敘述皮亞諾的自然數(shù)公理系統(tǒng)。皮亞諾公理，是數(shù)學(xué)家皮亞諾提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng)。根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng)，也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：三個(gè)基本概念：0，數(shù)，后繼五條公理：0是一個(gè)數(shù)。任何數(shù)的后繼是一個(gè)數(shù)。若兩個(gè)數(shù)不同，則它們的后繼也不同。0不是任何數(shù)的后繼。數(shù)學(xué)歸納法原理。皮亞諾所謂的“數(shù)”是指所有自然數(shù)所構(gòu)成的類，即指包括0在內(nèi)的自然數(shù)全體；他沒有假定我們知道這類中的所有分子，僅假定當(dāng)我們說這個(gè)或那個(gè)是一個(gè)數(shù)時(shí)，我們知道我們所指的是什么。皮亞諾以“后繼”來代表從數(shù)到數(shù)的一種對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)是一對(duì)一的，是一部以數(shù)造數(shù)的機(jī)器——給一個(gè)合適的起始數(shù)，潛在地，就足以造出數(shù)的全體。這個(gè)合適的起始數(shù)只有一個(gè)，那就是“0”?！?”、“數(shù)”、“后繼”是不加以定義的原始概念，它們的性質(zhì)全由皮亞諾的五條公理所界定和描述。從皮亞諾的公理系統(tǒng)出發(fā)，可以建立起完整的算術(shù)理論——可以定義數(shù)的加法、乘法和大小關(guān)系，可以證明已有的所有算術(shù)結(jié)果。你認(rèn)為數(shù)學(xué)可以完全規(guī)約為邏輯嗎？論述你的觀點(diǎn)。我認(rèn)為數(shù)學(xué)并不能完全規(guī)約為邏輯。邏輯主義學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)可以完全由邏輯得到。羅素和懷特相當(dāng)成功的把古典數(shù)學(xué)納入了一個(gè)統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，使之能從幾個(gè)邏輯概念和公理出發(fā)，再加上集合論的無窮公理就能推出康托集合論、一般算術(shù)和大部分?jǐn)?shù)學(xué)來。這把邏輯推理發(fā)展到前所未有的高度，使人們看到，在數(shù)理邏輯演算的基礎(chǔ)上能夠推演出許多數(shù)學(xué)內(nèi)容來，形成了集合論公理系統(tǒng)的邏輯體系。但后來數(shù)理邏輯中的一些深刻結(jié)果（如Godel不完備性定理）則否定了這種觀點(diǎn)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)不能完全由邏輯得到，即，如果要求數(shù)學(xué)是無矛盾的，那么，它就不可能是完備的。數(shù)學(xué)確實(shí)有邏輯以外的題材，那就是表達(dá)式，而且她的最重要的簡(jiǎn)單真理是直觀的——而非邏輯的——產(chǎn)物。ZFC系統(tǒng)中存在的非邏輯公理即能說明這一點(diǎn)。試述ZF系統(tǒng)的MP規(guī)則和GEN規(guī)則。注釋：ZFC系統(tǒng)的非邏輯公理有哪些條款？其中哪幾條最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值而又不能歸約為邏輯？（ZF1）兩個(gè)集合相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的元素。（外延公理）（ZF2）沒有元素的集合存在。（空集公理）（ZF3）給出任何集合x和y，總存在著集合z，它的元素是x和y。（配對(duì)公理）（ZF4）給出任何集合x，總存在著集合y，它以x的元素的元素為元素。（并集公理）（ZF5）給出任何集合x，總存在著集合y，它以x的一切子集為元素。（冪集公理）（ZF6）若對(duì)于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么對(duì)于任意的集合z，存在集合u，使得u={v|存在w∈z，使得A(w,v)成立}。（替換公理模式）（ZF7）存在一個(gè)集合x，它含有無窮多個(gè)元素。（無窮公理）（ZF8）每個(gè)非空集合x含有一個(gè)元素y，y作為集合與x無公共元素。（基礎(chǔ)公理）（AC）對(duì)任何由兩兩不交的非空集合組成的集合x，總存在一個(gè)集合y，它與x的每個(gè)成員恰有一個(gè)公共元素。（選擇公理）（ZF2）空集公理和（ZF7）無窮公理（AC）選擇公理（ZF2）和（ZF7）是分別斷言集合存在和無限集合存在的公理；實(shí)質(zhì)上，它們斷言的正是空集?和自然數(shù)集N存在。這兩條公理實(shí)難作為邏輯公理看待，它們是干脆的數(shù)學(xué)公理。因此，將集合論完全劃歸邏輯范疇不可能得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。