江蘇省常州市晉陵中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，偶函數(shù)的圖象形如字母M，奇函數(shù)的圖象形如字母N，若方程：的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)分別為a、b、c、d，則=

A．27

B．30

C．33

D．36參考答案：B2.在△ABC中，分別為角所對(duì)邊，若，則此三角形一定是（

）A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形參考答案：C略3.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且成等比數(shù)列，且，則=（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C4.復(fù)數(shù)z＝的共軛復(fù)數(shù)是

（A）2+i

（B）2－i

（C）－1+i

（D）－1－i參考答案：D5.下列命題中是假命題的是（

）

A．

B．

C．上遞減D．都不是偶函數(shù)參考答案：答案:D6.現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票(其中3張為中獎(jiǎng)票)的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C7.設(shè)全集U是自然數(shù)集N，集合，則如圖所示的陰影部分的集合為A. B. C. D.參考答案：C8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞﹚上是減函數(shù)，，那么不等式的解集是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.若則“”是“”

A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既不充分與不必要條件參考答案：A略10.已知雙曲線的離心率為2，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是2，則拋物線的方程是A. B. C. D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為

．參考答案：12.定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：（1）當(dāng)時(shí)，f（x）=|；（2）f（2x）=2f（x），則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a的零點(diǎn)從小到大依次為x1，x2，…，xn…x2n，若，則x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．參考答案：3×（2n﹣1）【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】f（x）=，此時(shí)f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）時(shí)，f（x）∈[0，2]，…以此類推，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（1，2）有2個(gè)零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×=3，依此類推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：f（x）=，此時(shí)f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）時(shí)，f（x）∈[0，2]，…以此類推，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（1，2）有2個(gè)零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×=3，依此類推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．如圖所示：則x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=3×（2n﹣1）．故答案為：3×（2n﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對(duì)稱性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題13.已知函數(shù)f(x)=在R不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：14.已知函數(shù)f（x）=，則在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為

．參考答案：y=﹣2x+8考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．解答： 解：∵f（x）=，∴，∴f′（2）=﹣2，又f（2）=4，∴函數(shù)f（x）=在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣4=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+8．故答案為：y=﹣2x+8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．15.雙曲線的一條漸近線與直線平行，則此雙曲線的離心率為

.參考答案：16.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

參考答案：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)椤?7.設(shè)復(fù)數(shù),則=

▲

.參考答案：答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.將這個(gè)數(shù)隨機(jī)排成一列，得到的一列數(shù)稱為的一個(gè)排列.定義為排列的波動(dòng)強(qiáng)度.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的所有可能情況及所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)強(qiáng)度；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的最大值，并指出所對(duì)應(yīng)的一個(gè)排列；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在一個(gè)排列中交換相鄰兩數(shù)的位置稱為一次調(diào)整，若要求每次調(diào)整時(shí)波動(dòng)強(qiáng)度不增加，問對(duì)任意排列，是否一定可以經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動(dòng)強(qiáng)度降為9；若可以，給出調(diào)整方案，若不可以，請(qǐng)給出反例并加以說明.參考答案：解：（Ⅰ）時(shí)，排列的所有可能為；；；；；.………………2分；；；；；.

……………4分（Ⅱ）上式轉(zhuǎn)化為，在上述個(gè)中，有個(gè)選正號(hào)，個(gè)選負(fù)號(hào)，其中出現(xiàn)一次，各出現(xiàn)兩次.

……………6分所以可以表示為個(gè)數(shù)的和減去個(gè)數(shù)的和的形式，若使最大，應(yīng)使第一個(gè)和最大，第二個(gè)和最小.所以最大為：.

…………8分所對(duì)應(yīng)的一個(gè)排列為：.（其他正確的排列同等給分）……9分（Ⅲ）不可以.例如排列，除調(diào)整外，其它調(diào)整都將使波動(dòng)強(qiáng)度增加，調(diào)整波動(dòng)強(qiáng)度不變.

……………11分所以只能將排列調(diào)整為排列.對(duì)于排列，仍然是除調(diào)整外，其它調(diào)整都將使波動(dòng)強(qiáng)度增加，所以仍只能調(diào)整兩個(gè)數(shù)字.如此不斷循環(huán)下去，不可能經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動(dòng)強(qiáng)度降為.

……………13分略19.（本小題滿分10分）

設(shè)（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。參考答案：20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．(Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；(Ⅱ）若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．參考答案：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC．

(Ⅱ）設(shè)AC∩BD＝O．因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線及過點(diǎn)O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

設(shè)PB與AC所成角為θ，則

cosθ＝＝＝．

(Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．設(shè)P（0，－，t）(t＞0），則＝（－1，－，t）．設(shè)平面PBC的法向量m＝（x，y，z），則·m＝0，·m＝0．所以

令y＝，則x＝3，z＝，

所以m＝．同理，可求得平面PDC的法向量n＝．因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0．解得t＝．所以當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，PA＝．

21.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．參考答案：(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，-------9分∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，-------------10分當(dāng)cosA＝0時(shí)，∵0＜A＜π，∴A＝，△ABC為直角三角形；當(dāng)sinA－sinB＝0時(shí)，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC為等腰三角形．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．

-------------12分22.如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．（1）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；（2）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，可證AD∥EF，又EF?平面EFBAD?平面EFB，可證AD∥平面EFB．（2）設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h，由于可證AD⊥BD，可得，又三棱錐B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得點(diǎn)C到平面ABD的距離．【解答】（1）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，∵E，F(xiàn)分別為AC