào)5，（延x軸平移△DME使D與C重合，設(shè)DM=EM=x，代數(shù)法用勾股定理可求得ME的值?！拷猓海?）∵矩形OABC中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，圖6∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．圖6若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則；若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則；若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則．=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上時(shí)，即時(shí)，（如圖6）∵點(diǎn)E在直線(xiàn)上，圖7當(dāng)時(shí)，，圖7∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴．=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BA上時(shí)，即時(shí)，（如圖7）∵點(diǎn)D，E在直線(xiàn)上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴．綜上可得：圖8（2）DM=ME=EN=ND圖8證明：如圖8．∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形，∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)的圖形為矩形O′A′B′C′，∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四邊形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND．-（3）答：?jiǎn)栴}（2）中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為2.5．14、探究問(wèn)題1已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE=DF，則的值為_(kāi)____．拓展問(wèn)題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過(guò)點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE=DF．推廣問(wèn)題3如圖3，若將上面問(wèn)題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（第三問(wèn)，取BM和AM的中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，）122某區(qū)的模擬題與此高度相似，圖9問(wèn)題1的值為1．--圖9問(wèn)題2證明：如圖9．∵CB=CA，∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC，∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM與△BEM中，∠AFM=∠BEM，∠MAF=∠MBE，MA=MB，∴△AFM≌△BEM．∴AF=BE．∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴BD=AD．在△BDE與△ADF中，BD=AD，∠DBE=∠DAF，BE=AF，∴△BDE≌△ADF．∴DE=DF．問(wèn)題3解：DE=DF．證明：分別取AM，BM的中點(diǎn)G，H，連接DG，F(xiàn)G，DH，EH．（如圖10）∵點(diǎn)D，G，H分別是AB，AM，BM的中點(diǎn)，∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．∴四邊形DHMG是平行四邊形．∴∠DHM=∠DGM，∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，圖10∴∠AFM=∠BEM=90°．圖10∴FG=AM=AG，EH=BM=BH．∴FG=DH，DG=EH，-∠GAF=∠GFA，∠HBE=∠HEB．∴∠FGM=2∠FAM，∠EHM=2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM，∴∠FGM=∠EHM．∴∠DGM+∠FGM=∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD與△DGF中，EH=DG，∠EHD=∠DGF，HD=GF，∴△EHD≌△DGF．∴DE=DF．16、如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F。（1）求證：DE－BF＝EF；（2）若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）；（3）若AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線(xiàn)段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證你的結(jié)論。第一問(wèn)，證全等即可得AE=BF，AF=DE。第三問(wèn)，各三角形相似，兩直角邊的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE ， ∴△ABF≌△DAE ∴BF=AE，AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF （2）如圖②，DE+BF=EF （3）EF=2FG過(guò)程：∵AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)，∴BG=a由勾股定理可求又∵AB⊥BC，BF⊥AC，∴由等積法可求由勾股定理可求，,，∴EF=2FG 。 17、如圖，在線(xiàn)段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BE<AB），連接EG并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，MN交BD于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1。（1）證明：四邊形MPBG是平行四邊形；（2）設(shè)BE=x，四邊形MNBG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）如果按題設(shè)作出的四邊形MPBG是菱形，求BE的長(zhǎng)。（圖中的三角形多是等腰直角三角形，）證明：（1）∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，∴DB∥ME?！進(jìn)N⊥AB，CB⊥AB，∴MN∥CB?！嗨倪呅蜯PBG是平行四邊形； （2）∵正方形BEFG，∴BG=BE=x?！摺螩MG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x?！鄖=（GB+MN）·BN=（1+x）（1－x）=－x， （0<x<1）；（3）由四邊形BGMP是菱形，則有BG=MG，即x=（1－x）。解得x=2－，∴BE=2－。18、將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對(duì)稱(chēng)軸EF折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形（其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形），我們稱(chēng)這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出折痕；（2）如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫(huà)出一個(gè)斜△ABC，使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；（3）如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿(mǎn)足的條件是．