一般認(rèn)為：邏輯主義自定的目標(biāo)——數(shù)學(xué)化為邏輯，成為邏輯的一部分——不可能實(shí)現(xiàn)。除此之外，選擇公理也被證明是一條數(shù)學(xué)原理，不能歸約為邏輯。自然數(shù)系有哪些基本原理？詳細(xì)敘述之。什么是有限集、無限集和可數(shù)集？設(shè)S是一個(gè)集合，我們規(guī)定（1）如果存在n∈N使得S與｛0，1，…，n｝相似，或S與?相似，則稱S是有限集；否則，稱S是無限集。（2）如果S與N相似，則稱它是可列集。（3）如果S是有限集或可列集，則稱S是可數(shù)集或至多可列集。談?wù)勀銓?duì)零的看法。數(shù)學(xué)表述著事物復(fù)雜的本質(zhì)，而把龐大的數(shù)學(xué)體系連成了一個(gè)整體的是零。從簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)到復(fù)雜的運(yùn)算，從估計(jì)事物發(fā)生的幾率到精確知道與我們相關(guān)的事件何時(shí)達(dá)到最大值，這些有力的數(shù)學(xué)工具都讓我們使用這樣的思考方法：一個(gè)事件的發(fā)生與其他的事件相關(guān)，并且所有這些都離不開零這個(gè)中心。如：eiπ+1=0（數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)都集中于此）談?wù)勀銓?duì)無限的看法。？無限即無窮，在數(shù)學(xué)上，從哲學(xué)上講,從公元前400多年前開始對(duì)無窮的觀念就產(chǎn)生了分歧,潛無窮與實(shí)無窮的無窮觀一直爭(zhēng)論至今.潛無窮的無窮觀認(rèn)為無窮是一個(gè)永無終止的過程;實(shí)無窮的無窮觀認(rèn)為無窮是實(shí)際存在的,無窮是一個(gè)可以完成的過程或一個(gè)已經(jīng)生成的對(duì)象.現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流是以經(jīng)典數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的，經(jīng)典數(shù)學(xué)以ZFC公理集合論系統(tǒng)為基礎(chǔ)，承認(rèn)無窮集合的存在，故經(jīng)典數(shù)學(xué)接受實(shí)無窮觀，同時(shí)也不排斥無窮作為一個(gè)過程存在，可以認(rèn)為經(jīng)典數(shù)學(xué)中的無窮觀是潛無窮與實(shí)無窮辯證統(tǒng)一的無窮觀。大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的是經(jīng)典數(shù)學(xué)，故而大學(xué)數(shù)學(xué)中的無窮觀應(yīng)是潛無窮與實(shí)無窮辯證統(tǒng)一的無窮觀。談?wù)勀銓?duì)算術(shù)運(yùn)算的看法（將同一運(yùn)算在不同數(shù)系中的功能作一比較）。你覺得算術(shù)運(yùn)算的威力表現(xiàn)在哪里？？算術(shù)運(yùn)算就是數(shù)的加、減、乘、除以及乘方開方等數(shù)學(xué)運(yùn)算，區(qū)別于幾何運(yùn)算。對(duì)于算術(shù)來說，它是數(shù)學(xué)中最古老,最基礎(chǔ)和最初等的部分.它研究數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算.把數(shù)和數(shù)的性質(zhì),數(shù)和數(shù)之間的四則運(yùn)算在應(yīng)用過程中的經(jīng)驗(yàn)積累起來,并加以整理,就形成了最古老的一門數(shù)學(xué)—算術(shù)。其威力表現(xiàn)在無窮、邏輯、結(jié)構(gòu)、迭代和心靈信條。通過算術(shù)運(yùn)算，數(shù)系從自然數(shù)系逐步拓展到實(shí)數(shù)系，而這整個(gè)過程的推導(dǎo)是內(nèi)在統(tǒng)一的，算術(shù)運(yùn)算的威力就體現(xiàn)在這個(gè)地方。從自然數(shù)到整數(shù)，再到有理數(shù)，這樣，數(shù)系被擴(kuò)充得與直線幾近一樣。這在畢達(dá)哥拉斯看來，數(shù)與形達(dá)成了統(tǒng)一。你認(rèn)為有理數(shù)系與直線達(dá)成統(tǒng)一了嗎？為什么？并未完全統(tǒng)一。通過引入無理數(shù)系，與有理數(shù)系共同構(gòu)成的完備有序數(shù)系——實(shí)數(shù)系，才真正與直線達(dá)成統(tǒng)一。因?yàn)椋寒呥_(dá)哥拉斯學(xué)派后來發(fā)現(xiàn)，并不是任意兩條線段都是可共度的。例如，正方形的對(duì)角線與其一邊就構(gòu)成了不可公度的一對(duì)線段，從而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。談?wù)勀銓?duì)實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)？實(shí)數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)可以一一對(duì)應(yīng)。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)與無理數(shù)，而從歐幾里得以來，人們都把它們理解為單位長(zhǎng)線段可公度與不可公度的線段的長(zhǎng)度。從實(shí)數(shù)發(fā)展得歷史來看，雖然從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那時(shí)起就有人意識(shí)到了無理數(shù)得存在，到17世紀(jì)，人們對(duì)實(shí)數(shù)的使用已經(jīng)習(xí)以為常，并開始脫離其幾何原型抽象地認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)。但到19世紀(jì)中葉，在分析嚴(yán)格化的進(jìn)程中，由于一些事實(shí)無法證明（例如，柯西無法證明自己提出的收斂準(zhǔn)則的充分性），一些證明出了錯(cuò)（如波爾查諾對(duì)連續(xù)函數(shù)介值性的證明），人們才發(fā)現(xiàn)對(duì)實(shí)數(shù)特別是無理數(shù)的認(rèn)識(shí)任然模糊不清，這才促使一批數(shù)學(xué)家關(guān)注于處理無理數(shù)的問題。通過他們的努力，終于在將近半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，建立了多種形式上不同，而實(shí)質(zhì)上等價(jià)的嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。各種形式的構(gòu)造性實(shí)數(shù)理論，都是首先從有理數(shù)出發(fā)去定義無理數(shù)，也就是說，數(shù)軸上有理點(diǎn)之間的所有空隙（無理點(diǎn)），都可以由有理數(shù)經(jīng)過一定的方式來確定。然后證明這樣定義的實(shí)數(shù)（原有的有理數(shù)和新定義的無理數(shù)）具有人們?cè)瓉硎熘膶?shí)數(shù)所應(yīng)有的一切性質(zhì)，特別是連續(xù)性。這些形式上不同的實(shí)數(shù)理論也就因確定空隙的方法不同而互相區(qū)分，它們主要有：戴德金用有理數(shù)的分割的方法，康托爾用有理數(shù)的基本列的方法，魏爾斯特拉斯用無窮（非循環(huán)）十進(jìn)小數(shù)的方法，以及用端點(diǎn)為有理點(diǎn)的閉區(qū)間套和有界單調(diào)有理數(shù)列的方法。站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的立場(chǎng)來看，上述各種方法都是從假定實(shí)數(shù)具有某種特性出發(fā)的（如戴德金的方法假定了實(shí)數(shù)的連續(xù)性，康托爾假定的是完備性，而用閉區(qū)間套的方法反映了實(shí)軸上有界閉集的緊性），而這些特性在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都是等價(jià)的，因而用這些方法定義出的實(shí)數(shù)都是完全相同的。證明或說明√2、√3、√5是無理數(shù)。證法一：(1)假設(shè)√2是有理數(shù)，即可寫成兩個(gè)不能約分的整數(shù)之比，設(shè)√2=p/q,兩邊平方得p2/q2=2，p2=2q2∴p是偶數(shù)，設(shè)p=2m(2m)2=2q24m2=2q2q2=2m2∴q也是偶數(shù)，顯然這與p,q不能約分矛盾，故√2不是有理數(shù)，是無理數(shù)。假設(shè)√3是有理數(shù)。1^2<(√3)^2<2^21<√3<2,所以√3不是整數(shù)，設(shè)√3=p/q，p和q互質(zhì)。把√3=p/q兩邊平方3=(p^2)/(q^2)3(q^2)=p^23q^2是3的倍數(shù)數(shù)，p必定3的倍數(shù)，設(shè)p=3k3(q^2)=9(k^2)q^2=3k^2同理q也是3的倍數(shù)數(shù)，這與前面假設(shè)p，q互質(zhì)矛盾，故√3是無理數(shù)。假設(shè)√5是有理數(shù)，則設(shè)√5=p/q(p,q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)。兩邊平方得，5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)，p^2含有因數(shù)5，設(shè)p=5m代入(*)，25m^2=5q^2,q^2=5m^2，q^2含有因數(shù)5，即q有因數(shù)5，則p,q有公約數(shù)5，這與原假設(shè)p,q互質(zhì)矛盾，故√5是無理數(shù)。證法二：由于無理數(shù)可以用無限連分?jǐn)?shù)表示，（1）已知√2的連分?jǐn)?shù)表示法如下：故√2是無理數(shù)。（2）同理可證，√3、√5是無理數(shù)。通過實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示談?wù)勀銓?duì)“萬物皆數(shù)”的認(rèn)識(shí)。（1）實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，而它們均可以通過有限或無限次連分?jǐn)?shù)來表示。