解：（1）………………2分（說(shuō)明：只需畫(huà)出折痕．）（2）（說(shuō)明：只需畫(huà)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)三角形；答案不惟一，所畫(huà)三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等即可．）（3）三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等19、考考你的推理與論證（本題6分）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，且，連結(jié)．（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．難度一般解（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.∵AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中點(diǎn)．（2）四邊形AFBD是矩形，∵AB=AC，是的中點(diǎn),∴AD⊥BC

，即∠ADB=90°∵AF=BD，AF∥BC，∴四邊形AFBD是矩形．20、拓廣與探索（本題7分）如圖（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中線(xiàn)BE、CD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn).（1）求證：四邊形DFGE是平行四邊形；（2）如果把Rt△ABC變?yōu)槿我狻鰽BC，如圖（2），通過(guò)你的觀察，第（1）問(wèn)的結(jié)論是否仍然成立？（不用證明）；（3）在圖（2）中，試想：如果拖動(dòng)，通過(guò)你的觀察和探究，在什么條件下？四邊形DFGE是矩形，并給出證明；（4）在第（3）問(wèn)中，試想：如果拖動(dòng)，是否存在四邊形DFGE是正方形或菱形？如果存在，畫(huà)出相應(yīng)的圖形（不用證明）．（圖1）（圖2）（第三問(wèn)，AB=AC時(shí)。第四問(wèn)，AB=AC，且底邊上的高是BC的3/2倍時(shí)是正方形。保持這種高與邊的比，但是，AB≠AC時(shí)是菱形。）21、如圖，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，MN的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？求出此時(shí)PN的長(zhǎng).（MN=OP，所以O(shè)P⊥AB時(shí)，MN也就是OP最小，OP=12/5.）初三相似形22、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，，于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）點(diǎn)G是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在什么位置時(shí)，四邊形DEGF是矩形？并求出這個(gè)矩形的周長(zhǎng)；（3）在BC邊上能否找到另外一點(diǎn)，使四邊形DEF的周長(zhǎng)與（2）中矩形DEGF的周長(zhǎng)相等？請(qǐng)簡(jiǎn)述你的理由.（第二問(wèn)，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)時(shí)，也是AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的交點(diǎn)。第三問(wèn)，能找到。以EF為一邊在EF的下方做△G1EF≌△GFE，G1在BC上，但是不與G重合，）23、(9分)在梯形中，∥，，且，，。對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在梯形的頂點(diǎn)上，使三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。（1）如圖9-1，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在邊上時(shí)，線(xiàn)段與的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，旋轉(zhuǎn)角為，請(qǐng)你在圖9-2中畫(huà)出圖形，并判斷（1）中結(jié)論還成立嗎？如果成立請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；?！尽浚?）如圖9-3，當(dāng)三角板的一邊與梯形對(duì)角線(xiàn)重合時(shí)，與相交于點(diǎn)P，若，求的長(zhǎng)。圖9-1圖9-2圖9-3（第三問(wèn)，證明兩次相似，推導(dǎo)比例關(guān)系。）多看看解：（1）垂直，相等；……………2分 （2）畫(huà)圖如圖（答案不唯一） （1）中結(jié)論仍成立。證明如下：過(guò)A作于M，則四邊形ABCM為矩形?！郃M=BC=2，MC=AB=1?！?，∴。∴DC=BC。， ，。又，，線(xiàn)段和相等并且互相垂直。（3）∥，∽，，。同理可求得。，。。。由（2）知，。又，∽。。。初三相似形24、(9分)將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，，，。動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）。（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)時(shí)，如圖10-1，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖10-2。問(wèn)：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說(shuō)明理由。解：（1），。 （2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于，如圖1，……………3分 則，，，。 （3）①能與平行。若，如圖2，則，即，，而，。 ②不能與垂直。若，延長(zhǎng)交于，如圖3，則。。?！?分又，，，。而，∴t不存在。25、銳角△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，DE⊥AB于E，延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠F的度數(shù)；設(shè)∠F為x度,∠FDC為y度,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.第二問(wèn)，∠B+x=90°，x+y=∠B，所以y=90°-2x。解（1）∵AB=AC，∴..∵∠A=40°，∴.∵DE⊥AB，∴.∴（2）∵，∴∴在△BEF中，∵，∴...∴∴.26、如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC．（1）試猜想AE與GC有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，求證：AE⊥GC．（友情提示：旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形與原圖形全等）延長(zhǎng)相交可證得垂直，解：（1）猜想：AE=GC（2）答：AE=CG成立.證明：∵四邊形ABCD與DEFG都是正方形，∴AD=DC，DE=DG，ADC==EDG=90.∴1+3=2+3=90.∴1=2.，∴△ADE△CDG.，∴AE=CG.（3）延長(zhǎng)AE，GC相交于H，由（2）可知5=4.又∵56=90，47=180DCE=90，∴6=7.又∵6AEB=90，∴AEB=CEH..∴CEH7=90.∴EHC=90.，∴AEGC.…27、如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BC的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段AD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）。