（2）“萬物皆數(shù)”里的“數(shù)”指的是自然數(shù)，而任何有理數(shù)和無理數(shù)均可以用有限或無限個(gè)自然數(shù)通過四則運(yùn)算得到?；煦鐒?dòng)力系統(tǒng)有哪些特性？分形集合有什么特點(diǎn)？分形可具有分?jǐn)?shù)維度：不同于整數(shù)維度的一維線段，二維矩形，分形所具有的維度可以是非整數(shù)的，稱作分?jǐn)?shù)維。分形具有自相似性：對(duì)于同一個(gè)分形結(jié)構(gòu)，自相似就是尺度一層一層縮小的結(jié)構(gòu)重復(fù)性，它們不僅在越來越小的尺度里重復(fù)細(xì)節(jié)，而且是以某種固定的方式將細(xì)節(jié)縮小尺寸，造成某種循環(huán)重現(xiàn)的復(fù)雜景象。分形具有尺度無關(guān)性：對(duì)于同一個(gè)分形結(jié)構(gòu)，以不同大小的量尺來量度「可觀察的區(qū)域」，分形會(huì)具有一致的分?jǐn)?shù)維度和自相似方式。例如，如果我們不同程度地放大或縮小科赫雪花曲線，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形的復(fù)雜度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改變。迭代在描述混沌和分形的數(shù)學(xué)模式中是怎樣發(fā)揮威力的？詳細(xì)論述你的論點(diǎn)。（1）迭代這一數(shù)學(xué)模式成為描述決定性系統(tǒng)的理想工具。從數(shù)學(xué)的角度看，一個(gè)映射φ:S→S可以代表某種因果規(guī)律，其定義域S用于表示系統(tǒng)的各種可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。設(shè)x0∈S表示一個(gè)初始狀態(tài)，那么由狀態(tài)x0到下一個(gè)狀態(tài)φ(x0)就是因果規(guī)律φ在起作用；設(shè)想這種規(guī)律相繼地不斷作用下去，我們就會(huì)得到一個(gè)狀態(tài)的序列即迭代序列：x0，x1=φ(x0)，x2=φ(x1)，x3=φ(x2)，……。而動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本目的就是了解一個(gè)迭代過程之最終的或漸進(jìn)的性態(tài)。（2）迭代與分形：康托三分集的構(gòu)造是無限次使用給定的迭代模式；簡(jiǎn)單迭代的無限次使用能使二維正方形由一條曲線填滿。通過圖形迭代產(chǎn)生分形圖的過程表明，迭代規(guī)則比較簡(jiǎn)單，但產(chǎn)生的結(jié)果卻異常奇妙復(fù)雜，且這些圖形很好地反映出了分形幾何具有自相似性的層次結(jié)構(gòu)。什么是拓?fù)淇臻g？什么是連續(xù)映射？舉一個(gè)拓?fù)淇臻g的例子和一個(gè)連續(xù)映射的例子。例子：M?bius帶的制造、環(huán)面的制造、Klein帶的制造恒同映射，常值映射。什么是同胚映射？什么是拓?fù)洳蛔兞浚颗e一個(gè)同胚的例子和一個(gè)拓?fù)洳蛔兞康睦?。設(shè)X和Y是拓?fù)淇臻g。如果f：X→Y是一一映射，并且f及其逆g：Y→X都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射，或稱拓?fù)渥儞Q，或簡(jiǎn)稱同胚。當(dāng)存在X到Y(jié)的同胚映射時(shí)，稱X與Y同胚，記作X≌Y。例如：平面內(nèi)的正方形和圓同胚。拓?fù)溲塾^察到的空間是沒有定形的，它觀察一個(gè)空間時(shí)，只關(guān)注與這個(gè)空間拓?fù)涞葍r(jià)的全體空間所共有的性質(zhì)，這種性質(zhì)稱作拓?fù)湫再|(zhì)，或拓?fù)洳蛔兞?。例如：稠密性、可分性、緊致性、連通性，Hausdorff分離性、正則性、正規(guī)性，有邊與無邊、可定向與不可定向，維數(shù)、Euler示性數(shù)，同調(diào)群、同倫群。按布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)有哪幾種基本的結(jié)構(gòu)？結(jié)構(gòu)觀概括了數(shù)學(xué)學(xué)科的那些特點(diǎn)？談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)。一種叫做代數(shù)結(jié)構(gòu)。集合上有了運(yùn)算，能夠從兩個(gè)元素生出第三個(gè)來，就叫做有了代數(shù)結(jié)構(gòu)。一種叫序結(jié)構(gòu)。集合中某些元素之間有先后順序關(guān)系，就叫做有了序結(jié)構(gòu)。還有一種叫做拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。它用來描述連續(xù)性、分離性、附近、邊界等這些空間性質(zhì)。三種基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)恰好是現(xiàn)實(shí)世界的基本關(guān)系與形式在我們頭腦中的反映：代數(shù)結(jié)構(gòu)——運(yùn)算——來自數(shù)量關(guān)系；序結(jié)構(gòu)——先后——來自時(shí)間觀念；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)——連續(xù)性——來自空間經(jīng)驗(yàn)。