（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積是梯形的面積的一半；（2）四邊形能為平行四邊形嗎？如果能，求出的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）四邊形能為等腰梯形嗎？如果能，求出的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（第一問(wèn)，t=37/6，第二問(wèn)，t=5，第三問(wèn)，不能，∠QPC大于90°，不能等于∠DCP，；本題擴(kuò)展：如果延DA、CB方向移動(dòng)，則可以出現(xiàn)等腰梯形。）28、（12分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)．（1）在不添加線(xiàn)段的前提下，圖中有哪幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；（2）判斷并證明四邊形MENF是何種特殊的四邊形？（3）當(dāng)?shù)妊菪蜛BCD的高h(yuǎn)與底邊BC滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)？四邊形MENF是正方形（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）．ADADCBEGF39、E是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G.求證：.簡(jiǎn)單題：連接CE，則CE=FG，再證全等即可。證明：連接CE∵四邊形ABCD為正方形∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠C＝90°∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴四邊形GEFC為矩形∴GF＝EC在△ABE和△CBE中∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE∴AE＝CF30、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)A作AF⊥AE交CD于點(diǎn)F.（1）若AE=5，求EF；（2）求證：CD=2BE+DE.（第一問(wèn)，∠EBD+∠ABC+∠BCE=90°，又∠ABC=45°，所以，∠EBD+∠BCE=45°，又∠ACF+∠BCE=45°，所以，∠EBD=∠ACF，可得△EBA≌△FCA，得AE=AF，EF=根號(hào)2AE，；第二問(wèn)，過(guò)A做AH⊥CE于H，，則△EBD≌△HAD，BE=AH,又已證BE=CF，可證AH=FH，則結(jié)論得證。）解：（1）∵BE⊥CD,∠BAC=90°∴∠ABE+∠BDE=90°∠ACF+∠CDA=90°∵∠BDE=∠CDA∴∠ABE=∠ACF∵AF⊥AE∴∠BAE+∠BAF=90°∵∠CAF+∠BAF=90°∴∠BAE=∠CAF∵AB=AC∴△ABE≌△ACF∴AE=AF=5∴EF=(2)作AH⊥CD于H∵AE=AF∠EAF=90°∴AH=HE=HF∵∠AHD=∠BED=90∠BDE=∠ADHBD=AD∴△BDE≌△ADH∴DE=DHBE=AH∵△ABE≌△ACF∴CF=BE=AH=HF∴CH=2BE∵CD=DH+CH∴CD=DE+2BE31、矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，以AP為邊作等邊△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射線(xiàn)AB的同側(cè)）.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，Q點(diǎn)在線(xiàn)段DC上？當(dāng)t為何值時(shí)，C點(diǎn)在線(xiàn)段PQ上？(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N，PQ與線(xiàn)段BD相交于點(diǎn)M，是否存在△BMN為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.(3)設(shè)△APQ與矩形ABCD重疊部分的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式.（備用圖1）第一問(wèn)：①，Q在DC上時(shí)，等邊△QAP的高是，；②，C點(diǎn)在線(xiàn)段PQ上時(shí)，P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，△CBP是含60°角的Rt△，可求得BP，t=AB+BP。第二問(wèn)：分四種情況討論，有一定難度。解：（1）①當(dāng)Q點(diǎn)在線(xiàn)段DC上時(shí)∵AD=,∠ADQ=90°,∠DAQ=30°∴DQ=x,則AQ=2x∴∴x=2∴AP=4∴t=4∴當(dāng)t=4秒時(shí)，Q點(diǎn)在線(xiàn)段DC上.②當(dāng)C點(diǎn)在線(xiàn)段PQ上時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，由題意得BP=2∴AP=6+2=8∴t=8∴當(dāng)t=8秒時(shí)，點(diǎn)C在線(xiàn)段PQ上.（2）△BMN為等腰三角形，有以下三種情況：①當(dāng)MN=BN時(shí)，∵∠NMB=∠NBM=30°∴∠ANM=60°∴此時(shí)，Q點(diǎn)在BD上，P點(diǎn)與N重合∴AP=AN=3∴t=3②當(dāng)BM=BN時(shí)，作MI⊥AB于I∵BM=BN=3∴BI=MI=IP=BP=MP=∴AP=6-∴t=6-③當(dāng)BM=NM時(shí)，BP=MP=NP∴BP=1AP=5∴t=5綜上所述，當(dāng)t=3或6-或5時(shí)，△BMN為等腰三角形（3）①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，s=②當(dāng)4＜t≤6時(shí)，s=③當(dāng)6＜t≤8時(shí)，即④當(dāng)t≥8時(shí)，1、如圖①，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)Q，連接PQ、DQ、CQ、BQ，設(shè)AP=x.（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此時(shí)x的值是_______；（2）如圖②，若PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)交CD邊于點(diǎn)E，并且∠CQD=90°.①求證：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；②求x的值.（3）若點(diǎn)P是射線(xiàn)AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值.解：（1）；－1；（2）①證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠BCD=90°∵Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°∴QB=BC，∠BQE=∠BCE∴∠BQC=∠BCQ∴∠EQC=∠EQB－∠CQB=∠ECB－∠QCB=∠ECQ∴EQ=EC在Rt△ABC中∵∠QDE=90°－∠QCE，∠DQE=90°－∠EQC∴∠QDE=∠DQE∴EQ＋ED∴CE=EQ=ED即E是CD的中點(diǎn)

②（3）或或2、如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB：y=﹣x+b交x軸于點(diǎn)A(8，0)，交y軸正半軸于點(diǎn)B.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，直線(xiàn)AC交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，AB=BC，P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)AC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的