敘述希爾伯特空間定義，并證明：線性代數(shù)中所講的歐氏空間和酉空間都是希爾伯特空間。試論數(shù)學(xué)的威力、超越性和美。數(shù)學(xué)美是普遍存在的,并不是牽強(qiáng)附會(huì)地或者說是對(duì)美學(xué)概念的濫用。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為萬物皆源于數(shù),美的效果只能從探求數(shù)量比例的和諧中去尋求。如果沒有數(shù)學(xué)和數(shù)的性質(zhì),世界上任何事物本身或其與其它事物的關(guān)系都是不能為人們所理解的。也正是從這一美學(xué)思想出發(fā),該學(xué)派提出了天體運(yùn)動(dòng)必須是均勻的圓周運(yùn)動(dòng)的基本假說和星體是球形的美學(xué)原則。柏拉圖極度推崇畢氏的萬物皆數(shù)的原則,認(rèn)為對(duì)自然界超感覺的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的追求,不僅是對(duì)絕對(duì)知識(shí)真的追求,也是對(duì)美的追求。牛頓在科學(xué)研究中,正是充分利用了他的數(shù)學(xué)才能和數(shù)學(xué)美感,把數(shù)學(xué)美轉(zhuǎn)化為表現(xiàn)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方程式。其實(shí),無論是文學(xué)創(chuàng)作還是藝術(shù)家形象的塑造,都是與數(shù)學(xué)模型的建立過程有著本質(zhì)上的一致。L.E.伯爾茲曼曾說:既然一個(gè)音樂家能從頭幾個(gè)音節(jié)中辨別出他的莫扎特、貝多芬,那么一個(gè)數(shù)學(xué)家也可以從前幾頁文章中識(shí)別出他的柯西、歐拉和高斯等人。例如約束極值的拉格朗日乘子法,對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束在求極值上的一視同仁,以顯示出勻稱、和諧的數(shù)學(xué)美,給我們留下了拉格朗日個(gè)人的風(fēng)格;拉普拉斯變換的普遍反演公式,以復(fù)變函數(shù)積分形式達(dá)到原函數(shù),顯示出某一種珍奇、獨(dú)特的美,深深地打上了拉氏的印記。從另一方面講,數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué),并不是因?yàn)檫@樣做有多大的益處,而是因?yàn)樗J(rèn)為他能夠從中得到某種樂趣,他認(rèn)為數(shù)學(xué)是美的。這里所說的美,不是給我們那種感官上的印象之美,也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美,而是數(shù)學(xué)那種深層次的美,這種美在于每個(gè)部分秩序的和諧,與自然界的和諧,與人心理和生理上的和諧,引起情感上的強(qiáng)烈共鳴,并且能為純粹的理智所掌握。結(jié)構(gòu)、邏輯、無窮、心靈力量與信仰試論數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。歷史上，哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家很早就試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來，那時(shí)數(shù)學(xué)要比今天簡(jiǎn)單的多。在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，只有算術(shù)和幾何。畢達(dá)哥拉斯做了第一次嘗試，試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于自然數(shù)。這次嘗試由于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)而以失敗告終。以后相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，人們寄希望于幾何，希望把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于歐幾里得幾何。最后發(fā)現(xiàn)，連幾何也是不統(tǒng)一的，人們的希望又破滅了。萊布尼茲、弗雷格和羅素都希望把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于邏輯，使龐大的、復(fù)雜的、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)歸結(jié)為非常通俗的、直觀的、易于洞察的邏輯，結(jié)果導(dǎo)出了極不通俗、極為復(fù)雜而令人難以洞察的層次理論和可化歸公理。直覺主義流派的布勞爾和形式主義流派的希爾伯特，又希望數(shù)學(xué)統(tǒng)一于算術(shù)。結(jié)果，